平面曲线的几何高斯混合表示

# 平面曲线的几何高斯混合表示 来源：https://arxiv.org/html/2606.06505 ###### 摘要 我们提出了一种用户定义的平面曲线概率多边形表示。给定一条曲线，我们在曲线上选取顶点，并通过线段连接连续顶点，从而得到多边形近似。每个线段在法线方向配备一个用户定义的不确定性参数（标准差）。这产生了一组细长的概率几何基元，它们保留了底层平面曲线的局部切线、法线、弧长，同时将其扩展到理想化确定性一维公式之外。对于每个线段，我们定义了一个随机变量，该变量在线段的切线方向上服从均匀分布，在线段的法线方向上服从高斯分布。通过匹配第一和第二中心矩，这种构造诱导出一个高斯分量，其均值位于线段中点，其协方差编码了切向和法向不确定性。将各线段分量与适当权重结合，便得到了平面曲线用户定义概率多边形表示的高斯混合模型表示。该框架提供了一个分析上可处理的概率模型，保留了局部位置、方向、长度尺度和法线方向的不确定性。它适用于光滑、闭合、开放、非正则以及自相交的平面曲线，允许自适应离散化和法线方向的不确定性变化，从而支持不确定性感知的几何建模。在一系列典型平面曲线上的实验表明，生成的高斯混合模型能够捕捉局部切线、局部法线和局部弧长，从而也能准确捕捉底层曲线的全局形状。该表示在与不确定性感知的CAD和数字孪生、机器人中的概率障碍物建模以及概率轨迹规划等应用中尤其相关。 ## 1 引言 平面曲线虽然是现代几何中最简单的几何对象[10 (https://arxiv.org/html/2606.06505#bib.bib14)]，但在广泛的应用中却是基础性的，包括计算机视觉[14 (https://arxiv.org/html/2606.06505#bib.bib15)]、机器人学[12 (https://arxiv.org/html/2606.06505#bib.bib16)]、测量系统[5 (https://arxiv.org/html/2606.06505#bib.bib20),1 (https://arxiv.org/html/2606.06505#bib.bib6)]、形状分析[2 (https://arxiv.org/html/2606.06505#bib.bib17)]、运动与路径规划[9 (https://arxiv.org/html/2606.06505#bib.bib21)]以及计算机辅助设计[13 (https://arxiv.org/html/2606.06505#bib.bib18),4 (https://arxiv.org/html/2606.06505#bib.bib19)]。在许多此类场景中，平面曲线用于描述物体边界、特征轮廓、名义路径或测量系统校准曲线。经典表示如参数化形式、多边形近似[16 (https://arxiv.org/html/2606.06505#bib.bib91)]、多项式和样条[4 (https://arxiv.org/html/2606.06505#bib.bib19),13 (https://arxiv.org/html/2606.06505#bib.bib18)]很适合描述平面曲线并支持数值计算。然而，它们通常是确定性的：它们指定了曲线的位置，但并未直接编码曲线法线方向的信息。同时，概率表示在估计、推理和不确定性感知建模中扮演着核心角色。*高斯混合模型*提供了一类灵活且分析上可处理的参数化*概率密度函数*来表示不确定性。在不知道任何问题背景的情况下，*高斯混合模型*通常是通过拟合点样本（数据）得到的，因此它们本身并未利用数据位于曲线上这一先验知识。结果，在保留几何意义的确定性曲线表示和支持不确定性感知建模（涉及向确定性曲线引入不确定性）的概率模型之间，存在一个差距。在这项工作中，我们针对一个特殊情况提出了一种弥合这一差距的结构化方法。从一条平面曲线开始，我们在曲线上选取顶点，并通过线段连接连续顶点，从而得到曲线的多边形表示。与纯粹确定性的多边形链不同，每个线段被赋予一个沿其法线方向的不确定性参数，用于建模不确定性或公差。这产生了曲线的用户定义概率多边形表示：一组细长的几何基元，保留了局部位置和方向，同时在线段的切线和法线方向携带明确的不确定性概念。对于每个线段，我们定义一个*随机变量*，该变量将概率度量均匀地分布在线段切线方向，并在法线方向呈正态分布。通过精确的第一和第二中心矩计算，这种构造导出一个高斯*概率密度函数*，其均值位于线段中点，其协方差捕捉了切向不确定性和法向不确定性。通过以适当的权重混合这些高斯分量，我们得到了整个曲线的*高斯混合模型*表示。生成的模型直接源自用户定义的概率多边形表示参数，而非通过对采样点集进行迭代拟合获得。所提出的构造以概率且分析上可处理的形式保留了局部和全局形状。特别地，它通过*高斯混合模型*表示保留了线段位置、线段切线方向、线段法线方向、线段弧长尺度以及线段法线方向的不确定性。该构造适用于光滑、闭合、开放、非正则、周期性和自相交的可求长平面曲线，仅需在划分节点处评估曲线点，并且自然支持自适应离散化和线段法线方向的不确定性变化。通过这种方式，确定性平面曲线首先被转换为用户定义的概率多边形表示，然后被转换为*高斯混合模型*。这种表示在多个应用领域具有相关性。在不确定性感知的CAD和数字孪生中，用户定义的线段法线方向不确定性可以表示制造公差或磨损。在机器人和自主系统中，曲线的概率多边形近似提供了带有安全裕度或传感器不确定性的障碍物轮廓边界表示。在轨迹建模和统计形状分析中，诱导的*高斯混合模型*提供了紧凑的先验，保留了名义几何，同时允许物体边界法线方向的可控不确定性。我们的主要贡献如下： - •我们引入了平面曲线的用户定义概率多边形表示，其中每个多边形线段配备了法线方向的不确定性。 - •我们用高斯分布替换用户定义概率线段的*概率密度函数*，并推导了该高斯分布的均值和协方差矩阵关于用户定义概率线段参数的闭式表达式。 - •我们构建了曲线用户定义概率多边形表示的*高斯混合模型*表示，其分量参数同样以闭式推导得出。 - •我们证明该框架适用于广泛的典型平面曲线，并能捕捉其局部和全局形状，包括光滑、闭合、开放、非正则、奇异和自相交的曲线，并支持自适应离散化以及线段法线方向的不确定性变化。 本文的其余部分组织如下。在第3节 (https://arxiv.org/html/2606.06505#S3) 中，我们正式介绍了平面曲线的用户定义概率多边形表示。然后我们推导了每个线段的高斯*概率密度函数*和诱导的*高斯混合模型*构造。最后，在第̃4节 (https://arxiv.org/html/2606.06505#S4) 中，我们通过代表性示例说明该框架，并讨论建模选择、局限性和可能的扩展。 ### 1.1 技术应用 除了理论公式，所提出的构造还支持若干具体的应用场景。在计算机辅助设计和数字孪生中，CAD模型的边缘和相交曲线可以确定性地映射到*高斯混合模型*，从而产生理想几何的可微“高斯泼溅”表示。用户定义的不确定性直接编码在不确定性参数τ_i中，从而能够以与最近基于高斯泼溅的场景表示[7 (https://arxiv.org/html/2606.06505#bib.bib261)]兼容的形式，实现不确定性感知渲染、公差分析和几何推理。在机器人和自动驾驶中，从LiDAR或距离数据提取的自由空间和障碍物边界通常通过占据网格或距离场来建模[11 (https://arxiv.org/html/2606.06505#bib.bib264)]。我们的框架提供了一种替代的边界中心视角：局部障碍物轮廓被表示为围绕曲线用户定义概率多边形表示的概率管状邻域，其中传感器噪声、安全裕度或学习到的认知不确定性通过τ_i内在地编码。这自然地联系到最近使用*高斯混合模型*作为紧凑、表达力强的占据模型的工作[6 (https://arxiv.org/html/2606.06505#bib.bib262),18 (https://arxiv.org/html/2606.06505#bib.bib263)]，但不同之处在于混合分量是通过几何基元的闭式得到，而非通过迭代拟合。更广泛地，该构造提供了一种通用方式，为确定性平面曲线赋予可调的横向不确定性场，同时保持适合推理、优化和控制的分析上可处理的*高斯混合模型*结构。 ## 2 相关工作 我们在此重点讨论与在不确定性下构造平面曲线的*高斯混合模型*表示相关的工作。尽管一些现有方法并非直接针对参数化曲线，但在通过采样其参数域将曲线转换为点云后，它们通常可以适用。通过这种方式，参数化曲线可以简化为一个有限的点集，之后基于点云的*高斯混合模型*方法，如[3 (https://arxiv.org/html/2606.06505#bib.bib3)]、[15 (https://arxiv.org/html/2606.06505#bib.bib4)]及相关方法变得适用。这些方法通常假设噪声点数据，并利用EM或其适当修改构造*高斯混合模型*表示。一个相关但更几何感知的方法在[8 (https://arxiv.org/html/2606.06505#bib.bib2)]中提出，其中底层流形由三角网格给出。在那里，*高斯混合模型*的构造由网格结构引导，并且EM过程被相应修改。从这个意义上说，该方法将数据驱动的拟合与表面的显式几何表示相结合。 ## 3 问题表述与高斯混合模型构造 为了方便读者，我们首先明确陈述曲线微分几何中的几个标准概念，以保持文章的自包含性。已经熟悉这些材料的读者可以快速浏览以下定义和说明，并重点关注用户定义概率多边形表示及其诱导的*高斯混合模型*构造。 ###### 定义3.1（参数区间）。参数区间是一个紧致区间 I = [a, b] ⊂ R，a, b ∈ R ∧ a < b。 ###### 定义3.2（平面曲线）。平面曲线是一个连续函数 α: I → R^2。 ###### 定义3.3（多边形表示）。令 α: I → R^2 是一条平面曲线。取参数区间 I 的一个划分 a = t_0 < t_1 < ... < t_N = b。定义顶点 v_i := α(t_i), i = 0, ..., N，并令每个线段 S_i 为连接顶点 v_{i-1} 和 v_i 的直线段，即 S_i := (v_{i-1}, v_i), i = 1, ..., N。则集合 {S_i} 称为曲线 α 的多边形表示。 ###### 定义3.4（法线方向不确定性参数）。每个线段 S_i 配备一个与线段法线方向不确定性相关的正标量 τ_i，即 τ_i > 0, i = 1, ..., N。 (7) ###### 定义3.5（平面曲线的用户定义概率多边形表示）。令 α: I → R^2 是一条可求长平面曲线，连同诱导的线段 {S_i}_{i=1}^N 及相关的线段法线方向不确定性参数 {τ_i}_{i=1}^N。集合 P = { (S_i, τ_i) }_{i=1}^N (8) 称为 α 的用户定义概率多边形表示。 ###### 定义3.6（每线段随机变量）。对于线段 S_i = (v_{i-1}, v_i)，定义 l_i := ||v_i - v_{i-1}||, e_i := (v_i - v_{i-1}) / l_i (l_i > 0), (9) 并令 n_i := R e_i, R = (0 -1; 1 0)。 (10) 对于 τ_i ≥ 0，与 S_i 相关联的*随机变量*为 X_i := v_{i-1} + l_i U_i e_i + τ_i Z_i n_i, (11) 其中 U_i ∼ U(u_i|0,1), Z_i ∼ N(z_i|0,1), U_i ⟂ Z_i。(12) ###### 命题3.1（用户定义概率线段的期望和方差）。令 X_i 如上定义。则其期望为 E(X_i) = (v_{i-1} + v_i) / 2, (13) 方差为 V(X_i) = (l_i^2 / 12) e_i e_i^⊤ + τ_i^2 n_i n_i^⊤。 (14) ###### 证明。由 U_i 和 Z_i 的独立性，并利用 E(U_i) = 1/2, V(U_i) = 1/12, E(Z_i) = 0, V(Z_i) = 1, (15) 我们得到 E(X_i) = v_{i-1} + E(U_i)(v_i - v_{i-1}) + τ_i E(Z_i) n_i = v_{i-1} + (1/2)(v_i - v_{i-1}) = (v_{i-1} + v_i) / 2。 (16) 此外，由于两项独立，V(X_i) = V(U_i d_i) + V(τ_i Z_i n_i), (17) 因此，V(U_i(v_i - v_{i-1})) = Var(U_i) (v_i - v_{i-1}) (v_i - v_{i-1})^⊤ = (1/12) (v_i - v_{i-1}) (v_i - v_{i-1})^⊤, (18) 并且 V(τ_i Z_i n_i) = τ_i^2 V(Z_i) n_i n_i^⊤ = τ_i^2 n_i n_i^⊤。 (19) 因此，V(X_i) = (1/12) d_i d_i^⊤ + τ_i^2 n_i n_i^⊤。 (20) 若 l_i > 0，则 d_i = l_i e_i 得出 V(X_i) = (l_i^2 / 12) e_i e_i^⊤ + τ_i^2 n_i n_i^⊤。 (21) ∎ ###### 定义3.7（由平面曲线用户定义概率多边形表示诱导的高斯混合模型）。令 P = { (S_i, τ_i) }_{i=1}^N