集体动力学中环境与相互作用力的同步推断

# 集体动力学中环境与交互力的同步推断
来源：https://arxiv.org/html/2608.25181

###### 摘要
集体动力学现象广泛存在于物理、生物和工程应用中，例如细胞迁移、群体机器人、社会动力学和动物行为。这类系统的核心特征在于通过局部智能体间相互作用涌现出大规模协调行为；因此，一个基本的科学问题在于理解这些局部相互作用如何导致观测到的涌现动力学。我们致力于研究通用的交互作用学习方法，该方法能够描述一类由交互核定义的广泛物理系统所表现的集体动力学，且无需对该核的解析形式进行任何先验假设（即非参数化方法）。这种基于核的方法的优势在于它融入了模型的底层物理机制（即集体动力学），而更通用的方程学习方法可能忽略这一点，从而可能限制其在模型精度和预测方面的有效性。本研究将现有的变分学习方法扩展至同时包含交互核与环境/智能体内部力的集体系统。所提框架能同步非参数化推断交互核，同时使用半参数或完全非参数化表示学习环境力。该方法在多个展示同步、对齐、吸引-排斥及外部环境力的基准模型上进行了验证。此外，我们引入了一种基于非参数学习框架的模型选择流程，用于识别能最优解释给定轨迹观测集的模型。通过利用所学模型的特征识别能力，所提流程能够区分不同的集体动力学框架，并直接从轨迹数据中恢复机械交互机制。

11脚注：Department of Mathematics, Clarkson University, Potsdam, NY, United States
22脚注：Department of Mathematics, University of Houston, Houston, TX, United States
**脚注：通讯作者，[[email protected]](mailto:[email protected])

## 1 引言
在交互智能体集体动力学研究中，一个关键问题是如何通过数学模型量化和预测其行为。此类模型可基于第一性原理构建，例如利用牛顿运动方程等著名物理理论，或基于实验观测的现象学考量构建；值得注意的是，这些模型也可以融合两种方法的特征。集体动力学模型在众多学科领域广泛存在，包括物理学、生物学、生态学、神经生物学、社会科学和经济学[1,2,3,4]。此外，一旦数学模型被建立并验证，即可通过理论分析和精确方法来研究和理解复杂行为的涌现；同样，此类模型为涌现的因果性提供了机制洞察，这在科学和实践层面都具有重要意义。实际上，智能体间动力学已在生物学、工程学和社会科学中得到应用，为理解集体细胞迁移、组织形态发生和肿瘤侵袭[5,6]、微生物群体运动[7,8,9]、动物群集行为[10,11,12,13,14,15,16]、行人和交通流[17]、观点形成[18,19]、群体机器人[20,21]以及分布式自主系统控制[22,23]提供了数学框架。在缺乏控制方程先验知识的情况下，此类机制洞察将面临挑战。基于学习的方法首先从集体动力学观测中发现控制方程，可以解决预测建模中的这些挑战，因为预测随后由学习的机制模型生成，而非通过对动力学数据的直接外推[24]，后者通常在训练数据之外的预测能力上表现欠佳[25,26]。

关于动力系统控制方程的数据驱动发现研究可追溯至拉格朗日、拉普拉斯和高斯的早期工作[27]。本文重点研究基于观测到的智能体时间轨迹数据发现集体动力学的控制方程，现代实验技术通常能提供此类数据[17,28,29,30,31,32]。需注意，本文研究的所有模型均通过常微分方程(ODE)定义，一般形式如下：
\[
\dot{x}=F(x),\quad x(t_0)=x_0\in\mathbb{R}^D,\quad t\in[t_0,T],
\]
(1)
其中 \(D\in\mathbb{N}\)。对于一般ODE系统(1)，控制方程的发现可表述如下：从不同时刻 \(t\) 观测到的 \(x(t)\) 推断 \(F\)。已有多种系统辨识方法用于解决该问题，包括经典的回归启发技术[33,34,35]、稀疏识别方法[36,26,37,38,39]以及统计力学公式[30]。物理信息神经网络(PINNs)[40]、神经ODE[41]、物理信息神经向量场[42,43]也已被应用。

从轨迹数据学习集体系统控制方程时，存在若干挑战。若将动力学视为全状态空间上的任意向量场，则所得回归问题呈高维且计算密集型，其维度随智能体数量增长。这在生物集体动力学中尤为突出，此类系统可能包含众多生物体或细胞，每个均在 \(\mathbb{R}^2\) 或 \(\mathbb{R}^3\) 中演化。此外，控制机制的相关函数形式通常未知，难以构建合适的候选库。因此，当重要的交互作用、环境或自推进项被遗漏时，基于库的方法可能易受模型误指定影响[44,45]。关于这些学习集体动力学相关问题的更详细讨论，感兴趣的读者可参考[46,47]。

前述方法适用于形式为(1)的一般动力系统（需注意，存在向偏微分方程和随机微分方程的扩展[48,49,39,50,51]）。然而，这些方法通常未考虑向量场 \(F\) 的特定形式，或可能在应用中先验已知的对称性。对于集体交互的智能体，\(F\) 通常具有结构化形式，可利用已知结构改进推断。实际上，[46,52,53,24,54]中的作者为集体系统设计了基于变分的的学习方法，可应用于多个领域；这些方法避免了基于回归的动力学方法所面临的问题，并构成本文工作的基础。

更具体地说，该通用框架假设通常高维的动力系统(1)由低维交互核 \(\phi:\mathbb{R}_{\geq 0}\to\mathbb{R}\) 定义，该核量化了智能体间局部成对交互的效应。此类系统的最简例子是交互通过成对平均直接影响动力学：
\[
\dot{x}_i=\frac{1}{N}\sum_{\substack{j=1\\ j\neq i}}^{N}\phi(\|x_j-x_i\|)(x_j-x_i).
\]
(2)
其中，\(x_i\) 表示第 \(i\) 个智能体在 \(\mathbb{R}^d\) 中的状态，\(\phi(\|x_j-x_i\|)\) 表示智能体 \(j\) 对 \(i\) 的交互强度：\(\phi>0\) 建模吸引，\(\phi<0\) 建模排斥。函数 \(\phi=\phi(r)\) 被假设仅取决于智能体间距离，其中 \(\|\cdot\|\) 表示 \(\mathbb{R}^d\) 中的标准欧氏距离。科学和工程中的许多模型具有形式(2)，包括[18,10]。

需注意，推断 \(F:\mathbb{R}^D\to\mathbb{R}^D\) 的问题因此简化为推断 \(\phi:\mathbb{R}_{\geq 0}\to\mathbb{R}\)，因为我们利用了现象的物理知识来降低逆问题的维度。当然，存在形式超出(2)的其他集体系统（例如二阶系统），我们强调该学习方法普遍适用；实际上，当候选向量场存在显著的维度约减且已知先验时，此类变分方法将有效执行。

需注意系统(2)完全由智能体间交互力定义；未假设智能体内在力。然而在许多应用中，智能体同时经历内在和智能体间动力学，前者包括自推进、摩擦和其他环境力。因此，仍然需要一个统一的学习框架，通过轨迹数据同时识别智能体间交互(\(\phi\))和智能体内在环境力。本研究的目标是通过推广变分框架[46]，引入一种扩展的机制学习方法，以同时捕获交互作用和环境力。

数学上，我们将系统(2)的方法推广至（例如）形式如下的方程：
\[
\dot{x}_i=f(x_i)+\frac{1}{N}\sum_{\substack{j=1\\ j\neq i}}^{N}\phi(\|x_j-x_i\|)(x_j-x_i),
\]
(3)
其中环境力由函数 \(f:\mathbb{R}^d\to\mathbb{R}^d\) 表示；对更一般集体系统的扩展将在文中讨论。扩展(3)因此包括交互驱动动力学(\(\phi\))和智能体级内在效应(\(f\))，同时保留成对交互结构。注意，我们现在关注同时推断 \(f:\mathbb{R}^d\to\mathbb{R}^d\) 和 \(\phi:\mathbb{R}_{\geq 0}\to\mathbb{R}\)，与(1)相比，这仍代表显著的维度约减，其中在集体动力学情况下 \(D=dN\)，通常 \(d\ll dN\)。

形式如(3)的方程可用于描述广泛的现象类别，包括基于智能体系统中的吸引、排斥、旋转、群集、聚集、同步和对齐，且在多种过程中被观测到，例如细菌的趋光性[55]、自推进粒子和鱼群协调运动[56]、群体机器人[57,58]、具有社会交互的趋化性[59]、具有目的地引导的人群动力学[60]以及萤火虫同步[61]。

本研究的主要贡献如下。我们引入两种方法（半参数化和完全非参数化），并证明两者均可应用于统一的一阶和二阶模型框架中，以同步恢复环境力 \(f\) 和交互核 \(\phi\)。需注意，当已知智能体内在动力学的函数形式时，可使用参数化公式，并能自然地结合以非参数化方式识别交互核 \(\phi\)。接下来，我们通过利用动力学驱动的加权 \(L^2\) 距离比较力的机制估计，以及通过预测训练和测试轨迹的性能，量化学习方法的表现。