学习物理场的离散黎曼度量与余链框架等变性

# 具有上链-框架等变性的物理场离散黎曼度量学习  
来源：https://arxiv.org/html/2608.14556  

###### 摘要  
网格上的物理场需要将拓扑与几何分离：守恒律是拓扑性的且应精确成立，而几何、材料响应和各向异性耦合必须从数据中学习。现有的神经代理模型常在无约束的消息传递中混合这些功能。本文引入黎曼霍奇消息传递（RHMP），将这种分离转变为架构原则。RHMP 固定由定向关联确定的胞腔上边界（\(d_k\)），并学习对称正定的上链度量（\(H_k\)）以实现几何相关的传播。将 \(H_k\) 视为学习到的度量，激发了上链-框架等变性：物理传播应隐上链特征基底的正交变换不变。RHMP 通过度量加权的霍奇块（\(d_k^\top H_{k+1} d_k\)）实现此原则，从而产生精确的上链复形恒等式（\(d_{k+1} d_k = 0\)）、非负的霍奇能量、半正定的算子以及精确的阿贝尔曲率不变性。在涵盖流体、电磁学、规范场和变网格计算流体动力学的七个物理基准测试中，RHMP 取得了最佳的整体性能，尤其在拓扑、学习到的几何和场结构相互作用时增益最为显著。  

## 1 引言  
网格上的物理场并非都天然地作为节点特征存在。压力自然地以顶点或单元为中心，通量和环量存在于定向边上，而涡量或曲率等场强则存在于面或更高维胞腔中。因此，学习此类场不仅需要表达性强的消息传递：模型必须保持精确的拓扑恒等式，同时适应在不同域上变化的几何和材料响应。顶点、边、面和更高维胞腔之间的关联关系强加了精确的物理恒等式，例如梯度场的无旋条件（\(\nabla \times \nabla \phi = 0\)）和旋量场的无源（或无散）条件（\(\nabla \cdot \nabla \times \mathbf{A} = 0\)）。相比之下，材料参数、各向异性、曲率和本构关系决定了相邻量之间的相互作用强度。这暗示了神经物理代理模型的一个简单设计原则：固定拓扑，学习几何。霍奇理论恰好提供了这种分离。在胞腔复形上，标量量表示为 0-上链，通量和环量表示为 1-上链，而涡量或场强等面密度表示为 2-上链。上边界映射 \(d_k\) 在这些空间之间移动，完全由定向关联决定。它们不包含材料参数，并且通过构造满足 \(d_{k+1} d_k = 0\)；我们将此上链复形恒等式简写为 \(d^2 = 0\)。几何通过每个上链空间上的正定内积引入。我们将此内积表示为一个对称正定（SPD）矩阵 \(H_k\)，并将其解释为一个*离散黎曼度量*，即度量诱导的霍奇星算子 \(\langle \omega, \eta \rangle_g = \int_M \omega \wedge \star_g \eta\) 的离散对应物 [16, 1]。对于不太熟悉此对应关系的读者，附录 B 给出了一个具体的三角形示例以及连续到离散的对应关系。  

这种观点引出了 RHMP 原则：固定拓扑上边界映射 \(d_k\)，学习上链度量 \(H_k\)。对于输入或隐 \(k\)-上链特征 \(x_k\)，加权的霍奇能量 \(\| d_k x_k \|_{H_{k+1}}^2\) 诱导了在 \(k\)-上链上的算子 \(d_k^\top H_{k+1} d_k\)（见附录 C）。上边界 \(d_k\) 决定了哪些量被微分以及哪些守恒律保持闭合。度量 \(H_{k+1}\) 决定了如何度量和耦合产生的 \((k+1)\)-上链。因此，RHMP 在保持上链复形精确的同时，将可学习的几何自由度集中在度量上。  

> 图 1：上链-框架等变性。在 RHMP 层 \(\Phi\) 之前或之后应用隐上链框架的正交变换 \(R \in O(C)\) 给出相同结果。该作用作用于上链值隐特征的通道基底，而 \(d_k\) 和 \(H_k\) 作用于胞腔索引。  

将 \(H_k\) 视为学习到的几何对象也改变了对称性问题。该度量应描述传播，而非隐特征通道基底的任意选择。在 RHMP 中，隐 \(k\)-上链的 \(C\) 个通道是在具有标准内积的辅助特征空间中的坐标。通过 \(R \in O(C)\) 改变此正交框架的作用为 \(\mathbf{x}_k \mapsto \mathbf{x}_k R^\top\)，其中 \(\mathbf{x}_k \in \mathbb{R}^{n_k \times C}\)。如果一个层与此作用交换，则称其为*上链-框架等变*。RHMP 通过仅从 \(O(C)\)-不变的通道统计量（如范数和内积）预测胞腔空间度量 \(H_k\)，并使用范数门控非线性来强制执行此性质。因此，隐上链框架的正交变换改变表示但不改变所表示的传播。  

结合对 \(H_k\) 的 SPD 约束、欧几里得不变的几何特征以及固定的上边界，这产生了非负的霍奇能量、半正定的霍奇算子、无坐标的标量行为、\(E(n)\)-等变的向量读出，以及对 \(d^2 = 0\) 的精确保持。RHMP 通过将特征分配到适当的上链度数、冻结上边界算子、从不变统计量预测 \(H_k \succ 0\)，以及使用保持上链-框架等变性的范数门控非线性来实例化这些原则。结果得到一个拓扑和对称性内建的消息传递算子，其几何从数据中学习。  

**贡献**。  
(1) *度量中心公式化*。我们将学习基于网格的物理场的问题表述为在固定上边界映射 \(d_k\) 下学习上链上的离散黎曼度量 \(H_k\) 的问题。这使得拓扑、几何和守恒之间的分离变得明确。  
(2) *上链-框架对称性定理与构造性架构*。我们证明度量条件 \(H_k \succ 0\)、在 \(O(C)\) 下的上链-框架不变性以及空间 \(E(n)\)-不变性产生了非负的霍奇能量、半正定的霍奇算子、上链-框架等变的消息传递以及不变/等变的标量和向量读出。RHMP 直接实现这些条件。  
(3) *规范场结果与经验验证*。对于表示为上链的阿贝尔规范场，依赖于 \(dA\) 的曲率观测值在 \(A \mapsto A + d\lambda\) 下精确不变，因为额外的项 \(d(d\lambda)\) 由于上链复形恒等式 \(d \circ d = 0\) 而消失。在涵盖流体力学、电磁学、阿贝尔和非阿贝尔规范场基准测试以及逐样本变网格计算流体动力学的七项任务上，RHMP 优于图、胞腔复形、流形-规范和神经算子基线。  

## 2 相关工作  
**离散外微积分与相容离散化**。RHMP 建立在离散外微积分（DEC）和有限元外微积分（FEEC）基础拓扑-几何分离之上：上边界编码上链复形并满足 \(d_{k+1} d_k = 0\)，而依赖度量的霍奇星算子或质量矩阵定义离散形式上的内积。这种分离也出现在相容和拟合离散化以及计算电磁学中，其中关联矩阵编码精确序列和守恒律，而质量、霍奇或本构矩阵编码度量和材料响应 [10, 24, 5]。RHMP 将此分离转化为神经架构，其中 \(d_k\) 固定，SPD 度量因子 \(H_k\) 从数据预测。  

**胞腔、单纯形和层上神经网络**。拓扑信号处理通过霍奇拉普拉斯算子和霍奇分解将图滤波从节点信号扩展到边、面和更高阶上链 [54]。单纯形和胞腔消息传递方法通过关联映射、霍奇拉普拉斯算子、定向感知聚合和注意力将图神经网络扩展到更高阶胞腔，包括 SNN [17]、MPSN [8]、SCCNN [53]、CW Net [7]、SAT [21]、Clifford-SMPN [34] 以及 Hajij 等人的统一框架 [22]；层上神经网络 [23] 和神经层上扩散 [6] 为图配备学习到的胞腔层和层拉普拉斯算子。RHMP 保持胞腔上边界固定，并从 \(O(C)\)-不变统计量学习 SPD 上链度量 \(H_k\)，在学习几何、各向异性和材料响应的同时保持 \(d^2 = 0\)。  

**学习到的霍奇算子和网格谱几何**。HodgeNet [45]、HodgeFormer [37] 和 HSD [56] 学习用于网格谱或变换器算子的霍奇或类霍奇矩阵。RHMP 的不同之处在于在物理消息传递内部学习依赖输入的 SPD 上链度量，具有固定的上边界、\(O(C)\)-等变性以及守恒/规范场保证。  

**规范等变和表面网络**。规范等变 CNN [13] 和 GEM-CNN [15] 通过局部切框架平行传输定义流形或网格上的卷积；切丛网络 [2] 使用连接-拉普拉斯切丛滤波器；DiffusionNet [44] 通过与离散化无关的表面扩散学习。晶格规范模型则在链接变量、威尔逊环特征或基于流的采样器上强加规范结构 [18, 36, 25]。RHMP 针对的是一个独立的对称性：隐上链特征框架中的基底正交变换。其度量预测器使用 \(O(C)\)-不变统计量，因此霍奇消息是上链-框架等变的。对于阿贝尔连接数据，RHMP 从 \(d^2 = 0\) 继承精确的曲率不变性；对于非阿贝尔场，它使用具有代数耦合的上链微分。  

**等变图网络和物理代理**。\(E(n)\)-等变图网络如 SchNet [42]、EGNN [41]、张量场网络 [47]、SE(3)-Transformer [20]、PaiNN [43] 和 NequIP [3] 从距离、相对位置和更高阶几何特征构建坐标感知的消息传递。基于图网络的模拟器 [40]、MeshGraphNets [39] 和消息传递神经 PDE 求解器 [11] 在粒子或网格上学习代理动力学。这些方法将场编码为节点、粒子或边特征。RHMP 将类标量、通量和强度量分配到 0-、1- 和 2-上链，并使用具有学习到的 SPD 度量的固定上边界。  

**神经算子**。傅里叶神经算子 [29] 和 DeepONet [35] 是核心神经算子，在函数空间级别学习输入-输出映射。一般神经算子理论通过离散化一致的积分核参数化表述此类映射 [27]。除了 FNO 和 DeepONet，图核和多极图神经算子在非规则样本上学习非局部核 [31, 30]；伽辽金变换器使用注意力作为算子学习层 [12]；F-FNO 和 WNO 修改谱分解或基 [48, 49]；PINO 添加物理残差约束 [33]；Geo-FNO / GINO 将 FNO 风格模型扩展到一般或大规模几何 [28, 32]。RHMP 是互补的：它将上链类型、精确的 \(d^2 = 0\)、SPD 霍奇能量和上链-框架不变的度量学习构建到架构中。  

## 3 胞腔复形上的离散几何  
一个正则 CW 复形 \(K\) 是一个胞腔复形，其 \(k\)-维胞腔推广了顶点、边、面和更高维元素。一个 \(C\)-通道 \(k\)-上链是一个矩阵 \(\mathbf{x}_k \in \mathbb{R}^{n_k \times C}\)，每个 \(k\)-胞腔有一个 \(C\)-维特征向量。上边界算子 \(d_k \in \mathbb{R}^{n_{k+1} \times n_k}\) 将 \(k\)-上链映射到 \((k+1)\)-上链。例如，\(d_0\) 沿定向边微分顶点量，\(d_1\) 将定向边量求和到面周围。这些是 DEC 和 FEEC 的标准上链和上边界算子 [16, 1]。恒等式 \(d_{k+1} d_k = 0\) 纯粹是组合的：它是恒等式如 \(\nabla \times \nabla \phi = 0\) 和 \(\nabla \cdot \nabla \times \mathbf{A} = 0\) 的离散形式。附录 B.1 给出了一个具体的三角形示例，说明了 \(d_0\)、\(d_1\)，以及在固定 \(d_k\) 的同时改变 \(H_1\) 如何改变霍奇步骤。  

###### 定义 1（上链上的离散黎曼度量）  
上链上的离散黎曼度量是一个 SPD 矩阵 \(H_k \in \mathrm{SPD}(n_k)\)，其中 \(\mathrm{SPD}(n_k)\) 表示对称正定 \(n_k \times n_k\) 矩阵的锥，定义了内积 \(\langle \mathbf{x}_k, \mathbf{y}_k \rangle_{H_k} := \mathrm{tr}(\mathbf{x}_k^\top H_k \mathbf{y}_k)\)。