从固定网格到移动粒子：用于流体动力学的 Transferable Latent Operator (TLO)

# 从固定网格到移动粒子：用于流体动力学的可迁移隐式算子
来源：https://arxiv.org/html/2608.14120  
Chuqi Chen, Zhengqing Gao, Xi Zhou, Xiao Sun, Yang Xiang\\corresponding, Huaxi Huang\\corresponding

###### 摘要

拉格朗日建模对流体动力学至关重要，它描述了粒子输运过程，并与欧拉描述形成互补。然而，拉格朗日轨迹数据通常比欧拉场数据更难获取，而大多数神经算子主要在欧拉表示下进行训练和评估。这种不匹配催生了一个新的学习问题：仅基于欧拉观测训练的模型，能否无需拉格朗日监督或任务特定适配，实现从欧拉场预测到拉格朗日粒子轨迹推演的零样本泛化？为此，我们提出了*可迁移隐式算子*（Transferable Latent Operator, TLO），它学习了一种统一的流场表示，该表示在欧拉场预测和拉格朗日粒子轨迹推演中共享。TLO将隐式流场演化与坐标相关的解码过程解耦：在固定空间坐标处查询演化的隐式表示可得到欧拉场；而在粒子位置处查询速度并递归更新这些位置，则可实现拉格朗日推演。在五个流体动力学基准测试中，TLO在欧拉场预测和零样本拉格朗日推演方面均持续优于现有神经算子，且通过有限的拉格朗日微调可获得进一步提升。

## 引言

拉格朗日粒子轨迹为流体流动中的输运、混合和扩散提供了直接描述。然而，大多数流体学习数据集以固定欧拉网格上的时间依赖场形式提供。原始拉格朗日数据较为稀缺，因为它们需要指定并追踪粒子群体。在粒子数量庞大时，轨迹生成、存储以及基于粒子的训练在时间和内存上也可能成本高昂。这种不匹配引出了一个实际问题：仅在固定网格欧拉数据上训练的模型，能否支持同一流动的拉格朗日粒子轨迹推演？

我们将此问题表述为*零样本欧拉-拉格朗日泛化*。模型仅使用欧拉场监督进行训练，不涉及粒子坐标、粒子速度或轨迹标签。在测试时，同一模型在移动的粒子位置处进行查询，其预测速度在不调整参数的情况下通过递归积分更新。这不仅仅是普通的任意坐标评估：每次速度预测都会改变下一个粒子位置，从而决定下一个查询位置。因此，误差可能导致历史相关的查询偏移，并累积成轨迹漂移。

尽管现有方法探索了欧拉-拉格朗日建模，但并未直接解决零样本欧拉-拉格朗日推演问题。基于隐式粒子、联合场-轨迹学习或轨迹重建的方法通常需要额外的拉格朗日监督或特定于粒子的建模，阻碍了零样本迁移。或者，欧拉神经算子可与数值插值结合，从预测的网格场中获取粒子速度。但这种策略仍受限于欧拉离散化的分辨率和支持范围。一旦粒子移动超出网格支持范围，标准插值将无法继续，除非引入额外的外推规则。

这些局限性催生了这样一种需求：一种神经算子能从欧拉观测中学习流动动力学，同时支持在递归演化的粒子位置处直接评估。因此，我们引入了*可迁移隐式算子*（TLO），它采用单一隐式流演化与两种查询模式。编码器将固定网格欧拉观测映射为具有空间局部化特征并增强全局流动上下文的令牌，共享的隐式处理器独立于输出查询集推进该表示。随后，坐标条件解码器在所需位置评估预测场。在固定欧拉网格上查询可产生欧拉场预报，而在递归平流的粒子位置处查询速度通道则可产生拉格朗日推演。粒子坐标仅作为解码器查询使用，欧拉训练目标不需要这些坐标。

我们在五个流体动力学基准测试上评估TLO用于欧拉预报，并在三个基准测试上评估其用于零样本拉格朗日粒子推演。TLO在实现高精度欧拉预测的同时，能直接迁移至参考路径速度预测和闭环轨迹生成。我们还与原生基于粒子的模型和网格插值方法进行了比较。直接解码在欧拉支持范围内与插值方法具有竞争力，且在粒子离开该支持范围后仍可评估，而标准插值在此情况下变得未定义。我们单独研究了仅使用稀疏粒子速度监督的解码器适配。

我们的主要贡献总结如下：

- • 我们提出并评估了*零样本欧拉-拉格朗日泛化*，其中仅使用固定网格欧拉监督训练的模型，能在无需粒子监督或参数适配的情况下执行闭环粒子推演。
- • 我们提出了*可迁移隐式算子*，其输出查询无关的隐式演化和坐标条件解码器使得同一训练模型能支持固定网格预报和移动粒子查询。
- • 在五个欧拉基准和三个粒子推演基准上，TLO均表现出色，与神经算子和原生基于粒子的基线方法相比具有优势，并在超出固定欧拉网格支持范围后仍可评估。

## 相关工作

#### 神经算子

神经算子学习函数空间之间的映射以用于偏微分方程建模。代表性架构包括谱算子、基于坐标的模型以及基于注意力或令牌的算子。尽管其中多个模型支持任意坐标评估，但它们通常在固定或外部指定的查询位置上进行评估。我们则考虑位置由模型预测速度递归生成的移动查询。

#### 欧拉-拉格朗日建模

经典的粒子-网格方法通过两种表示之间的传输将欧拉场与拉格朗日粒子耦合起来。近期的神经方法使用隐式粒子改进欧拉预报、从粒子观测推断场或轨迹，或学习基于粒子的模拟器。相比之下，TLO的零样本版本仅在固定网格欧拉场上训练，粒子位置仅在推理时作为解码器查询引入。因此，学习到的同一流动表示同时支持欧拉场预测和闭环拉格朗日推演。稀疏解码器适配作为非零样本扩展进行单独研究。

## 问题设定

设Ω⊂Rd\\Omega\\subset\\mathbb\{R\}^\{d\}为空间域。在时间t，流动的状态由向量场ut:Ω→Rdu\\bm\{u\}\_\{t\}:\\Omega\\rightarrow\\mathbb\{R\}^\{d\_\{u\}\}表示，其中c个通道可能包含速度、压力、密度或其他物理变量。我们记速度为vt\(x\):=Πvut\(x\)∈Rd\\bm\{v\}\_\{t\}(\\bm\{x\}\):=\\Pi\_\{v}\\bm\{u\}\_\{t\}(\\bm\{x\})\\in\\mathbb\{R\}^\{d\},其中Πv\\Pi\_\{v\}是提取速度通道的投影算子。

可用数据并未直接提供连续函数ut\\bm\{u\}\_\{t\}。相反，每个状态在固定的欧拉坐标集合上观测到：

XE:=\{xi\}i=1NE,Ut:=\[ut\(xi\)\]i=1NE∈RNE×du\.\\displaystyle X\_\{E\}:=\\\{\\bm\{x\}\_\{i\}\\\}\_\{i=1\}^\{N\_\{E\}\},\\,\\mathbf\{U\}\_\{t\}:=\[\\bm\{u\}\_\{t\}(\\bm\{x\}\_\{i\})\]\_\{i=1\}^\{N\_\{E\}\}\\in\\mathbb\{R\}^\{N\_\{E\}\\times d\_\{u\}\}\.\(1\)XEX\_\{E\}中的坐标随时间保持固定，而场值Ut\\mathbf\{U\}\_\{t\}演化。因此，数据集由在同一欧拉坐标上观测到的时间序列\{U0,U1,...\}\\\{\\mathbf\{U\}\_\{0\},\\mathbf\{U\}\_\{1\},\\ldots\\\}组成。

我们的目标是学习从当前欧拉观测Ut\\mathbf\{U\}\_\{t\}到下一物理场ut\+1\\bm\{u\}\_\{t\+1\}的单步演化。具体而言，学习的算子不应仅限于返回XEX\_\{E\}上的值。给定任意有限的输出坐标集Q=\{qj\}j=1NQ⊂ΩQ=\\\{\\bm\{q\}\_\{j\}\\\}\_\{j=1\}^\{N\_\{Q\}\}\\subset\Omega，它预测：

U^t\+1\(Q\):=Gθ\(XE,Ut,Q\)\\displaystyle\\widehat\{\\mathbf\{U\}\}\_\{t\+1\}(Q):=\\mathcal\{G\}\_\{\\theta\}(X\_\{E},\\mathbf\{U\}\_\{t};Q)=\[u^t\+1\(q1\),...,u^t\+1\(qNQ\)\]⊤\.\\displaystyle=\[\\widehat\{\\bm\{u\}\}\_\{t\+1\}(\\bm\{q\}\_\{1\}),\\ldots,\\widehat\{\\bm\{u\}\}\_\{t\+1\}(\\bm\{q\}\_\{N\_\{Q\}\})\]\^\{\\top\}\.这里，*查询*仅仅是请求下一个场值的坐标qj\\bm\{q\}\_\{j\}。设置Q=XEQ=X\_\{E\}可生成下一个欧拉网格场。设置QQ为粒子坐标则提供了演化拉格朗日粒子所需的局部速度值。

图1：TLO的工作流程，用于从共享的隐式流动表示进行统一的欧拉场预报和拉格朗日粒子推演。符号XEX\_\{E\}、U^t\\hat\{U\}\_\{t\}和y^t\\hat\{y\}\_\{t\}遵循问题设定章节。#### 从欧拉场学习

流体动力学数据集通常以固定空间网格上的时间依赖场形式提供。因此，我们使用连续的欧拉场作为监督的主要来源。尽管算子接受一般的查询集QQ，其训练目标仅在XEX\_\{E\}上提供：

LEul=Et\[1NEdu‖Gθ\(XE,Ut,XE\)−Ut\+1‖F2\]\.\\mathcal\{L\}\_\{\\mathrm\{Eul\}\}=\\mathbb\{E\}\_\{t\}\\\!\\left\[\\frac\{1\}\{N\_\{E\}d\_\{u\}\\left\\\|\\mathcal\{G\}\_\{\\theta\}(X\_\{E},\\mathbf\{U\}\_\{t\};X\_\{E\})\-\\mathbf\{U\}\_\{t\+1\}\\right\\\|\_\{F\}^\{2\}\\right\]\.\(2\)因此，训练场演化模型不需要粒子坐标或轨迹标签。从观测到的初始状态U0\\mathbf\{U\}\_\{0\}开始，每一步选择Q=XEQ=X\_\{E\}即可得到自回归欧拉推演：

U^t\+1=Gθ\(XE,U^t,XE\),U^0=U0\.\\widehat\{\\mathbf\{U\}\}\_\{t\+1\}=\\mathcal\{G\}\_\{\\theta\}(X\_\{E},\\widehat\{\\mathbf\{U\}\}\_\{t\};X\_\{E\}),\\qquad\\widehat\{\\mathbf\{U\}\}\_\{0\}=\\mathbf\{U\}\_\{0\}\.\(3\)这产生在固定欧拉网格支持上的预测场序列\{U^1,...,U^H\}\\\{\\widehat\{\\mathbf\{U\}\}\_\{1\},\\ldots,\\widehat\{\\mathbf\{U\}\}\_\{H\}\\\}。除了提供场预报外，该推演还提供了演化的流动状态，可从中评估移动坐标处的速度。

图2：可迁移隐式算子（TLO）概览。TLO从欧拉观测中学习坐标无关的隐式动力学。分层编码器提取局部和全局流动表示，而隐式处理器在不使用空间坐标的情况下演化融合的令牌。随后，坐标条件解码器在任意位置查询隐式状态，从而同时支持固定网格欧拉预测和拉格朗日推演。粒子位置仅用作推理时查询，欧拉训练不需要这些坐标。
#### 恢复拉格朗日轨迹

固定网格预报描述了流动在静止空间位置处的演化。然而，许多输运问题关注流动所携带的物质，因此需要追踪移动粒子。粒子轨迹提供了输运的直接描述，并可能揭示平均固定网格场误差无法显现的累积漂移。为了获得这一拉格朗日视角，令Y0=\{yi,0\}i=1NPY\_\{0\}=\\\{\\bm\{y\}\_\{i,0\}\\\}\_\{i=1\}^\{N\_\{P\}\}表示一组初始粒子位置。一旦预测了u^t\\widehat\{\\bm\{u\}\}\_\{t\}，其速度通道在当前粒子位置处求值，并通过以下公式积分：

y^i,t\+1=B⁡\(y^i,t\+Δtv^t\(y^i,t\)\),y^i,0=yi,0,\\widehat\{\\bm\{y\}\}\_\{i,t\+1\}=\\mathcal\{B\}\\\!\\left\(\\widehat\{\\bm\{y\}\}\_\{i,t\}\+\\Delta t\\,\\widehat\{\\bm\{v\}\}\_\{t\}(\\widehat\{\\bm\{y\}\}\_\{i,t\})\\right\),\\qquad\\widehat\{\\bm\{y\}\}\_\{i,0\}=\\bm\{y\}\_\{i,0\},\(4\)其中B\\mathcal\{B\}在粒子积分期间强制执行物理边界条件，确保更新的粒子位置保持在空间域Ω\\Omega内。欧拉状态继续通过方程(3)演化；粒子仅决定预测速度场的求值位置。因此，在仅欧拉设置下，同一训练好的算子在固定网格上预测场，并在移动粒子位置处提供速度。随后通过数值积分获得粒子轨迹，无需训练单独的粒子动力学模型。

#### 场与轨迹误差

由于拉格朗日推演由从预测流场中查询的速度驱动，仅固定网格场误差无法完全表征模型性能。因此，我们区分欧拉场预测误差、粒子位置处的速度评估误差以及由此产生的闭环轨迹误差。我们分别将这些量称为*Eul*、*Ref*和*Path*，并在所有实验中报告它们。

令HH表示推演时间范围，NEN\_\{E\}为欧拉网格点数，NpN\_\{p\}为粒子数。我们用ud\_\{u\}、dvd\_\{v\}和dxd\_\{x\}分别表示预测状态、速度和粒子位置的维度。

首先，固定网格欧拉误差为

EEul:=1HNEdu∑t=1H∑g∈XE‖u^t\(g\)−ut\(g\)‖22\.\\mathcal\{E\}\_\{\\mathrm\{Eul\}\}:=\\frac\{1\}\{HN\_\{E\}d\_\{u\}\\sum\_\{t=1\}^\{H\}\\sum\_\{\\bm\{g\}\\in X\_\{E\}\\left\\\|\\widehat\{\\bm\{u\}\}\_\{t\}(\\bm\{g\})\-\\bm\{u\}\_\{t\}(\\bm\{g\})\\right\\\|\_\{2\}^\{2\}\.\(5\)这衡量了在欧拉支持XEX\_\{E\}上的自回归场预测。

为了评估不考虑位置反馈的速度，我们在参考位置yi,t\\bm\{y\}\_\{i,t\}处查询：

ERef:=1HNpdv∑t=1H∑i=1Np‖v^t\(yi,t\)−vt\(yi,t\)‖22\.\\mathcal\{E\}\_\{\\mathrm\{Ref\}\}:=