OpenAI模型推翻离散几何核心猜想

# 一个OpenAI模型推翻了离散几何中的一个核心猜想 来源：https://openai.com/index/model-disproves-discrete-geometry-conjecture/ 近80年来，数学家们一直研究一个看似简单的问题：如果你在平面上放置nn个点，有多少对点恰好相距11个单位距离？ 这就是平面单元距离问题，由保罗·埃尔德什于1946年首次提出。它是组合几何中最著名的问题之一，容易表述却极难解决。2005年Brass、Moser和Pach合著的《离散几何研究问题》一书称其为“可能是组合几何中最著名（且最容易解释）的问题”。普林斯顿大学的著名组合学家诺加·阿隆将其描述为“埃尔德什最喜欢的难题之一”。埃尔德什甚至为这个问题设立了悬赏。 今天，我们分享单元距离问题的一个突破。自埃尔德什的原始工作以来，普遍认为下文所示“正方形网格”结构在最大化单位距离对数方面本质上是最优的。一个内部OpenAI模型推翻了这一长期猜想，它提供了一个无限系列的例子，实现了多项式改进。该证明已由一组外部数学家验证。他们还撰写了一篇配套论文，解释论证过程，并提供了更多背景以及该结果的重要性的上下文。 这个结果也因其发现方式而引人注目。该证明来自一个新的通用推理模型，而非一个专门针对数学训练的系统，也没有通过脚手架来搜索证明策略或专门针对单元距离问题。作为测试先进模型能否为前沿研究做出贡献的更广泛努力的一部分，我们在一个埃尔德什问题集合上对其进行了评估。在这个案例中，它产出了一个解决开放问题的证明。 这一证明是数学和AI社区的一个重要里程碑。它标志着AI首次自主解决了一个突出且是数学子领域核心的开放问题。同时也展示了这些系统当前支持的推理深度。数学为推理提供了一个特别清晰的测试平台：问题精确，潜在证明可被验证，并且一个长论证只有在推理从头到尾保持连贯时才能成立。解决该问题的方法也值得注意。该证明将来自代数数论的意外、精巧的思想应用到了一个初等几何问题上。 菲尔兹奖得主蒂姆·高尔斯在配套论文中称这一结果为“AI数学的一个里程碑”。著名数论学家阿鲁尔·尚卡尔表示：“在我看来，这篇论文表明当前的AI模型已超越人类数学家的助手角色——它们能够拥有独创性的巧妙想法，并将其贯彻到底。” 关于该结果的数学家评价 *先前已知的通过缩放正方形网格构造多个单位距离的示例。* ## 单元距离问题 设u\(n\)u\(n\)为平面上nn个点所能形成的单位距离对数的最大可能值。很容易构造出达到线性增长率的例子：将nn个点放在一条直线上，得到n−1n\-1对；而一个正方形网格大约得到2n2n对。之前最著名的构造来自一个缩放的正方形网格，结果甚至更多：对于常数CC，达到n1\+C/log⁡log⁡\(n\)n^\{1 \+ C / \\log \\log\(n\)\}。由于log⁡log⁡\(n\)\\log \\log\(n\)随nn趋向无穷，指数中的附加项趋向00，这意味着这些构造的增长速度仅略高于线性。数十年来，人们普遍认为这个速率基本是最优的，不存在能显著优于正方形网格的构造。用专业术语说，埃尔德什猜想上界为n1\+o\(1\)n^\{1\+o\(1\)\}，其中附加的o\(1\)o\(1\)表示一个随nn趋向00的项。 我们的新结果推翻了这一猜想。更准确地说，对于无限多个nn值，该证明构造了nn个点的配置，其单位距离对数至少为n1\+δn^\{1\+\\delta\}，其中δ\>0\\delta \> 0是一个固定指数。（原始AI证明未给出明确的δ\\delta，但普林斯顿大学数学教授威尔·索文即将发表的改进表明可取δ=0\.014\\delta=0\.014。） 该问题的历史有助于理解结果为何令人惊讶。自埃尔德什1946年的原始构造以来，最著名的下界基本没有变化。最著名的上界O\(n4/3\)O\(n^\{4/3\}\)可追溯至Spencer、Szemerédi和Trotter在1984年的工作，尽管后来Székely、Katz和Silier、Pach、Raz和Solymosi以及其他人有了进一步改进和相关结构工作，上界仍基本保持不变。作为支持猜想的证据，Matoušek以及Alon-Bucić-Sauermann研究了使用非欧距离的平面问题，并证明在某种意义上，“大多数”此类非欧距离都符合该猜想。令人惊讶的是，该构造的关键成分来自一个非常不同的数学领域——代数数论，它研究整数扩展（称为代数数域）中的因式分解等概念。 *在验证初始证明后，我们研究了模型在该问题上不同测试时计算量的成功率。结果如上图所示。* ## 来自代数数论的新技术 在高层次上，证明从一个熟悉的几何想法开始，并将其推向一个意想不到的方向。 埃尔德什的原始下界可以通过高斯整数来理解：形如a\+bia\+bi的数，其中aa和bb是整数，ii是−1\-1的平方根。高斯整数扩展了普通整数，并像普通整数一样具有唯一素因子分解等性质。普通整数或有理数的此类扩展被称为代数数域。新的论证将高斯整数替换为来自代数数论的更复杂的推广，这些推广具有更丰富的对称性，可以产生更多单位长度差。 具体论证使用了诸如无限类域塔和Golod–Shafarevich理论等工具，以证明论证所需的数域确实存在。这些思想对代数数论学者而言是熟知的，但有人会惊讶地发现这些概念对欧几里得平面中的几何问题有影响。 ## 这对数学意味着什么 这一结果标志着AI与数学互动的重要时刻：一个AI系统自主解决了一个活跃领域中心长期存在的开放问题。它也为AI与人类数学家之间新型合作提供了一个早期预兆。在这个案例中，外部数学家完成的配套工作描绘了一幅比原始解决方案丰富得多的图景。 正如托马斯·布鲁姆在配套笔记中所写： “*在评估AI生成证明的重要性和影响时，我问自己的一个问题是：它是否教会了我们关于这个问题的新东西？我们现在是否更好地理解了离散几何？我认为答案是温和的‘是’：这表明数论构造对这些类型问题的发言权比我们之前预想的要大得多；而且所需的数论可能非常深奥。毫无疑问，未来几个月许多代数数论学者将密切审视离散几何中的其他开放问题。*” 解决方案揭示的代数数论与离散几何之间的意外联系，正是结果引人注目的部分原因。它不仅仅是解决了一个具体猜想，还可能为数学家提供一座桥梁，开始探索更多相关问题。 布鲁姆还指出了更广泛的可能性： “*知识的边界非常参差不齐，毫无疑问未来几个月和几年我们将在数学的许多其他领域看到类似的成功，AI通过揭示意想不到的联系并将现有技术工具推向极限，解决长期存在的开放问题。AI正在帮助我们更充分地探索我们几个世纪以来建造的数学大教堂；还有哪些未知的奇观在等待登场？*” 这一结果提供了一个有希望的示例：AI不仅贡献了一个解决方案，还贡献了一个数学发现，其重要性通过随后的人类理解变得更加清晰和丰富。 ## 为什么这很重要 其意义远大于这一具体结果。更好的数学推理可以使AI成为更强的研究伙伴：能够维持困难的思路，连接相隔遥远的知识领域，提出专家可能未优先考虑的、有希望的路径，并帮助研究人员在那些原本过于复杂或耗时的问题上取得进展。 这些能力超出了数学范畴。如果一个模型能保持复杂论证的一致性，连接相距遥远的知识领域，并产出经得起专家审核的工作，那么这些能力在生物学、物理学、材料科学、工程学和医学中同样有用，并且它们是我们实现更自动化研究的长期路径的一部分：帮助科学家和工程师探索更多想法、攻克更困难的技术问题。 AI即将在研究中的创造性部分扮演非常认真的角色，最重要的是在AI研究本身。虽然这一进展并不意外，但它强化了我们对理解AI发展下一阶段、对齐非常智能系统的挑战、以及人机协作未来的紧迫感。 那个未来仍然依赖于人类的判断。专业知识变得更有价值，而非更少。AI可以协助搜索、建议和验证。人类选择重要的课题、解读结果、并决定下一步要追求哪些问题。