奇点派·乐观觉醒的数学家：「我希望AI能帮助数学家挣脱这样的枷锁——不再被自己无法证明的第一个自然猜想所困，转而致力于揭开贯穿我们这门学科的更深奥秘。」

# 数学已经改变。我们也该相应改变 来源：https://terrytao.wordpress.com/2026/11/01/mathematics-has-changed-lets-act-like-it/ *\本文是 [Frank Calegari (https://math.uchicago.edu/~fcale/)\](https://math.uchicago.edu/~fcale/) 的客座博文。本博文最初以另一种文件格式撰写，后经 AI 转换。—— T.\]* **为什么我们不该感到悲伤** OpenAI 于 10 月 6 日发布了 700 多篇研究论文，这是数学史上的一个分水岭。AI 现在已无可否认地具备了在众多数学领域做出开创性贡献的能力。那为什么有些数学家如此不快呢？ 部分原因在于 AI 公司对数学这门学科的实践方式显得漠不关心。OpenAI 的论文——尽管其中不乏精彩的想法——写得糟糕透顶，而且违反了我们学术共同体对署名归属的期望。有些论文甚至有错误。在如何招聘数学家、发表论文和培养学生方面，我们能掌控的远比对这些万亿美元公司的行为能掌控的要多得多，我们的精力应该花在那些我们能掌控的事情上。 大部分的反应似乎源于一种感觉：他们热爱的学科正在遭受攻击，正在被"掏空"。最近 OpenAI 的这波论文发布对 Langlands 纲领中函子性和互反性的一般性问题几乎没有造成任何冲击。但即使它*真的*解决了 Langlands 纲领中的每一个问题，认为这就算"解决了数论"，那也和说元素周期表的构建就解决了化学一样天真。数学家应该更好地向公众解释：当我们谈论某个领域的核心问题时，我们其实只是在讨论我们理解的最自然边界——而攻克这些边界并不是终点，而是寻找新的探索疆域的第一步。当然，这需要时间。我寻找了那些"受冲击更大"的领域。很难不被 Hugo Duminil-Copin 的感叹所触动（https://proofsandprompts.com/2026/10/08/100-reactions-to100-solutions/）： > 我在整个职业生涯中公开提到过的每一个重大公开问题——无论是在报告、讲座、文章，甚至基金申请书中——无一例外都被这次公告宣称已解决。我本以为会看到其中有几个被列入名单。但不是全部。不是同时全部。不是以如此漫不经心的方式。 我会如何回应这一点？ **有限单群的分类** 我无法对渗流理论说太多，但有另一个历史先例，我认为数学家们应该注意到。1972 年，Dan Gorenstein 宣布了有限单群分类的纲领。经过大约十年的密集研究之后，Gorenstein 于 1983 年宣布了这一"分类"完成（这有些仓促，因为拟薄群的情形又花了二十年才由 Aschbacher 和 Smith 完成）。 有限单群的分类在很多方面是巨大的成功，但它也是一种失败——在此向我的群论朋友和合作者们致歉——因为它使得该领域的热情大幅降温。"著名问题"已经解决了，数学家们总体上将注意力转向了别处。然而，有限群论中仍然存在非常丰富的课题，甚至关于分类本身也是如此（仅举一例：John Conway 最喜欢的问题是：为什么怪兽群会存在？(https://youtu.be/xOCe5HUObD4?si=qLrOZGG3F4lUBDUO&t=428)）。也许对某些领域来说，OpenAI 的这波发布就像一个群论学家在 1970 年如果发现分类结果不是以论文的形式、而是用蜡纸油印机打印出来的、有些模糊不清、然后像彩纸一样撒满了办公室地板时所感受到的那种冲击。 现在，我们需要 Gorenstein、Lyons 和 Solomon 以及他们在修订版分类工作中的那种努力。如果这就是我们要做的全部，那这将是一项相当吃力不讨好的任务。但我们还有责任不要宣布这个领域"已经完成"，而是要指出——借助这些新工具——它正处于进一步探索的沃土之中。当数学家们为一条银河系快速通道的建成而哀叹由此错过的曲折小径时，他们需要意识到那些旧路依然存在，需要去寻找它们。而且当涉及到为人们提供职位时，我们需要奖励这种行为。 **AI 的前景，以及数学的（不）统一性：** 从 15 岁起，我就想知道{\zeta(3)}到底是什么。起初，是小时候那种幻想——找到一个 Euler 遗漏的公式。但很快你就学得更多了：Grothendieck 的周期猜想，加上对混合 Tate 模动机几何足够精细的理解（在 Don Zagier、Sasha Goncharov、Francis Brown 等人工作的基础上），为所发生的事情给出了一个完全令人满意的结构性的、猜想性的解释。{\zeta(3)}的无理性，甚至它的超越性，不过是底层真正有趣的问题的一个影子。Apéry 对{\zeta(3)}无理性的证明激励了我超过{30}年，不是因为它的结论，而是因为它揭示了代数{G}-函数与算术之间某个仍然隐秘的故事中最微小的线索。 我希望 AI 能帮助数学家挣脱那种被第一个无法证明的自然猜想所束缚的枷锁，转而致力于解开贯穿我们学科的更深层奥秘。在过去三十年中，人类在数学上的进步是卓著的。但与此同时，我感受到了一种日益增长的不安：我看到各级数学家无数次无法向哪怕只是略微脱离其领域的人解释他们所做的工作为何有趣，这令人忧虑。我们这个职业的天然轨道已经过度偏向于更狭窄的技术专精，而非更宏大的视野。AI 为我们作为数学家拓宽视野提供了一个绝佳的机会。 我一直努力（虽然并不总是成功地）做一个视野广阔的数学家。我的成长经历帮了一些忙——虽然我从 17 岁起就知道自己想从事代数数论和 Langlands 纲领的工作，但我成长于 Melbourne University 这个熔炉中，那里是许多 Thurston 学生和低维拓扑学家的聚集地。这意味着我浸润在双曲三维流形的甘美醇酒之中。这段经历对我的职业生涯帮助不可估量。与任何两个深邃的数学领域一样，双曲三维流形与算术之间的联系远比表面看起来更为紧密。但同时精通两者仍然很难，更不用说追求一个将它们结合起来的疯狂想法了。让我暂时讲点技术性的东西。对于每一个虚二次域{F}，存在许多由非分裂四元数代数{D/F}标记的共度类紧致算术双曲三维流形。每个共度类中的流形{M}通过对{M}进行双曲四面体分解给出{K_3(F)}中的元素，而它们的体积总是{\zeta_F(2) \cdot \pi^{-2} \cdot \sqrt{|\Delta_F|}}的有理数倍。我一直有这样一个想法：可以将这些不同共度类中的元素设想为与{K_3(F)}相关的某种几何 Kolyvagin 系统（"Heegner 点"），然后可以通过某种未知的 Jacquet–Langlands 对应的整数算术版本将它们联结起来。我一直没有追求这个问题，原因有二。首先，这里涉及如此多的底层猜想，以至于我能证明的任何结果都将是条件性的，这并不总能被数学界所认可。其次，要精确地表述这个想法需要汇集大量技术背景，那将耗费巨量的铺垫工作。而现在，借助 AI，尝试这类问题的门槛大大降低了。这不是在试图证明一个定理，而是在试图探索一个全新的方向——它可能是有价值的，也可能毫无意义。数学中还有如此多新鲜而重要的问题，它们以前是触不可及的，现在能够去探索这些问题是令人无比兴奋的。我们需要更加雄心勃勃，制定一年前甚至无法想象的大胆研究计划。 这并不是说每个人都必须（或不得）使用 AI。但我们必须重新思考和调整什么才是重要的。对重大猜想的证明，无论是借助 AI 还是其他方式，仍将是新数学的一部分。但朝着更宏大的纲领（无论新旧）努力以及对结构性的理解，将发挥更根本的作用。Christian Szegedy 提出了以下观点（https://docs.google.com/document/u/1/d/e/2PACX-1vTSh-pyNP3Gi99WMmsinnLmE9V5CDI0HEm6WGbIPMNt3V5SGlClHF8-BetotKHOImrvQDSXmFdiOw8D/pub）： > 数学一直以精英主义自傲，对探索者怀有深深的敬意：那些能攀登他人所不能攀登之高峰的人。那种特定的英雄主义将变得不那么重要，而其他技能将变得更重要：选择哪片地形值得探索，指挥机群飞行，以及将他们的发现解释给世界其他地方的人们。 我已经准备好登上飞机，因为我想看看那里有什么。同时我要补充的是，那些过去一直闭着眼睛在地面上行走的人，无论飞得多高都不会认出任何东西；我仍然相信，数学家们现在拥有的许多技能不仅是可以迁移的，而且在新秩序中至关重要。 乐观者与悲观者之间的反应差异在于，对悲观者来说，游戏已经结束；对乐观者来说，游戏只是换了规则。我承认，我们珍视的数学文化的某些方面将不复存在，为这种丧失感到悲伤是人之常情。但现在有一个令人惊叹的新工具可以用来研究数学。转过身去说当前的数学界共同体比数学本身更重要，那将是一个可怕的错误。 **残酷的真相。** 尽管这个博客和其他地方所有人都在谈论数学关乎理解，但只要看一眼 arXiv，就会发现我们行业中许多人在争相赶着发布 AI 辅助的论文，以一种不太体面的方式争抢"第一个"证明某些东西。正如许多人已经注意到的那样，产生新颖证明的能力与展示理解或推动学科朝新的有趣方向发展的能力之间正在迅速形成一道鸿沟。随着人们产出越来越多的结果，Leiden 宣言在精神上比在名义上更少得到遵守，而看起来像是"一切照旧"，只不过时间尺度被大幅压缩，被别人抢先的威胁时刻悬在人们头顶。 对我来说，如果一个人选择了有价值的问题、完全借助 AI 获得了证明、彻底理解了它、并用它来发展出有趣的后续问题或方向，那他就是做出了实质性的数学贡献。即使他在原始证明中没有提供任何新的成分，我也会给予这个人充分的肯定。选择有价值的问题可能最终比产出证明更重要。 我们对猜想的执迷往往极大地低估了使回答（甚至提出）这些问题成为可能的探索性工作。现在我们正冒着将这个错误放大一百倍的危险——通过鼓励或奖励所有人争相按下按钮，尽快让这些新结果面世。我鼓励所有资深数学家（那些拥有终身教职特权的人）去从事创造未来问题和探索新想法的工作，而不是仅仅使用 AI 来回答现有的问题。如果你作为一个资深数学家，为被 AI 抢先而感到焦虑，那说明你的雄心还不够大。 **那么我们究竟该做什么？** 评论文章最终是无用的，除非它们提出了某种能够实际改变人们行为的机制。最有效的工具将是经济性的而非言辞性的。数学家们想要认可，数学家们想要职位，数学家们想要基金。我们目前拥有影响这些的手段是招聘和在期刊上发表论文。 让我提供一些非常基本的具体建议，然后是一些细节。 1. 评估所有工作时都假定其为 AI 辅助完成。 2. 招聘应更加注重面对面交流而非论文档案。博士后和研究生候选人应进行当面面试。 3. 对期刊提出更高要求，放弃那些不做出改变的期刊。 4. 在研究生教育中更加重视广度，但不要放弃技术能力。 5. 给出更好的研讨班。 6. 对 AI 产出的结果承担更多责任。 **评估：** Nelson Cole 著名地花了三个星期天的时间（https://en.wikipedia.org/wiki/Frank_Nelson_Cole）发现了以下素因数分解： \displaystyle 2^{67}-1 = 193707721 \cdot 761838257287。 在{1903}年，这是对数学的一个贡献。在{2003}年手工分解同一个数将同样令人印象深刻的算术壮举，但其对数学的贡献（即使此结果此前未知）将会小得多，因为这在计算机代数系统中不到一秒就能完成。AI 显然正在改变"容易"或"困难"的经济学——关于即将到来的定理经济学的崩塌已经有大量论述。随着时间的推移（也许很快），人们将形成一种新的关于什么才算对数学做出实质贡献的认识——无论它是提出有趣的问题、发展新的纲领，还是完全不同的东西。在未来，我没有理由仅仅因为一个结果可以由机器产生就去奖励一篇论文——无论它是否实际由机器产生。一个新的证明仍然可以因其引入的思想而获得充分的肯定，即使其结论已经可以由机器获得。那么为什么不从现在开始呢？重要的是，我不认为这在任何意义上意味着使用 AI 将成为取得数学进展的先决条件——只要我们继续重视人类的理解。虽然我觉得这是最具争议的建议，但我也觉得它是最不可避免的。它需要我们放弃一个长期存在的奖励机制的方面，但同时这个机制在未来将变得毫无意义。目前，使用 AI 带有某种污名，许多 AI 声明的措辞读起来更像是在试图淡化机器的贡献。如果我们把每一篇论文都当作可能由 AI 辅助完成的来评估，那么我们就必须坚持要求作者解释这个数学为什么有趣、它引出了什么问题、以及它如何与更广阔的领域相连。难道我们本来不就希望人们这样做吗？ **招聘：** 除非我们改变在招聘层面对人才的评估方式，否则不太可能让人们做出改变。过去的懒惰招聘委员会有时会指向一篇 JAMS 论文、一篇 Annals 论文，或其他一些论文集合，来证明候选人有多出色。我在寻找的是一个关于你想让数学朝什么方向发展的叙述、解释为什么这可能实现的技术能力、在多个数学领域的对话能力，以及过去确实做到这一切的可验证记录。这绝不是一个激进的新想法。招聘过程将需要远比论文档案更注重面对面交流。 面试应当成为标准做法，不仅针对终身教职岗位，也针对博士后和研究生岗位。我相信我们都有过这样的经历：录取了一个"从事高阶同伦论研究"的研究生，结果在录取后才发现他们连圆