正方形中的正方形

# 正方形中的正方形 来源：https://kingbird.myphotos.cc/packing/squares_in_squares.html 以下图片展示了将 \(n\) 个单位正方形装入已知最小的正方形（边长为 \(s\)）内的布局。如果图片上方标签有多个数字，则图片代表其中最大的数字；通过移除任意一个正方形，即可得到每个更小的数字对应的布局。对于未在图片中展示的 \(n ≤ 324\) 的情况，平凡布局（无倾斜正方形）是已知最佳布局。当 \(s\) 的多项式根次数为 \(3\) 或更高（且没有简洁的闭式表达式）时，会显示一个 🔒 图标；点击此图标可查看 \(s\) 的多项式根形式。 另请参阅三角形表格视图 (https://kingbird.myphotos.cc/packing/squares_in_squares__triangular_table.html)（推荐）以及历史记录和/或替代布局 (https://kingbird.myphotos.cc/packing/squares_in_squares__compared.html)。有关每个布局的更多信息，请查看其 SVG 的源代码。在未提供简便方法的浏览器中，可以在 URL 前加上 "`view-source:`"（不含引号）。 在 SVG 编辑模式下（可通过按钮或在查看 SVG 时按 [E] 键开启），可以使用鼠标或其他指针设备拖拽正方形。（注意：递归推动功能尚未实现。）按住 Shift 键可将运动约束为与正方形边平行的轴。按住 Ctrl 键可仅进行旋转操作。在按住鼠标左键的同时按 Delete 键将删除该正方形。按 [S] 键将下载/保存当前编辑的布局。 2, 3 https://kingbird.myphotos.cc/packing/square-2.svg \(s = 2\) 由 Frits Göbel 在 1979 年初证明。 5 https://kingbird.myphotos.cc/packing/square-5.svg \(s = 2 + \frac{1}{2}\sqrt{2} = \Nn{2.70710678118654}\) 刚性的 (https://kingbird.myphotos.cc/packing/squares_in_squares__rigid.html)。由 Frits Göbel 在 1979 年初证明。 6 https://kingbird.myphotos.cc/packing/square-6.svg \(s = 3\) 由 Michael Kearney 和 Peter Shiu 在 2001 年 6 月证明。 7, 8 https://kingbird.myphotos.cc/packing/square-8.svg \(s = 3\) 由 Erich Friedman 在 1999 年证明。 10 https://kingbird.myphotos.cc/packing/square-10.svg \(s = 3 + \frac{1}{2}\sqrt{2} = \Nn{3.70710678118654}\) 由 Frits Göbel 在 1979 年初发现。由 Walter Stromquist 在 2003 年证明。探索群组 (https://kingbird.myphotos.cc/packing/squares_in_squares__G%C3%B6bel_strips.html) 11 https://kingbird.myphotos.cc/packing/square-11.svg \(s = {}^{8}🔒 = \Nn{3.87708359002281}\) \(s^8 - 20s^7 + 178s^6 - 842s^5 + 1923s^4 - 496s^3 - 6754s^2 + 12420s - 6865 = 0\) 刚性的 (https://kingbird.myphotos.cc/packing/squares_in_squares__rigid.html)。由 Walter Trump 在 1979 年发现。 13 https://kingbird.myphotos.cc/packing/square-13.svg \(s = 4\) 由 Wolfram Bentz 在 2009 年 8 月证明。 14, 15 https://kingbird.myphotos.cc/packing/square-15.svg \(s = 4\) 由 Erich Friedman 在 1999 年证明。 17 https://kingbird.myphotos.cc/packing/square-17.svg \(s = {}^{18}🔒 = \Nn{4.67553009360455}\) \(4775s^{18}-190430s^{17}+3501307s^{16}-39318012s^{15}+300416928s^{14}-1640654808s^{13}+6502333062s^{12}-18310153596s^{11}+32970034584s^{10}-18522084588s^9-93528282146s^8+350268230564s^7-662986732745s^6+808819596154s^5-660388959899s^4+358189195800s^3-126167814419s^2+26662976550s-2631254953=0\) 由 John Bidwell 在 1998 年发现。基于 Pertti Hämäläinen 在 1980 年发现的布局。 18 https://kingbird.myphotos.cc/packing/square-18.svg \(s = \frac{7}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{7} = \Nn{4.82287565553229}\) 由 Pertti Hämäläinen 在 1980 年发现。图中展示的具有最少旋转正方形的替代布局由 Mats Gustafsson 在 1981 年发现。 19 https://kingbird.myphotos.cc/packing/square-19.svg \(s = 3 + \frac{4}{3}\sqrt{2} = \Nn{4.88561808316412}\) 由 Robert Wainwright 在 1979 年底首先发现。基于 Charles F. Cottingham 在 1979 年初发现的布局。 22 https://kingbird.myphotos.cc/packing/square-22.svg \(s = 5\) 由 Wolfram Bentz 在 2018 年 10 月证明。 23 https://kingbird.myphotos.cc/packing/square-23.svg \(s = 5\) 由 Hiroshi Nagamochi 在 2005 年证明。 24 https://kingbird.myphotos.cc/packing/square-24.svg \(s = 5\) 由 Erich Friedman 在 1999 年证明。 26 https://kingbird.myphotos.cc/packing/square-26b.svg \(s = \frac{7}{2} + \frac{3}{2}\sqrt{2} = \Nn{5.62132034355964}\) 由 Erich Friedman 在 1997 年发现。扩展了 Evert Stenlund 在 1980 年初发现的 \(s(37)\) 布局。 27 https://kingbird.myphotos.cc/packing/square-27.svg \(s = 5 + \frac{1}{2}\sqrt{2} = \Nn{5.70710678118654}\) 由 Frits Göbel 在 1979 年初发现。探索群组 (https://kingbird.myphotos.cc/packing/squares_in_squares__G%C3%B6bel_strips.html) 28 https://kingbird.myphotos.cc/packing/square-28.svg \(s = {}^{6}🔒 = \Nn{5.82444461667405}\) \(s^6-24s^5+212s^4-812s^3+1025s^2+882s-1615=0\) 刚性的 (https://kingbird.myphotos.cc/packing/squares_in_squares__rigid.html)。由 David Ellsworth 在 2025 年 12 月发现，他使用了其修改版的 Thomas Schadt 模拟退火程序，从随机状态开始搜索。 29 https://kingbird.myphotos.cc/packing/square-29.svg \(s = \Nn{5.93383346267692}\) 由 Thomas Schadt 在 2025 年 12 月发现，他使用了自己编写的模拟退火程序，从随机状态开始搜索。类似于 Thierry Gensane 和 Philippe Ryckelynck 在 2004 年 4 月使用他们编写的计算机程序发现的布局。由 David Ellsworth 在 2025 年 12 月优化。 33 https://kingbird.myphotos.cc/packing/square-33.svg \(s = 6\) 由 Wolfram Bentz 在 2018 年 10 月证明。 34 https://kingbird.myphotos.cc/packing/square-34.svg \(s = 6\) 由 Hiroshi Nagamochi 在 2005 年证明。 35 https://kingbird.myphotos.cc/packing/square-35.svg \(s = 6\) 由 Erich Friedman 在 1999 年证明。 37 https://kingbird.myphotos.cc/packing/square-37.svg \(s = {}^{8}🔒 = \Nn{6.59861960924436}\) \(6s^4-(208+64\sqrt{2})s^3+(2058+850\sqrt{2})s^2-(7936+3658\sqrt{2})s+11163+5502\sqrt{2}=0\) \(36s^8-2496s^7+59768s^6-733760s^5+5289248s^4-23462672s^3+63458276s^2-96673872s+64068561=0\) 由 David W. Cantrell 在 2002 年 9 月发现。改进了 Evert Stenlund 在 1980 年初发现的 \(s(37)\) 布局。 38 https://kingbird.myphotos.cc/packing/square-38.svg \(s = 6 + \frac{1}{2}\sqrt{2} = \Nn{6.70710678118654}\) 由 Frits Göbel 在 1979 年初发现。探索群组 (https://kingbird.myphotos.cc/packing/squares_in_squares__G%C3%B6bel_strips.html) 39 https://kingbird.myphotos.cc/packing/square-39.svg \(s = {}^{5}🔒 = \Nn{6.81072208306864}\) \(9s^5-171s^4+999s^3-1959s^2+1636s+166=0\) 由 Thomas Schadt 在 2026 年 1 月发现，他使用了自己编写的模拟退火程序，从随机状态开始搜索。由 David Ellsworth 在 2026 年 1 月重新发现并精炼，从随机状态开始搜索。由 David Ellsworth 在 2026 年 1 月优化。 40 https://kingbird.myphotos.cc/packing/square-40.svg \(s = 4 + 2\sqrt{2} = \Nn{6.82842712474619}\) 刚性的 (https://kingbird.myphotos.cc/packing/squares_in_squares__rigid.html)。由 Frits Göbel 在 1979 年初发现。探索群组 (https://kingbird.myphotos.cc/packing/squares_in_squares__G%C3%B6bel_squares.html) 41 https://kingbird.myphotos.cc/packing/square-41.svg \(s = {}^{42}🔒 = \Nn{6.92669309446880}\) \(144s^{42}-33248s^{41}+3740531s^{40}-273229120s^{39}+14568177368s^{38}-604345329616s^{37}+20303247278518s^{36}-567715628580628s^{35}+13476130642163772s^{34}-275622556171657148s^{33}+4913118839607229315s^{32}-77021965442580593792s^{31}+1069597207525632250760s^{30}-13234280063158548374864s^{29}+146588403144234109714492s^{28}-1459056537531761947694412s^{27}+13090219490685085049164304s^{26}-106115059640167069135194108s^{25}+778709778173545540562913112s^{24}-5180160724110239826615572336s^{23}+31267085211757278545052994144s^{22}-171331300125735569491450805184s^{21}+852412555299622931388971786184s^{20}-3849639590878015114188275848896s^{19}+15771592794879254264477226832440s^{18}-58556476540137831140983424890112s^{17}+196742347065286547712609208667628s^{16}-597075318553361988026330293830592s^{15}+1632807555219691500831155576662224s^{14}-4011703707846363075271797958908992s^{13}+8823126218415607049547609565313808s^{12}-17292499393880618294971765830702496s^{11}+30033784585675389426408059928238624s^{10}-45904080196423917967770013765165584s^9+61200148145342575539111090507985440s^8-70370773645277985938951580858638528s^7+68756165329665893470887878785349152s^6-55949600498940958320310297578555360s^5+36867848125763978702951438802849616s^4-18873332426700882570902855047275200s^3+7023595398126017089078028623797120s^2-1682258751137636203725622554061120s+192930128676231207430057837613968=0\) 由 Thomas Schadt 在 2025 年 12 月发现，他使用了自己编写的模拟退火程序，从随机状态开始搜索。由 David Ellsworth 在 2025 年 12 月至 2026 年 1 月期间，使用其修改版的 Thomas Schadt 模拟退火程序，从随机状态开始重新发现并精炼。由 David Ellsworth 在 2026 年 1 月优化。 46 https://kingbird.myphotos.cc/packing/square-46.svg \(s = 7\) 由 Wolfram Bentz 在 2009 年 8 月证明。 47, 48 https://kingbird.myphotos.cc/packing/square-48.svg \(s = 7\) 由 Hiroshi Nagamochi 在 2005 年证明。 50 https://kingbird.myphotos.cc/packing/square-50.svg \(s = 7 + \frac{4}{7} = \Nn{7.57142857142857}\) 由 Thomas Schadt 在 2025 年 12 月发现，他使用了自己编写的模拟退火程序，从随机状态开始搜索。由 David Ellsworth 优化。这是第三个具有有理边长的破纪录布局，这要归功于其倾斜角度由勾股三元组 \(\{3, 4, 5\}\) 决定。它是第一个使用与 David Ellsworth 在 2024 年 12 月发现的 \(s(104)\) 布局相同勾股三元组的破纪录布局（该布局是首个以竞争为目的发现的具有有理边长的布局，虽非破纪录）。它是第二个被发现的双重半原始破纪录布局，即其最左侧和最右侧仅有非旋转正方形，但有旋转正方形突出到其顶部和底部边界。它是第一个同时具备这两个特性的布局。 51 https://kingbird.myphotos.cc/packing/square-51.svg \(s = {}^{12}🔒 = \Nn{7.70079923541701}\) \(s^{12}-52s^{11}+1168s^{10}-14808s^9+116250s^8-584196s^7+1885642s^6-3878332s^5+5185145s^4-4669592s^3-1070690s^2+14600744s-1119939=0\) 由 Thomas Schadt 在 2026 年 1 月发现，他使用了自己编写的模拟退火程序，从随机状态开始搜索。由 David Ellsworth 在 2026 年 1 月，使用其修改版 #2 的 Thomas Schadt 模拟退火程序，从随机状态开始重新发现（统计数据在此 (https://kingbird.myphotos.cc/packing/square-51.stats.txt)）。由 David Ellsworth 在 2026 年 2 月优化。 52 https://kingbird.myphotos.cc/packing/square-52.svg \(s = 7 + \frac{1}{2}\sqrt{2} = \Nn{7.70710678118654}\) 由 Frits Göbel 在 1979 年初发现。探索群组 (https://kingbird.myphotos.cc/packing/squares_in_squares__G%C3%B6bel_strips.html) 53 https://kingbird.myphotos.cc/packing/square-53.svg \(s = \frac{13}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{7} = \Nn{7.82287565553229}\) 由 David W. Cantrell 在 2002 年 9 月发现。由 David W. Cantrell 在 2024 年 12 月改进。由 David Ellsworth 在 2026 年 2 月，使用其修改版 #3 的 Thomas Schadt 模拟退火程序，从随机状态开始改进。由 David Ellsworth 在 2026 年 2 月优化。 54 https://kingbird.myphotos.cc/packing/square-54.svg \(\begin{aligned}s &= 7-\frac{1}{2}\sqrt{2}+\sqrt{1+\sqrt{2}} \\ &= \Nn{7.84666719284348}\end{aligned}\) 由 David W. Cantrell 在 2005 年 10 月发现。由 Joe DeVincentis 在 2014 年 4 月改进。 55 https://kingbird.myphotos.cc/packing/square-55.svg \(s = \Nn{7.94577100750391}\) 由 Thomas Schadt 在 2026 年 1 月发现，他使用了自己编写的模拟退火程序，从其早期程序（从随机状态开始）发现的一个精心挑选的状态开始，该早期程序重新实现了 Gensane & Ryckelynck 算法。由 David Ellsworth 在 2026 年 2 月，使用其修改版 #3 的 Thomas Schadt 模拟退火程序，从随机状态开始重新发现（统计数据在此 (https://kingbird.myphotos.cc/packing/square-55.stats.txt)）。由 David Ellsworth 在 2026 年 2 月，使用其修改版的 Thomas Schadt 模拟退火程序改进。由 David Ellsworth 在 2026 年 2 月优化。 62, 63 https://kingbird.myphotos.cc/packing/square-63.svg \(s = 8\) 由 Hiroshi Nagamochi 在 2005 年证明。 65 https://kingbird.myphotos.cc/packing/square-65.svg \(s = 5 + \frac{5}{2}\sqrt{2} = \Nn{8.53553390593273}\) 由 Frits Göbel 在 1979 年初发现。探索群组 (https://kingbird.myphotos.cc/packing/squares_in_squares__G%C3%B6bel_squares.html) 66 https://kingbird.myphotos.cc/packing/square-66.svg \(s = 3 + 4\sqrt{2} = \Nn{8.65685424949238}\) 由 Evert Stenlund 在 1980 年初发现。 67 https://kingbird.myphotos.cc/packing/square-67.svg \(s = 8 + \frac{1}{2}\sqrt{2} = \Nn{8.70710678118654}\) 由 Evert Stenlund 在 1980 年初发现，扩展了 Frits Göbel 在 1979 年初发现的 \(s(52)\) 布局。探索群组 (https://kingbird.myphotos.cc/packing/squares_in_squares__G%C3%B6bel_strips.html) 68 https://kingbird.myphotos.cc/packing/square-68.svg \(s = \Nn{8.80345993651653}\) 由 Sigvart Brendberg 在 2023 年 6 月发现，他使用了自己编写的计算机程序，随后进行了手动优化。由 Thomas Schadt 在 2025 年 12 月，使用他编写的模拟退火程序，从随机状态开始改进。由 David Ellsworth 在 2025 年 12 月优化。 69 https://kingbird.myphotos.cc/packing/square-69.svg \(s = {}^{82}🔒 = \Nn{8.82721205592900}\) \(52389094428262881s^{82}-28863139436366651460s^{81}+7840436786580754561842s^{80}-1399864630898909951672184s^{79}+184777024966383679131379203s^{78}-19229480097533386652981194668s^{77}+1643178003450476327369002864080s^{76}-118561352785653984081132853368864s^{75}+7372351836836707441183744339971015s^{74}-401254176764396680092337021141946484s^{73}+19350157008010415954432078062713291394s^{72}-834969623551779032213936610875479861512s^{71}+32500264420943843392373991413578392058093s^{70}-1148852629892528066579108553164478473663708s^{69}+37092466248098270905023679715303792737820304s^{68}-1099206042418214352026228628885408398048015000s^{67}+30025320958251433175557289720600502032769753340s^{66}-758792087058505752402362438963674625699826919880s^{65}+17799410748369850870306914205805242294037335637896s^{64}-388686829570450651667791276249653981802721222714056s^{63}+7922061683854685568474881816199072307645318622376904s^{62}-151058341641411022199807974673871019724902497364765552s^{61}+2700552785792713834768094889293145620129036537676224092s^{60}-45354522344129825814676420288826173471599912259984496632s^{59}+716878712470410740335863321139824820808423827153710652804s^{58}-10682567284888720343007934969631240418818071811270135320816s^{57}+150320784390672934545124162608853418121767017935787301000808s^{56}-2000572646236355172723818796429406996345627284039771483014960s^{55}+25219559033013693277083797294746787502373277261234753716013214s^{54}-301583920452466921147984771117351156297618201001262096981290160s^{53}+3426054385349213936246735756144263675017479361589187104582644952s^{52}-37026637210515130032012648558266141117178874708570301177143938096s^{51}+381221915869963598518466209504441332617716678547088629463788058492s^{50}-3744411601889467025365599805308355961072225438102130448464025588920s^{49}+35132927721859555152174976560750433704133787706160759119646097007600s^{48}-315304729246464792403348347852665200866883662496880642068223778829192s^{47}+2709948932058311309971179409319475857433539061059204130543172912232550s^{46}-223302922522393251904