探访戈特弗里德·莱布尼茨 (2013)

# 探访戈特弗里德·莱布尼茨——斯蒂芬·沃尔夫勒姆文集 来源：https://writings.stephenwolfram.com/2013/05/dropping-in-on-gottfried-leibniz/ 多年来我一直对戈特弗里德·莱布尼茨充满好奇，尤其是因为他似乎曾想构建类似 Mathematica (http://www.wolfram.com/mathematica/) 和 Wolfram|Alpha (http://www.wolframalpha.com/) 的东西，或许还包括《一种新科学》(http://www.wolframscience.com/)——尽管早了三百年。因此，最近我去德国旅行时，很兴奋能够访问他在汉诺威的档案馆 (http://www.nlb-hannover.de/Leibniz/Leibnizarchiv/english/introduction/)。 翻阅他发黄（但仍然足够坚固，我可以触摸）的笔记页，我感受到某种联系——试图想象他写下这些内容时的想法，并试着将我所看到的与三百年后我们如今所知的联系起来： 戈特弗里德·莱布尼茨的笔记页面 (https://content.wolfram.com/sites/43/2013/05/1-large-a.png) 有些东西，尤其是数学方面的，相当永恒。比如这里莱布尼茨写下了一个求 √2 的无穷级数 (http://www.wolframalpha.com/input/?i=series%20for%20sqrt(2))（文本是拉丁文）： [](https://content.wolfram.com/sites/43/2013/05/2-large-a.png) 或者这里莱布尼茨尝试计算一个连分数——尽管他把算术 (http://www.wolframalpha.com/input/?i=31%2B1%2F(1%2B1%2F(21%2B1%2F(11%2B1%2F(2%2B1%2F8))))) 算错了，尽管他全部写了出来（Π 是他的早期版本的等号）： 莱布尼茨计算连分数 (https://content.wolfram.com/sites/43/2013/05/3-large-a.png) 或者这里有一个微积分的小结，几乎可以出现在现代教科书中： 莱布尼茨的微积分小结 (https://content.wolfram.com/sites/43/2013/05/4-large-a.png) 但其他一切又是关于什么的？他工作和思考的更大故事是什么？ 我一直觉得莱布尼茨是一个有些令人困惑的人物。他做了许多看似互不相关的事情——在哲学、数学、神学、法律、物理学、历史等领域。他用我们现在看来奇怪的17世纪术语描述他所做的事情。 但随着我了解更多，并对莱布尼茨这个人有了更好的感觉，我意识到他大部分工作的核心是一个主要的知识方向，这个方向与现代计算方向惊人地接近，例如我所追随的方向。 戈特弗里德·莱布尼茨于1646年出生在莱比锡（即现在的德国）（伽利略去世四年后，牛顿出生四年前）。他的父亲是哲学教授；母亲的家族从事图书贸易。莱布尼茨6岁时父亲去世——经过对其是否适合如此年幼者的两年审议后，莱布尼茨被允许进入父亲的图书馆，开始通读其中多种多样的藏书。他15岁进入当地大学，学习哲学和法律——20岁时双双毕业。 即使在青少年时期，莱布尼茨似乎就对知识的系统化和形式化感兴趣。长期以来一直有一些模糊的想法——例如在13世纪拉蒙·柳利 (http://www.wolframalpha.com/docs/timeline/computable-knowledge-history-2.html) 的半神秘著作《大技艺》中——即有可能建立某种通用系统，其中所有知识都可以从合适的（如笛卡尔所称的）“人类思想字母表”中提取的符号组合中推导出来。而在他的哲学毕业论文中，莱布尼茨试图追求这个想法。他使用一些基本的组合数学来计算可能性。他讨论了将思想分解为简单组成部分，在此基础上可以进行“发明逻辑”的操作。此外，他还加入了一个声称能证明上帝存在的论证。 正如莱布尼茨后来自己所说，这篇20岁时写的论文在很多方面都很幼稚。但我认为它开始定义了莱布尼茨一生对各种事物的思考方式。例如，莱布尼茨关于“令人困惑的法律案例”的法律毕业论文，全部是关于如何通过将案例简化为逻辑和组合学来可能解决这些案例。 莱布尼茨本应成为教授，但他却决定开始担任各种宫廷和政治统治者的顾问。他为他们做的一部分工作是学术研究，追踪晦涩但具有政治重要性的谱系和历史。一部分工作是组织和系统化——法律法典、图书馆等。一部分是实用工程——例如试图找出更好的方法让银矿不进水。还有一些——尤其是早期——是为政治操作提供“实地”智力支持。 1672年，莱布尼茨因其中一项活动前往巴黎四年——期间他与许多知识界领袖互动。在此之前，莱布尼茨的数学知识相当基础。但在巴黎，他有机会学习所有最新的思想和方法。例如，他找到了克里斯蒂安·惠更斯，惠更斯同意教莱布尼茨数学——前提是他能通过测试，即求出三角形数倒数和 (http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum%202%2F(n(n-1)))。 多年来，莱布尼茨不断完善他关于知识系统化和形式化的想法，设想了一个完整的架构，使知识——用现代术语来说——变得可计算。他将第一步视为发展一种“特征艺术”——一种为事物分配符号或符号表示的方法，实际上创建了一个统一的“思想字母表”。然后他想象——与我们如今对计算的认识惊人地共鸣——从这种统一的表示中，可以“通过一种演算，如同算术或代数一样，在任何领域找到理性的真理”。 他用各种相当雄心勃勃的名称来谈论他的想法，例如“普遍知识方法”、“哲学语言”、“普遍数学”、“普遍系统”和“思维演算”。他最终设想将其应用于所有领域——科学、法律、医学、工程、神学等。但他在短时间内取得明显成功的唯一领域是数学。 对我来说，在数学史中，符号 (https://www.stephenwolfram.com/publications/mathematical-notation-past-future/) 很少被视为核心问题，这是非常显著的。这种情况发生在19世纪末现代数理逻辑的开端，当时有戈特洛布·弗雷格和朱塞佩·皮亚诺等人的工作。在近代，则发生在我创建 Mathematica 和 Wolfram 语言的努力中。但三个世纪前，莱布尼茨也做到了。我怀疑，莱布尼茨在数学上的成功，在很大程度上归功于他对符号的投入，以及由此带来的对数学结构和过程推理的清晰性。 当我们查看莱布尼茨的论文时，看到他的符号及其发展很有趣。许多东西看起来相当现代。尽管有一些17世纪的迷人痕迹，比如偶尔使用炼金术或行星符号来表示代数变量： 莱布尼茨使用炼金术或行星符号表示代数变量的例子 (https://content.wolfram.com/sites/43/2013/05/5-large-a.png) 用 Π 作为等号代替 = ，其想法略显粗糙，即让它像一个天平，一条腿较长表示小于（"<"）或大于（">"）： 莱布尼茨使用 Pi 作为等号代替 = 的例子 (https://content.wolfram.com/sites/43/2013/05/6-large-a.png) 有上划线表示项的分组——可以说比括号更好，但更难打字和排版： 莱布尼茨使用上划线表示项的分组 (https://content.wolfram.com/sites/43/2013/05/7-large-a.png) 今天我们仍然在根号中使用上划线。但莱布尼茨也想在积分中使用它们。还有相当漂亮的“带尾巴的 d”，让我想起我们为在 Mathematica 中表示积分而发明的双写“微分 d (http://reference.wolfram.com/mathematica/ref/character/DifferentialD.html)”。 展示莱布尼茨在积分中使用上划线 (https://content.wolfram.com/sites/43/2013/05/8-large-a.png) 在解方程时，经常希望使用 ±，而分组如何工作，例如在 a ± b ± c 中，总令人困惑。莱布尼茨似乎也觉得这令人困惑，但他发明了一种符号来处理它——实际上我们今天也应该考虑使用： 莱布尼茨关于 ± 符号的例子 (https://content.wolfram.com/sites/43/2013/05/9-large-a.png) 我不确定莱布尼茨某些符号的含义。不过那些上波浪线 (http://reference.wolfram.com/mathematica/ref/OverTilde.html) 看起来相当不错： 就像这些带点的东西： 莱布尼茨使用点的符号示例 (https://content.wolfram.com/sites/43/2013/05/11-large-a.png) 或者这个有趣的图表形式： 莱布尼茨制作的图表形式 (https://content.wolfram.com/sites/43/2013/05/12-large-a.png) 当然，莱布尼茨最著名的符号是他的积分符号 (http://reference.wolfram.com/mathematica/ref/character/Integral.html)（长“s”代表“summa”）和 d，这里首次在页边空白处总结，时间是1675年11月11日（“1675”中的“5”后来被改为“3”，也许是莱布尼茨自己改的）： 莱布尼茨最著名的符号首次在页边空白处总结 (https://content.wolfram.com/sites/43/2013/05/13-large-a.png) 我觉得有趣的是，尽管莱布尼茨为“计算”操作发明了那么多符号，但他显然没有为逻辑操作发明类似的符号。“或”只是拉丁词 vel，“与”是 et，等等。当他提出量词（现代 ∀ 和 ∃）的想法时，他仅用拉丁缩写 U.A. 和 P.A. 来表示： 莱布尼茨的逻辑符号 (https://content.wolfram.com/sites/43/2013/05/14-large-a.png) 我一直觉得在思想史中有一个显著的异常现象，即直到20世纪30年代才出现通用计算 (http://www.wolframscience.com/nksonline/page-1109h-text) 的概念。我经常想，在莱布尼茨的著作中是否藏有早期版本的通用计算——也许甚至是一个我们现在可以解释为图灵机之类系统的图表。但随着对莱布尼茨更多的了解，我更加清楚为什么很可能不是这样。 一个重要的部分，我怀疑，是他没有足够认真地对待离散系统。他将组合学中的结果称为“不言自明的”，大概是因为他认为这些结果可以通过算术等方法直接验证。只有“几何的”或连续的数学，他才觉得需要为其发展一种微积分。在描述曲线性质之类的东西时，莱布尼茨提出了类似于连续函数的概念。但他似乎从未将函数的概念应用于离散数学——这可能会引导他思考构建函数的通用元素。 莱布尼茨认识到他无穷小演算的成功，并热衷于为其他事物提出类似的“演算”。在另一个与通用计算“差点擦肩而过”的例子中，莱布尼茨有了用数字编码逻辑性质的想法。他考虑将一个事物的每一个可能属性与不同的素数相关联，然后通过其属性的素数乘积来表征该事物——并且用算术运算来表示逻辑推理。但他只考虑了静态属性——从未达到像哥德尔编号这样的想法，即操作也被编码在数字中。 但即使莱布尼茨没有达到通用计算的概念，他确实理解计算在某种意义上是可以机械化的。事实上，在相当早的时候，他似乎就决心建造一台实际的机械计算器来进行算术运算。也许部分是因为他自己想使用它（这始终是构建技术的一个好理由！）。因为尽管他在代数等方面的才能，他的论文中却充满可爱而基本的（有时是错误的）学校级别算术计算，写在页边空白处——现在被永久保存： 莱布尼茨在页边空白处写下的基本学校级别算术计算示例 (https://content.wolfram.com/sites/43/2013/05/15-large-a.png) 在莱布尼茨的时代，有零散的机械计算器建造例子，当他在巴黎时，他无疑看到了布莱兹·帕斯卡于1642年建造的加法计算器。但莱布尼茨决心制造一台“通用”计算器，能够首次用一台机器完成所有四种基本算术运算。他想要一个简单的“用户界面”，例如，转动手柄一个方向做乘法，相反方向做除法。 在莱布尼茨的论文中，有各种关于机器如何工作的图表： 莱布尼茨关于算术机器如何工作的图表 (https://content.wolfram.com/sites/43/2013/05/16-large-a.png) 莱布尼茨想象他的计算器将具有巨大的实用价值——事实上，他似乎希望将其转化为一项成功的业务。但实际上，莱布尼茨很难让计算器可靠地工作。因为就像当时其他机械计算器一样，它基本上是一个美化了的里程表。就像近200年后查尔斯·巴贝奇的机器一样，当发生一连串进位时，机械上很难同时移动许多轮子。 莱布尼茨起初建造了一个木制原型机，打算只处理3或4位数字。但当他1673年访问伦敦期间向罗伯特·胡克等人演示时，效果不太好。但他一直以为他已经解决了所有问题——例如在1679年（用法语）写道“对算术机器的最后修正”： 1679年（法语）对算术机器最后修正的书写 (https://content.wolfram.com/sites/43/2013/05/17-large-a.png) 然而，1682年的笔记表明还有更多问题： 1682年表明算术机器有更多问题的笔记 (https://content.wolfram.com/sites/43/2013/05/18-large-a.png) 但莱布尼茨根据他的笔记起草了计划——并聘请了一位工程师建造一个拥有更多数字的黄铜版本： 根据莱布尼茨笔记起草的计划 (https://content.wolfram.com/sites/43/2013/05/19-large-a.png) 看到莱布尼茨为机器准备的“营销材料”很有趣： 莱布尼茨为机器准备的“营销材料” (https://content.wolfram.com/sites/43/2013/05/20-large-a.png) 以及部分“手册”（以365×24作为“工作示例”）： 机器的使用图表 (https://content.wolfram.com/sites/43/2013/05/22-large-a.png) 配有详细的使用图表： 机器的详细使用图表 (https://content.wolfram.com/sites/43/2013/05/23-large-a.png) 但尽管付出了所有这些努力，计算器的问题仍然存在。事实上，在超过40年的时间里，莱布尼茨一直在调整他的计算器——以今天的货币计算，他可能总共花费了超过一百万美元。 那么这台机器实物究竟