反事实图像审计的共同见证证书与精确特征边界

# 共同见证证书与反事实图像审计的精确特征界
来源：https://arxiv.org/html/2609.03973
Usef Faghihi††注：加拿大魁北克省三河市魁北克大学三河分校数学与计算机科学系。两位作者贡献相等：各贡献50%的理论工作和50%的实验工作。
Amir Saki11脚注标记：1

###### 摘要
结构化图像编辑器可能分别满足每个区域合理性约束，但没有单一的潜在解释与完整输出兼容。我们通过共同见证等级及其见证神经来构建这种从局部到全局的失败模型。该框架将审计与因果识别分开：仅共享外生性允许机制边缘分布的所有耦合，而科学上合理的见证关系则精确给出关系支持的耦合，从而产生精确的特征层面部分识别界。对于准凸区域损失，经典Helly理论提供了有限不相容证书。对于审计生成的标记见证结构，我们推导出异质动作分层证书、有限见证图集的精确容错证书以及阻塞超图修复公式。分数Helly理论将密集的局部兼容性转化为大型联合相干子集。机制边缘的同时置信区域为完整识别区间提供有限样本外部置信界；Bonferroni–Clopper–Pearson带提供非渐近多项式构造。在受控MNIST旋转以及Morpho-MNIST和smallNORB的有限配对研究中，归档摘要报告相干对接受率为0.9593–0.9778，而区域动作拼接保持局部接受率0.9702–0.9804，但全局接受率为0–0.1138。合成研究验证了精确界、证书恢复和结构计算可达10⁴特征状态和10⁵区域约束。该方法审计预指定的特征关系；它不识别无限制的像素级反事实。

###### 关键词
反事实图像，部分识别，Helly定理，最优传输，有限样本推断，不可行性证书
††页眉：共同见证图像审计 / U. Faghihi 与 A. Saki
###### MSC分类号 52A35, 62G15, 62P30, 68T45, 90C05

## 1 引言
反事实图像编辑询问的是，在另一个干预下，同一单位的图像会是什么样子。在增强结构因果模型（ASCM）中，两个潜在图像都在相同的外生状态下评估。这种语义约定并未揭示它们的联合分布。Pan和Bareinboim表明，即使提供了潜在因果图，通常也无法从图像-标签样本中识别无限制的像素级反事实[21]。因此，他们基于特征的松弛是对声明的关心集合量的界，而不是对真实像素耦合的恢复。我们研究一个互补的审计失败：编辑图像可能使用不同的潜在解释来满足每个受保护区域约束，但没有一个解释能同时满足所有区域。形式上，每个区域的见证不一定是所有区域的共同见证。这种*全局见证缺口*在聚合独立局部通过的审计中是不可见的。只有当见证族被锚定在候选对之外时，缺口才具有科学信息价值。例子包括经过验证的渲染器、配对干预或设计保证。仅针对非配对图像拟合的相似度分数本身不是跨世界信息。我们通过区域成本编码外部合理的见证族，使用它们的共同次水平交集来审计图像对，并将所得的可接受性规则投影到预指定的有限特征上。然后，投影成为支持专用部分识别模型中的显式假设；它不是从因果图中推断的。贡献是从证书到推断的流程：

1. 我们将区域成本转化为分级可行性复形。对于此审计产生的标记见证结构，我们推导出精确的证书大小和修复公式：对于具有\(q\)个见证和\(s\)个例外角色的有限图集，一个精确的\(q(s+1)\)证书，最小解释的阻塞超图描述，以及大小为\(\sum_a(d_a+1)\)的异质动作分层证书。经典Helly、凸集并集、分数Helly和容错结果提供了底层的交集原理[6,2,8,20,15]。

2. 我们将此审计与识别分开。一个边界命题记录，仅共享外生性就允许所有耦合。一旦声明外部关系，其关系支持的耦合在所述支持专用双机制特征模型中给出精确识别集。该集内的任何耦合都不会被静默选择。

3. 我们通过耦合程序传播同时边缘置信区域，以获得完整神谕区间的有限样本外部置信界。受控和有限配对研究说明了局部到全局的分离，而合成程序检查预测区间和计算行为。我们明确报告了经验信息边界。伴随的公共仓库包含实现、测试、配置和保留输出；外部数据集必须从其原始来源获取。主线是：
区域成本 \(\longrightarrow\) 共同见证证书 \(\longrightarrow\) 声明的特征关系 \(\longrightarrow\) 精确耦合界 \(\longrightarrow\) 外部置信界。

技术扩展、完整方案和二次分析在补充材料中索引。

## 2 相关工作与定位
Pan和Bareinboim确立了反事实图像编辑的非识别边界，并提出了特征层面的因果界[21]；后续工作开发了一个解缠因果潜在编辑器[22]。我们的对象不同：一个外部锚定的共同见证审计，后跟一个支持专用的部分识别分析。它既不替代他们的构造，也不削弱他们的不可能性定理。联合潜在结果泛函的部分识别有着悠久的历史[18,3,26,11,10,27]。耦合和传输方法使剩余的跨世界模糊性显式化[25,23,7]。线性规划及其传输对偶是既定工具。这里的贡献是将它们置于可审计、外部来源的关系之后，以及一个精确的支持专用精确性陈述。Helly定理和分数Helly理论控制凸族的交集[6,14,13]。Amenta和Eckhoff–Nischke处理凸分量的并集和广义鸽巢机制[2,8]；容错变体也已确立[20,15]。我们的证书定理是审计中出现的见证结构的精确标记特化，具有精确性和基于阻塞的修复。我们并不声称有限特征界、传输对偶性或Helly理论是新的。最后，定理7是置信集传播。它在这里的重要性在于估计量：它覆盖整个识别区间。Clopper–Pearson带是保守但非渐近的[5]；如果能证明其联合覆盖，可以替换更高效的同时多项式区域[12,24,19]。

## 3 设定与共同见证审计
### 3.1 特征目标与识别边界
令\(X \in \{0,1\}\)表示一个干预，\(I_x \in \mathcal{I}\)为相应的潜在图像，其中\(\mathcal{I}\)是一个标准Borel空间。我们预指定一个可测有限特征\(\Psi: \mathcal{I} \to \mathcal{Y}, \quad \mathcal{Y} = \{1,\ldots,K\}, \quad Y_x = \Psi(I_x)\)，并假设单世界法则\(\mu_x(y) = \mathbb{P}(Y_x = y)\)是从随机干预数据或其他有效因果论证中识别的。仅图像样本通常不提供这种识别。令\(\pi_{yy'} = \mathbb{P}(Y_0 = y, Y_1 = y')\)。我们的目标是线性泛函界：
\[ H_h(\pi) = \sum_{y,y'} h(y,y') \pi_{yy'} \tag{1}\]
转移概率、平均特征变化和条件特征查询的分子都具有这种形式。分母为正的已识别条件查询\(\mu_0(B)\)可通过将相应分子除以该固定量获得。

###### 命题1（共享外生性饱和性）
令\(\mu_0, \mu_1\)为公共标准Borel空间上的概率法则。每个耦合\(\pi \in \Pi(\mu_0, \mu_1)\)是具有一个跨干预共享外生变量的双机制结构模型的联合潜在结果法则。

###### 证明
在法则为\(\pi\)的概率空间上，令\(U = (U_0, U_1)\)为坐标映射，并设\(f(x, u_0, u_1) = u_x\)。则\(Y = f(X, U)\)满足\(Y_x = U_x\)且\(\mathcal{L}(Y_0, Y_1) = \pi\)。两个世界使用相同的\(U\)实现。

命题1是一个边界引理，而非新颖性主张。它表明，仅使用两次相同见证本身无法克服因果层次。信息仅通过对可容许外生状态、响应函数或跨世界对的限制进入。

### 3.2 区域损失、等级与神经
令\(\mathcal{W}\)为声明的见证空间，令\(c_r(w; i, j) \geq 0, \quad r \in [m] = \{1,\ldots,m\}\)，度量见证\(w\)对事实-候选对\((i, j)\)违反规则\(r\)的程度。当\((i, j)\)固定或从上下文中明确时，我们将其从符号中省略。因此，例如，\(c_r(w)\)表示\(c_r(w; i, j)\)；相同的约定适用于下面定义的所有见证集、等级和容错量。ASCM响应类型\(U\)和审计见证\(w\)是不同的对象，除非外部科学论证将它们识别。在容错\(\varepsilon\)下，令：
\[ A_r^\varepsilon(i,j) = \{ w \in \mathcal{W} : c_r(w; i, j) \leq \varepsilon \} \tag{2}\]
在涉及达到最小值时，施加紧致性和下半连续性；可测版本在补充S1中给出。

###### 定义2（共同见证等级与神经）
对于非空\(S \subseteq [m]\)，定义：
\[ F(S; i, j) = \inf_{w \in \mathcal{W}} \max_{r \in S} c_r(w; i, j), \qquad \rho(i,j) = F([m]; i, j) \tag{3}\]
尺度\(\varepsilon\)下的见证神经为：
\[ K_\varepsilon(i,j) = \{ \varnothing \} \cup \left\{ \varnothing \neq S \subseteq [m] : \bigcap_{r \in S} A_r^\varepsilon(i,j) \neq \varnothing \right\} \tag{4}\]
如果\(T \subseteq S\)，则\(F(T; i, j) \leq F(S; i, j)\)。因此\(K_\varepsilon\)是一个单纯复形，最大面是最大可联合解释的角色集，最小非面是最小不相容解释。在达到下，当且仅当\(\rho(i,j) \leq \varepsilon\)时，\((i,j)\)具有一个全局见证。

为了允许预指定数量的区域例外，定义：
\[ F^{[s]}(S; i, j) = \inf_{w \in \mathcal{W}} \min_{\substack{D \subseteq S \\ |D| \leq s}} \max_{r \in S \setminus D} c_r(w; i, j), \qquad \max \varnothing := 0 \tag{5}\]
且\(\rho_s = F^{[s]}([m])\)。整数\(s\)是配对内角色预算；它不是不可容许特征对的概率质量。

### 3.3 从图像见证到特征关系
审计诱导存在特征投影：
\[ \mathcal{R}_\varepsilon = \left\{ (y, y') : \begin{array}{l} \text{存在提升$(i,j)$使得$\Psi(i)=y$, $\Psi(j)=y'$,}\\ \text{且$\rho(i,j) \leq \varepsilon$} \end{array} \right\} \tag{6}\]
因果模型必须单独假设\(\mathbb{P}\{(Y_0, Y_1) \in \mathcal{R}_\varepsilon\} = 1\)。因此该关系是外部声明的Layer-3限制，而非其定义的推论。存在特征投影也可以是图像级问题的外层松弛；仅在特征饱和或条件纤维条件下它是无损的（补充S3）。没有外部锚点时，诚实的默认是\(\mathcal{R}_\varepsilon = \mathcal{Y}^2\)。

## 4 组合证书与修复
我们首先给出实验直接使用的有限图集结果，然后将其凸类比置于经典Helly背景下。

### 4.1 有限图集
###### 定理3（精确有限图集容错证书）
假设\(\mathcal{W}\)有限，\(q = |\mathcal{W}|\)，且\(0 \leq s < m\)。对于容错\(\varepsilon \geq 0\)，令：
\[ B_w^\varepsilon = \{ r : c_r(w; i, j) > \varepsilon \}, \qquad G_w^\varepsilon = [m] \setminus B_w^\varepsilon \tag{7}\]
则：
\[ F^{[s]}(S; i, j) \leq \varepsilon \quad \Longleftrightarrow \quad \exists w \in \mathcal{W}: |S \cap B_w^\varepsilon| \leq s \tag{8}\]
最小的\(s\)-容错不相容解释是坏角色超图的包含极小\((s+1)\)-重横贯。每个最多有\(q(s+1)\)个角色。对于\(s=0\)，有：
\[ K_\varepsilon = \bigcup_{w \in \mathcal{W}} 2^{G_w^\varepsilon}, \qquad s_\varepsilon^\star := \min \{ s : \rho_s \leq \varepsilon \} = \min_{w \in \mathcal{W}} |B_w^\varepsilon| \tag{9}\]

###### 证明
对于固定的\(w\)，一个...