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浮点数：一种泄漏的抽象

来源：https://www.johndcook.com/blog/2009/04/06/numbers-are-a-leaky-abstraction/ Joel Spolsky 创造了“泄漏的抽象”这一术语（https://www.joelonsoftware.com/articles/LeakyAbstractions.html），用来描述那些通常能让你免于混乱细节、但有时会失效的编程概念。完美的抽象是一个你永远不必打开的黑盒。泄漏的抽象是一个你偶尔不得不打开的黑盒。

浮点数，即计算机对实数的表示，就是一种泄漏的抽象。它们表现得非常出色：你通常可以假装浮点类型就是数学上的实数。但有时你不能。这种抽象会泄漏，尽管不常发生。

我所听到的关于机器数局限性的解释大多很学究气。“浮点数只有有限个，所以它们不可能很好地表示实数。”这没什么帮助。它没有解释为什么浮点数实际上确实能足够好地表示实数以满足大多数应用，也没有指出这种抽象可能在哪些地方泄漏。

一个标准浮点数大约有 16 位十进制精度，最大值约为 10^308，即 1 后面跟 308 个零。（根据 IEEE 754 标准，即典型的浮点实现。）

十六位小数是很大的精度。几乎没有哪个测量量能精确到接近这个程度。例如，牛顿万有引力定律中的常数只知道六位有效数字。电子电荷已知到十一位有效数字，比牛顿引力常数精确得多，但仍然少于浮点数。那么什么时候十六位数不够用呢？ 一个问题是减法。其他基本运算——加法、乘法、除法——都非常精确。只要不出现上溢或下溢，这些运算的结果通常都能精确到最后一位。但减法可能从完全精确到完全不精确。如果两个数有 n 位相同，那么它们的减法可能会损失多达 n 位的精度。这个问题可能会在其他计算的中间意外出现。例如，参见这篇关于计算标准差的文章。

那上溢和下溢呢？你什么时候需要大于 10^308 的数？ 通常你不需要。但在概率计算中，例如，除非你很聪明，否则你总是需要它们。在概率中，常常要计算一个中等大小的数，它是一个天文数字般的大数与一个无穷小的数的乘积。最终结果能很好地放进计算机，但中间数可能因上溢或下溢而放不进去。例如，大多数计算机上的最大浮点数介于 170 的阶乘和 171 的阶乘之间。这么大的阶乘经常出现在应用中，通常与其他大阶乘构成比值。

通常你可以心安理得地忽略浮点运算的细节，但有时你却不能。深入学习的一个好去处是 David Goldberg 的论文《每个计算机科学家都应该了解的浮点运算》。

更新：参见后续文章，浮点数的解剖。

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