决策聚焦的稀疏切线投资组合优化

# 面向决策的稀疏切线投资组合优化
来源：https://arxiv.org/html/2607.00581
###### 摘要

稀疏切线投资组合优化旨在学习均值-方差前沿切线方向上的可解释、低基数投资组合。然而，相关的基数约束公式是NP难的，标准的预测-然后-优化流程往往会使预测准确性与下游投资组合质量错位。我们提出了一种端到端的决策导向学习框架，该框架将夏普比率最大化重新表述为一个符合Disciplined参数化编程（DPP）的凸规划层，并用平滑的top-k算子替换离散选择，以强制执行精确的基数k。这使得梯度能够流经预测、资产选择和重新优化，从而使预测模型能够直接优化投资组合表现。在四个主要股票市场中，我们的方法与历史和预测导向基线相比，实现了具有竞争力且通常更优的样本外夏普比率，尤其是在更大的资产池中收益显著。我们的代码 (https://github.com/feuerwerksh/Diffble-card-SR) 已公开可用。

机器学习, ICML

## 1 引言

源自Markowitz的均值-方差模型(Markowitz, 1952 (https://arxiv.org/html/2607.00581#bib.bib1))，现代投资组合理论将投资决策视为在投资组合层面平衡风险与回报，而非孤立地评估资产(Kim等人, 2021 (https://arxiv.org/html/2607.00581#bib.bib5))。通过结合具有不同风险-回报特征的资产，投资者可以构建多样化的投资组合，在给定的预期回报水平下实现更低的方差。这一原则通过有效前沿和诸如夏普比率等绩效度量得以形式化，夏普比率捕捉了超额回报与投资组合波动性之间的权衡(Sharpe, 1966 (https://arxiv.org/html/2607.00581#bib.bib4))。尽管多元化在理论上颇具吸引力，但持有过多资产通常不切实际，因为它会增加监控和交易成本，并使投资组合难以解释(Woodside-Oriakhi, 2011 (https://arxiv.org/html/2607.00581#bib.bib2))。

出于这些实际原因，投资组合经理通常偏爱稀疏配置，将敞口集中在有限数量的资产上。形式化这种偏好的标准方法是通过一个基数约束，限制非零头寸的数量。然而，强制执行这种稀疏性引入了一个基本矛盾：虽然限制持有资产数量提高了可解释性并降低了交易成本，但它将投资组合构建变成了一个具有挑战性的组合问题。因此，现有方法必须在不同的基数水平下平衡解的质量、计算效率和灵活性。最近，将资产选择与重新优化解耦的启发式流程作为构建稀疏切线投资组合的实用工具显示出前景，在解的质量和可扩展性之间提供了有利的平衡。然而，这些流程仍然依赖于由独立预测模型产生的上游预测，其有效性最终取决于预测、离散选择和连续重新优化之间的端到端交互。

即使有强大的启发式方法处理稀疏优化，预测和决策之间仍然存在持续脱节。传统框架通常基于历史数据拟合模型，然后部署由此产生的规则来做出未来决策(Fabozzi等人, 2007 (https://arxiv.org/html/2607.00581#bib.bib9))，但它们常常无法适应非平稳、快速变化的市场和不断变化的约束(Schmitt等人, 2013 (https://arxiv.org/html/2607.00581#bib.bib10); Hamilton, 2020 (https://arxiv.org/html/2607.00581#bib.bib32); Hwang等人, 2025 (https://arxiv.org/html/2607.00581#bib.bib34))。为缓解这一问题，从业者训练机器学习模型来预测未来收益，并让优化器利用这些预测来构建投资组合。然而，这些预测器通常是在统计损失下训练的，这与投资组合优化的最终目标不一致，并且没有考虑到驱动实际绩效的选择和重新优化步骤。这种预测-然后-优化的不匹配在严格的基数约束下尤其有害，因为小的预测误差可能会通过离散选择阶段级联放大，导致显著的效用损失。

在本文中，我们展示了决策导向学习 (DFL) 可以有效地应用于具有显式基数约束的投资组合优化(Mandi等人, 2024 (https://arxiv.org/html/2607.00581#bib.bib19))。与传统的历史估计或预测-然后-优化流程不同，DFL通过直接优化下游决策质量而非中间预测准确性来训练预测模型。我们为稀疏投资组合优化开发了一个端到端的决策导向框架，该框架通过资产选择和投资组合重新优化实现基于梯度的学习。所提出的方法在固定的稀疏性预算下将学习目标与风险调整后的投资组合绩效对齐，允许预测模型内化受约束优化问题的结构。

我们的主要贡献有三方面。首先，据我们所知，这是首次将DFL应用于具有显式基数约束的稀疏切线投资组合优化，桥接了传统上独立发展的两个研究方向。其次，我们提出了一个可微的决策层，将夏普比率最大化的DPP兼容凸重新表述与一个平滑的top-k资产选择算子相结合，实现了通过预测、资产选择和重新优化的端到端梯度流动。最后，我们在四个市场上使用不同的基线进行了实验：历史基线、预测导向学习 (PFL) 和 DFL 流程，结果表明 DFL 实现了有竞争力或更优的性能，并且在更大的资产池中获得了更多收益。

## 2 相关工作

### 2.1 投资组合优化

投资组合优化问题产生最优投资组合权重，这些权重规定了资本如何在资产间分配。Markowitz的框架将投资组合构建确立为一个优化问题，随后的工作在许多方向上扩展了它：改进收益和协方差的估计、替代风险度量以及反映投资组合管理的实际约束(Kim等人, 2024 (https://arxiv.org/html/2607.00581#bib.bib36))。在实践中，持有许多资产成本高昂且难以管理，因此管理者通常偏爱将敞口集中在少数头寸上的稀疏配置(Woodside-Oriakhi, 2011 (https://arxiv.org/html/2607.00581#bib.bib2))。形式化这种偏好的标准方法是通过一个基数约束，它明确限制了非零权重的数量。

虽然这个约束在概念上很直接，但它从根本上改变了问题的计算性质：将资产选择的离散性纳入目标函数，将原本平滑的连续优化变成了一个组合搜索，这在一般情况下是NP难的，因此对于大的资产池难以精确求解(Garey and Johnson, 2002 (https://arxiv.org/html/2607.00581#bib.bib7))。控制投资组合基数已被广泛研究，大致可分为三个方法论方向。一个方向通过正则化或基于范数的惩罚间接引入稀疏性，以牺牲精确资产选择来换取可扩展性(Brodie等人, 2009 (https://arxiv.org/html/2607.00581#bib.bib26); Chen and Zhu, 2014 (https://arxiv.org/html/2607.00581#bib.bib28); Kremer等人, 2020 (https://arxiv.org/html/2607.00581#bib.bib3); DeMiguel等人, 2009 (https://arxiv.org/html/2607.00581#bib.bib12))。另一个方向通过精确或基于松弛的算法（如分支定界及相关公式）更直接地处理离散约束(Bienstock, 1996 (https://arxiv.org/html/2607.00581#bib.bib17); Li等人, 2006 (https://arxiv.org/html/2607.00581#bib.bib18); Gao and Li, 2013 (https://arxiv.org/html/2607.00581#bib.bib21); Kim and Lee, 2016 (https://arxiv.org/html/2607.00581#bib.bib13); Lee等人, 2020 (https://arxiv.org/html/2607.00581#bib.bib23))。第三个方向依赖于启发式方法，在大的资产池中以牺牲最优性保证换取计算效率(Chang等人, 2000 (https://arxiv.org/html/2607.00581#bib.bib24); Maringer and Kellerer, 2003 (https://arxiv.org/html/2607.00581#bib.bib25))。

除了均值-方差之外，投资组合优化还在各种目标下进行了研究，其中风险调整后的绩效指标自然地推动夏普比率最大化作为一个单目标公式。几项工作研究了在显式稀疏性要求下的夏普比率最大化(Sharpe, 1966 (https://arxiv.org/html/2607.00581#bib.bib4))。夏普比率是一个标准的风险调整后绩效指标，通过波动率对预期收益进行归一化，使得不同风险水平的投资组合之间可以进行比较。代表性的方法包括基于SDP的松弛，它产生了稀疏夏普问题的可处理凸近似(Kim等人, 2016 (https://arxiv.org/html/2607.00581#bib.bib29))，以及将分数目标函数重新表述并应用具有理论保证的高效一阶算法的方法(Lin等人, 2024 (https://arxiv.org/html/2607.00581#bib.bib15))。补充这些以优化为中心的方法，OSCAR (Optimize, Select with Cholesky, and Re-optimize) 是一个实用的启发式流程，它在连续优化和离散资产选择之间交替，以获得大资产池中可扩展的高质量稀疏投资组合(Bae等人, 2025 (https://arxiv.org/html/2607.00581#bib.bib8))。

### 2.2 决策导向学习

在学习之后进行优化的传统工作流程通常遵循PFL范式，通常称为预测-然后-优化或两阶段学习(Lee等人, 2024 (https://arxiv.org/html/2607.00581#bib.bib35))。首先训练一个预测模型，使用标准统计损失（如均方误差或交叉熵）输出未知问题参数的点估计。然后，这些预测被视为下游约束优化模型的固定输入，该模型计算最终决策。然而，PFL没有考虑下游决策问题的结构。它隐含地假设最小化预测损失将导致高质量的决策，这个假设在实践中常常失败。因此，纯粹在预测损失上训练的模型即使在预测统计准确时，也可能在真实任务目标上表现不佳。

DFL的引入是为了通过直接将模型训练与决策质量对齐，而不是与中间预测准确性对齐，来解决这种不匹配。在DFL中，预测模型和优化层被集成到一个单一的端到端流程中，训练最小化一个取决于实际决策的任务损失，而不是纯粹的预测损失(Mandi等人, 2024 (https://arxiv.org/html/2607.00581#bib.bib19))。这种范式已应用于各种任务，包括网络设计、资源分配、路由、投资组合优化和目标导向投资，并且当决策质量对预测中的结构化错误敏感时，通常比PFL获得显著的收益。

DFL中的一个核心技术挑战是计算任务损失相对于预测模型参数的梯度。主要困难在于对下游优化进行微分。必须刻画优化器的解如何随着预测成本或参数的变化而变化，即使解映射仅被隐式定义为优化问题的argmin，并且通常没有闭式表达式，导致在参数空间的大片区域上梯度为零或未定义。因此，先前的DFL工作通常通过以下方式获得可用的学习信号：要么在解映射平滑时解析地对优化器的最优性条件进行微分(Shah等人, 2022 (https://arxiv.org/html/2607.00581#bib.bib6))，要么对优化进行正则化以创建稳定的梯度(Brodie等人, 2009 (https://arxiv.org/html/2607.00581#bib.bib26); Chen and Zhu, 2014 (https://arxiv.org/html/2607.00581#bib.bib28))。

参见图注
图1: 提出的可微决策层概述。给定预测收益μ^\\hat{\\mu}，该层执行优化→\\rightarrow分数变换→\\rightarrow软top-k选择→\\rightarrow重新优化，以生成稀疏切线投资组合权重，权重定义了任务损失。反向传播流经所有步骤，实现端到端DFL。一个核心技术挑战是关于预测μ^\\hat{\\mu}对基于优化的决策层进行微分。

## 3 预备知识

### 3.1 基数约束下的投资组合优化

最大化夏普比率(Sharpe, 1966 (https://arxiv.org/html/2607.00581#bib.bib4))的投资组合优化的标准构造可以写成：

maxw∈Rn⁡μ⊤ww⊤Σw s.t. 1⊤w=1\\max_{w\\in\\mathbb{R}^{n}}\\;\\;\\frac{\\mu^{\\top}w}{\\sqrt{w^{\\top}\\Sigma w}}\\quad\\text{s.t.}\\quad\\mathbf{1}^{\\top}w=1 (1)

其中 w∈Rnw\\in\\mathbb{R}^{n} 表示投资组合权重向量，μ∈Rn\\mu\\in\\mathbb{R}^{n} 表示预期超额收益向量，Σ∈Rn×n\\Sigma\\in\\mathbb{R}^{n\\times n} 是资产收益的协方差矩阵，1\\mathbf{1} 是全一向量。在整项工作中，我们允许卖空，因此 ww 中的负项是允许的。分子代表投资组合的预期收益，而分母对应于由 Σ\\Sigma 引起的风险。

为了增强实际的可解释性并降低交易成本，通常通过基数约束限制投资组合中持有的资产数量。这导致了稀疏夏普比率最大化问题：

maxw∈Rn\\displaystyle\\max_{w\\in\\mathbb{R}^{n}} μ⊤ww⊤Σw\\displaystyle\\frac{\\mu^{\\top}w}{\\sqrt{w^{\\top}\\Sigma w}} (2)
s.t. 1⊤w=1\\displaystyle\\mathbf{1}^{\\top}w=1
Card⁡(w)≤k\\displaystyle\\operatorname{Card}(w)\\leq k

其中 Card⁡(w)\\operatorname{Card}(w) 计算 ww 的非零分量个数，稀疏性预算为 kk。如第2.1 (https://arxiv.org/html/2607.00581#S2.SS1)节所述，添加这个约束使问题成为组合问题而非平滑连续问题。由于带有基数约束的投资组合选择通常是NP难的，精确方法对于大的资产池通常不实用。

最近的工作提出了OSCAR(Bae等人, 2025 (https://arxiv.org/html/2607.00581#bib.bib8))作为经典均值-方差框架中稀疏切线投资组合优化的快速启发式方法。它通过将资产选择与权重优化分离，同时利用夏普比率的三个关键结构性质(Kim and Lee, 2016 (https://arxiv.org/html/2607.00581#bib.bib13))，避免了基数约束投资组合优化的组合复杂性。

###### 命题3.1。

对于任意 λ\>0\\lambda\>0，夏普比率关于 ww 是尺度不变的，即

SR(w∣μ,Σ)=SR(λw∣μ,Σ).SR(w\\mid\\mu,\\Sigma)=SR(\\lambda w\\mid\\mu,\\Sigma).

直接的结果是，方程 (2 (https://arx