论文页面 - 基于Hodge分解的拓扑保持神经算子学习

来源：https://huggingface.co/papers/2605.13834

摘要

通过Hodge理论分析几何网格上的物理场方程，我们开发了一种混合欧拉-拉格朗日架构，通过分离拓扑分量和几何分量来提高精度和效率。

本文从函数空间视角研究几何网格上物理场方程的解算子。我们发现，Hodge正交性（https://huggingface.co/papers?q=Hodge%20orthogonality）通过将不可学习的拓扑自由度（https://huggingface.co/papers?q=topological%20degrees%20of%20freedom）与可学习的几何动力学（https://huggingface.co/papers?q=geometric%20dynamics）分离开来，从根本上解决了频谱干扰（https://huggingface.co/papers?q=spectral%20interference）问题，从而实现了局限于结构保持子空间的加性逼近。基于Hodge理论和算子分裂，我们推导出原则性的算子级分解（https://huggingface.co/papers?q=operator-level%20decomposition）。其结果是一种混合欧拉-拉格朗日架构，带有我们称为Hodge频谱对偶（https://huggingface.co/papers?q=Hodge%20Spectral%20Duality）（HSD）的代数级归纳偏置。在我们的框架中，我们使用离散微分形式（https://huggingface.co/papers?q=discrete%20differential%20forms）来捕获拓扑主导的分量，并利用正交辅助环境空间（https://huggingface.co/papers?q=orthogonal%20auxiliary%20ambient%20space）来表示复杂的局部动力学。我们的方法在几何图（https://huggingface.co/papers?q=geometric%20graphs）上实现了卓越的精度和效率，并对物理不变量（https://huggingface.co/papers?q=physical%20invariants）具有更高的保真度。我们的代码可在 https://github.com/ContinuumCoder/Hodge-Spectral-Duality 获取。

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