潜在PDE映射：面向有限数据跨几何的高效物理信息学习

# 潜在偏微分方程映射：针对有限数据下跨几何高效物理信息学习的方法 来源：https://arxiv.org/html/2607.22215 Ingvild Askim Adde1, Mary M\. Maleckar2, Gabriel Balaban1,2 1 克里斯蒂安尼亚应用科学大学健康与技术学院，挪威奥斯陆 2 西姆拉研究实验室计算生理学系，挪威奥斯陆 ###### 摘要 在本研究中，我们引入了潜在偏微分方程映射（latent PDE mapping），这是一种广泛适用的物理信息学习技术，旨在利用稀疏训练数据实现高效的几何泛化。潜在PDE映射通过变形梯度将特定几何的PDE残差和边界条件拉回到预定义的潜在几何，从而能够自动计算在传统物理信息机器学习公式中缺失的几何一致形状梯度。我们通过使用物理信息神经网络和物理信息深度算子网络求解心脏电生理学的各向异性Aliev-Panfilov PDE，展示了潜在PDE映射的效用。Aliev-Panfilov PDE作为一个具有挑战性的示例：一个非线性、时间依赖的PDE基准，具有尖锐梯度，使用传统数值求解器难以捕捉。为了代表有限数据场景，我们仅使用从二维和三维空间参数化分布中采样的十五个几何样本训练网络。虽然对于由仿射和剪切变形参数化的几何，改进幅度较小，但潜在PDE映射在特定几何族上表现出显著优势，实现了平均相对L2误差约4-6倍的降低。此外，我们的结果表明，在网络训练期间应用潜在PDE映射的计算成本适中，且在推理时可忽略不计。总体而言，我们的研究突出了潜在PDE映射如何促进从有限训练几何集创建可泛化的物理信息机器学习模型。

FEM有限元方法PINN物理信息神经网络PA-PINN参数感知物理信息神经网络PI-DON物理信息深度算子网络PDE偏微分方程RMSE均方根误差AT激活时间RT复极化时间CVD心血管疾病SCD心源性猝死FDM有限差分法FVM有限体积法NN神经网络ML机器学习FCNN全连接神经网络DNN深度神经网络EP电生理学BC边界条件IC初始条件PI-CNN物理信息卷积神经网络PI-GNN物理信息图神经网络PCA主成分分析SDF符号距离函数MSE均方误差PCA主成分分析LPM潜在PDE映射BC边界条件

## 1 引言

物理信息机器学习已成为解决广泛工程任务中复杂物理问题的强大范式，包括流体动力学[2 (https://arxiv.org/html/2607.22215#bib.bib2),10 (https://arxiv.org/html/2607.22215#bib.bib10)]、生物力学[37 (https://arxiv.org/html/2607.22215#bib.bib37),4 (https://arxiv.org/html/2607.22215#bib.bib4)]和固体力学[41 (https://arxiv.org/html/2607.22215#bib.bib41),1 (https://arxiv.org/html/2607.22215#bib.bib1)]。开发物理信息模型的一种常见策略是通过软约束融入控制物理定律。在这种设置中，通过将数据驱动损失函数与偏微分方程 (PDE) 残差和边界条件 (BC) 项相结合来嵌入控制方程，为在学习过程中强制物理一致性提供了一种灵活的机制[35 (https://arxiv.org/html/2607.22215#bib.bib35)]。一旦训练完成，这些物理信息模型可以快速求解参数化PDE，提供比传统数值求解器快几个数量级的动力系统数据知情模拟。这在多个应用工程问题中是一个关键属性，因为在这些问题中需要快速且准确的随时间更新。至关重要的是，跨多个领域的工程挑战可能需要跨多个、多样化的几何体进行更新。例如，翼型的结构优化需要对各种形状进行多次模拟以设计最佳阻力升力比[23 (https://arxiv.org/html/2607.22215#bib.bib23)]，而医学数字孪生中的患者特定治疗计划需要随着基础生理几何结构的变化进行大量、快速的更新[28 (https://arxiv.org/html/2607.22215#bib.bib28)]。然而，物理信息模型[35 (https://arxiv.org/html/2607.22215#bib.bib35),13 (https://arxiv.org/html/2607.22215#bib.bib13)]的传统公式在遇到新几何体时需要昂贵的重新训练，从而削弱了其使用的计算优势。

在应用物理信息学习时，处理可变几何体的一种常见方法是开发专门的网络架构，用物理信息卷积神经网络[11 (https://arxiv.org/html/2607.22215#bib.bib11)]、物理信息图神经网络[9 (https://arxiv.org/html/2607.22215#bib.bib9),33 (https://arxiv.org/html/2607.22215#bib.bib33),45 (https://arxiv.org/html/2607.22215#bib.bib45),12 (https://arxiv.org/html/2607.22215#bib.bib12)]或物理信息PointNet[19 (https://arxiv.org/html/2607.22215#bib.bib19)]替代多层感知器。这些架构比基础的全连接神经网络更适合处理可变几何体，但需要均匀网格、推理时需要复杂的网格划分，或者难以在PDE参数之间泛化[47 (https://arxiv.org/html/2607.22215#bib.bib47)]。因此，它们的适用性仍然局限于涉及需要非均匀离散化的复杂几何体或需要快速推理同时保持对未见PDE参数鲁棒性的应用场景。

为了克服这些挑战，物理信息框架已通过形状描述符[36 (https://arxiv.org/html/2607.22215#bib.bib36),7 (https://arxiv.org/html/2607.22215#bib.bib7)]或全局几何参数[38 (https://arxiv.org/html/2607.22215#bib.bib38),47 (https://arxiv.org/html/2607.22215#bib.bib47)]进行了增强。通过这种方式，关于几何依赖性的信息作为额外输入提供给神经网络。虽然显示出希望，但这些方法仍然直接在变化的物理几何体上制定其物理损失，这限制了训练期间网络可用的梯度信息。另一种方法涉及将基于物理的损失与潜在几何体相结合，其中输入被嵌入到一个共同的潜在空间，以便于跨不同形状进行比较和高效表示学习。基于自编码器的方法越来越多地被用作将几何变异性和PDE参数编码到低维潜在空间的手段[39 (https://arxiv.org/html/2607.22215#bib.bib39),18 (https://arxiv.org/html/2607.22215#bib.bib18),30 (https://arxiv.org/html/2607.22215#bib.bib30)]。这种方法提供了灵活且可训练的表示，有助于跨几何体学习。然而，它们引入了额外的预训练阶段和超参数，使已经具有挑战性的优化问题进一步复杂化。此外，验证学习到的潜在空间是否忠实地表示复杂几何体仍然并非易事，从而限制了模型的可解释性。正如 Tran 等人 [40 (https://arxiv.org/html/2607.22215#bib.bib40)] 所指出的，可用性、可解释性和透明度是影响临床医生对机器学习模型信任和参与度的关键因素，凸显了对基于数学公式的更简单建模方法的需求。

另一条互补的研究路线通过以比基于自编码器的方法更结构化和透明的方式引入预定义潜在几何体来解决几何变异性问题。Regazzoni 等人 [36 (https://arxiv.org/html/2607.22215#bib.bib36)] 提出了一个用于参数化几何体的通用潜在空间，通过使用潜在几何体实现跨不同形状的学习。类似地，Mezzadri 等人 [25 (https://arxiv.org/html/2607.22215#bib.bib25)] 引入了一个框架，通过潜在嵌入对齐几何变异性，使简单的线性弹性模型能够泛化到自由形式域。最近，Burbulla [5 (https://arxiv.org/html/2607.22215#bib.bib5)] 引入了一种将PDE映射到低维流形的方法，并将其应用于简单的线性PDE。然而，当前大多数基于物理信息的潜在几何体方法 [25 (https://arxiv.org/html/2607.22215#bib.bib25),36 (https://arxiv.org/html/2607.22215#bib.bib36),5 (https://arxiv.org/html/2607.22215#bib.bib5)] 要么局限于简单的、线性的、静态的PDE，要么不映射PDE本身。这限制了这些方法在现实世界应用中的效用，而现实世界应用通常是复杂、非线性和动态的。虽然 Chen 等人 [6 (https://arxiv.org/html/2607.22215#bib.bib6)] 最近的一项研究引入了一种神经网络映射方法来处理灵活几何体，但映射网络的使用使得该方法需要大量数据，需要大量的几何示例来学习准确的几何映射。据我们所知，目前还没有工作表明，使用映射PDE的物理信息学习能够仅使用有限的几何示例，很好地泛化到训练分布之外的几何体。

在我们的研究中，我们引入了**潜在PDE映射**，这是一个映射框架，它将特定几何体的PDE残差和BC项拉回到一个预选潜在几何体，从而促进准确的形状梯度计算。潜在PDE映射建立在最近的涉及潜在几何体的物理信息机器学习研究 [20 (https://arxiv.org/html/2607.22215#bib.bib20),21 (https://arxiv.org/html/2607.22215#bib.bib21),46 (https://arxiv.org/html/2607.22215#bib.bib46),47 (https://arxiv.org/html/2607.22215#bib.bib47),25 (https://arxiv.org/html/2607.22215#bib.bib25),36 (https://arxiv.org/html/2607.22215#bib.bib36),5 (https://arxiv.org/html/2607.22215#bib.bib5)] 之上，同时采用了有限元方法 (FEM) 文献 [29 (https://arxiv.org/html/2607.22215#bib.bib29)] 中常用的非线性固体力学 [15 (https://arxiv.org/html/2607.22215#bib.bib15)] 原理。与 JacobiNet [6 (https://arxiv.org/html/2607.22215#bib.bib6)] 不同，我们的映射是预先确定的，因此无需训练额外的网络。通过这种方式，我们的框架允许在反向传播期间高效、自动地计算几何参数梯度，而这在标准物理信息公式中通常是缺失的。这一进步带来了一个广泛适用的数学框架，该框架超越了简单的PDE映射，适用于具有几何可变形状和非线性、时间依赖PDE且在有限数据场景下的物理信息公式。我们的主要贡献可总结如下：

- • 我们引入了潜在PDE映射，这是一种新颖的技术，它将特定几何体的PDE和BC残差映射到一个共享的潜在几何体，使得具有软约束的物理信息框架能够使用最少的训练数据学习跨不同几何形状的有意义表示。
- • 我们在两个具有代表性的物理信息学习框架中实现了潜在PDE映射，即物理信息神经网络和物理信息深度算子网络，使用了心脏电生理学的Aliev-Panfilov模型，这是一个具有挑战性的非线性、时间依赖PDE，具有尖锐梯度和各向异性条件。
- • 我们提供了理论和实证证据，表明潜在PDE映射在物理损失梯度中正确考虑了几何变异性，从而为使用物理信息损失训练的神经网络提供了更具泛化性的表示。

在这项工作中，我们使用PINN [35 (https://arxiv.org/html/2607.22215#bib.bib35)] 和PI-DON [43 (https://arxiv.org/html/2607.22215#bib.bib43)] 架构测试了潜在PDE映射。然而，我们的框架是一种与架构无关的公式，可以集成到广泛的神经网络骨干中，包括图神经网络 [9 (https://arxiv.org/html/2607.22215#bib.bib9),33 (https://arxiv.org/html/2607.22215#bib.bib33),45 (https://arxiv.org/html/2607.22215#bib.bib45),12 (https://arxiv.org/html/2607.22215#bib.bib12)]、神经算子网络 [20 (https://arxiv.org/html/2607.22215#bib.bib20),21 (https://arxiv.org/html/2607.22215#bib.bib21),46 (https://arxiv.org/html/2607.22215#bib.bib46),47 (https://arxiv.org/html/2607.22215#bib.bib47)] 和全连接网络 [35 (https://arxiv.org/html/2607.22215#bib.bib35),38 (https://arxiv.org/html/2607.22215#bib.bib38),36 (https://arxiv.org/html/2607.22215#bib.bib36)]。由于纳入了变形梯度，我们的方法自然地扩展到定义在微分同胚几何体上的非线性物理问题。这类问题出现在从生物医学输运到飞机设计等广泛的应用中。

本文的其余部分组织如下：第2节（https://arxiv.org/html/2607.22215#S2）介绍了所提出的方法，包括潜在PDE映射框架，以及关于它如何在训练期间提高几何泛化性的数学解释（第2.1节（https://arxiv.org/html/2607.22215#S2.SS1））、2D和3D几何体（第2.2节（https://arxiv.org/html/2607.22215#S2.SS2））、合成电生理学数据（第2.3节（https://arxiv.org/html/2607.22215#S2.SS3））、神经网络架构（第2.4节（https://arxiv.org/html/2607.22215#S2.SS4））和训练过程（第2.5节（https://arxiv.org/html/2607.22215#S2.SS5））。实验结果在第3节（https://arxiv.org/html/2607.22215#S3）中呈现，随后在第4节（https://arxiv.org/html/2607.22215#S4）中对研究结果、局限性和未来工作方向进行了讨论。最后，第5节（https://arxiv.org/html/2607.22215#S5）对本文进行了总结。

## 2 方法

参见图注

图1：潜在PDE映射（LPM）能够对新颖、未见过的几何体进行准确预测。(a) 训练阶段：来自每个物理几何体的时空数据通过偏移