用于贝叶斯T1映射的广义TV--$\ell_p$结构化先验

# 用于贝叶斯 T1 映射的广义 TV–l_p 结构化先验 来源：https://arxiv.org/html/2606.05381 \\melbaid 2026:015\\melbaauthorsLin, Berggren and Löfstedt\\firstpageno297\\melbayear2026\\datesubmitted2026\-01\\datepublished2026\-06\\melbaspecialissue机器学习在医学影像中安全应用的不确定性（UNSURE）2025\\melbaspecialissueeditorsMobarak Hoque, Raghav Mehta, Cheng Ouyang, Chen Qin, Marianne Rakic, Sandy Wells\\ShortHeadingsMELBA期刊样本文章Lin, Berggren and Löfstedt\\affiliations\\num1\\addr于默奥大学计算科学系，瑞典 \\firstnameMartin\\surnameBerggren\\aff1\\orcid0000\-0003\-0473\-3263\\firstnameTommy\\surnameLöfstedt\\aff1\\orcid0000\-0001\-7119\-7646 ###### 摘要 我们提出了一类扩展的结构化空间先验，该先验结合了全变分（TV）函数与 ℓ_p 范数。该先验被证明是恰当的，并被纳入贝叶斯回归框架中，以实现 T1 映射中的不确定性量化，后验推断使用 No-U-Turn 采样器（NUTS）进行。这种 TV–ℓ_p 构造被证明构成一个定义良好的先验分布族，并能自然地强制估计参数图中的空间一致性和平滑变化。该方法与基于均匀先验、Gamma 先验和有界 TV 先验的最大似然估计及若干贝叶斯替代先验进行了比较。评估实验包括对合成脑部和心脏 T1 映射数据集，以及真实在体乳腺 T1 映射数据集的测试。结果表明，TV–ℓ_p 先验产生了更集中的后验密度，表明不确定性降低。它还能持续获得更低的方差和更小的（负）偏差，从而得到更可靠的估计。总体而言，在贝叶斯模型的先验中嵌入基于 TV 的结构化惩罚和 ℓ_p 范数，提升了 T1 图中的空间一致性，并增强了不确定性量化，为带不确定性的 T1 映射提供了一种稳健的方法。我们的代码可在 https://github.com/Disi2022/Proper-TV-Structured-Priors 获取。###### 关键词：贝叶斯推断，T1 映射，不确定性量化，结构化先验，全变分，ℓ_p 范数 ###### DOI：https://doi.org/10.59275/j.melba.2026-g41g ††volume:2026## 1 引言 磁共振成像（MRI）是一种广泛使用的医学成像模态，用于可视化受试者的解剖结构和生理过程。例如，心脏 MRI (Rajiah et al., 2023) 可提供心血管系统的详细图像，而乳腺 MRI 用于检查内部乳腺结构 (Wekking et al., 2023)。功能性 MRI (fMRI) 可通过检测脑血流和氧合的变化来测量大脑活动 (DeYoe et al., 1994)。MRI 技术在疾病诊断和治疗中发挥着关键作用。与其他成像模态（如超声和计算机断层扫描（CT））相比，MRI 提供优越的软组织对比度，并消除了电离辐射暴露的风险。尽管有其优势，传统 MRI 主要基于对比度差异提供定性图像，这限制了其对细微或早期病理变化的敏感性 (Lavrova et al., 2021)。此外，MR 图像强度值并非标准化，可能因制造商、序列类型和采集参数等因素而有很大差异 (Carré et al., 2020)。定量 MRI (qMRI) 是 MRI 的一种变体，它生成物理单位下的测量值，而非依赖对比度加权 (Granziera et al., 2021)。已开发出使用 qMRI 的技术来量化生物物理参数，例如弛豫时间（T1、T2 和 T2*）、质子密度、扩散等 (Jara et al., 2022)。获取参数图通常包括两个步骤：1) 将原始 k 空间数据转换到图像域，得到对比度加权图像；2) 将参数相关的对比度加权图像拟合到生物物理或 MRI 信号模型，得到定量参数图 (Shafieizargar et al., 2023)。总体而言，qMRI 为传统 MRI 提供了一种更客观、更可重复的替代方案 (Hellström, 2025)。 特别是，T1 映射是一种测量纵向或自旋-晶格弛豫时间的 qMRI 技术。例如，T1 映射已被用于揭示脑部病理过程 (Gräfe et al., 2021) 和心肌组织特征 (Becker et al., 2017)。已经提出了多种 T1 映射脉冲序列 (Tirkes et al., 2019)，其中反转恢复（IR）因其准确性被广泛认为是金标准。IR 记录反转脉冲后纵向磁化的恢复过程 (Pykett et al., 1983)。然而，它需要很长的采集时间，这促使了各种加速替代方案的发展。一种替代方案是饱和恢复，它用饱和脉冲代替反转脉冲。另一个著名策略是 Look–Locker (LL) 方法，它在反转后对恢复曲线进行采样 (Look and Locker, 1970)。在 LL 框架基础上，已经提出了几种改进的变体以提高效率和准确性，包括改良 Look–Locker IR (MOLLI) 序列 (Messroghli et al., 2004) 和调制重复时间 Look–Locker (MORTLL) 方法 (Gai and Butman, 2009)。在磁化准备方面有所不同，可变翻转角（VFA）技术 (Christensen et al., 1974) 根据多个翻转角下的稳态信号而非反转或饱和后的恢复曲线来估计 T1。然而，这些 T1 映射技术通常受到长重复时间的限制，并在 T1 估计中引入系统误差 (Preibisch and Deichmann, 2009)。 对 k 空间进行欠采样（即低于奈奎斯特速率采样）已成为加速 MRI 采集的主流方法。然而，欠采样会导致欠定方程组，在使用线性重建方法时产生伪影，并且采集数据的信噪比较低，从而导致较差的重建图像质量 (Virtue and Lustig, 2017)。已使用基于低秩约束和/或全变分（TV）的正则化来解决此类不适定逆问题。Zhang 等人 (2015) 提出了一种针对 VFA T1 映射以及多回波自旋回波 T2 映射的局部低秩约束。Pandey 等人 (2021) 提出了一种联合基于 TV 的重建方法，用于加速 qMRI 重建。Le 等人 (2022) 使用带有循环、基于模型损失的循环神经网络进行心脏 MOLLI T1 映射。Wang 等人 (2023) 提出了一种基于模型的重建方法，结合了联合 ℓ1–小波空间正则化和时间 TV 正则化，用于自由呼吸心肌 T1 映射。 上述方法都是频率学派方法，最大化似然函数（通常假设高斯误差，对应最小二乘问题）。然而，对每个像素独立使用（正则化的）最大似然估计通常会导致有噪声的重建，并且未考虑估计中的不确定性。贝叶斯推断已被证明能通过在一个概率框架内结合先验知识和观测数据来有效建模不确定性 (Gelman et al., 1995)。贝叶斯模型提供模型参数和预测的完整后验分布，不仅允许点估计，还能量化可信度和不确定性。例如，Beirinckx 等人 (2022) 使用带有 TV 先验的贝叶斯方法进行具有超分辨率的 T1 和 T2 映射。Löfstedt 等人 (2020) 开发了一种基于有界 TV 先验的贝叶斯方法用于 T1 映射，该方法既能减少也能估计参数图中的不确定性。Huang 等人 (2025) 提出了一种贝叶斯公式，将 VFA-多回波图像的小波系数建模为拉普拉斯分布，以实现基于模型的参数图重建。 在贝叶斯推断中，先验分布编码了我们在观察任何数据之前对未知参数的信念。常见的先验包括无信息先验（如均匀先验或 Jeffreys 先验）、弱先验和信息性先验。选择适当的先验分布至关重要，因为不恰当的信息性先验可能对后验推断结果产生过度影响 (Jones et al., 2022)。拉普拉斯先验是常用的促进稀疏性的先验，但它使用单一的尺度参数来控制零附近的质量和尾部厚度，这通常会降低灵活性并导致对较大系数的过度收缩。为了解决这个问题，引入了其他先验，将稀疏性约束与尾部行为解耦。例如 Horseshoe 先验 (Carvalho et al., 2010) 或 spike-and-slab 先验 (Ishwaran and Rao, 2005)，两者都允许对较小系数进行强收缩，同时保留较大系数。Armagan 等人 (2013) 提出了一种广义双帕累托先验，它保留了拉普拉斯分布在零点处的尖锐峰值特性，同时表现出类似 Student-t 的厚尾。Tang 等人 (2019) 对此先验进行了调整，用于贝叶斯框架下的秩惩罚，实现了秩的自适应学习。虽然这些先验有效编码了稀疏性，但它们并未明确捕捉空间结构。在图像中，相邻像素/体素通常强烈相关，反映了物理组织或结构固有的空间连续性。因此，将这种空间结构化信息纳入先验可以显著提高推断质量。 TV 正则化通过促进系数空间梯度的稀疏性来鼓励平滑解，有效青睐于均质参数图和锐利边缘，并抑制小的、噪声性的波动 (Michel et al., 2011; Hadj-Selem et al., 2018)。将 TV 直接纳入贝叶斯框架存在挑战：标准 TV 惩罚不能简单地对应一个恰当的先验分布，因为它在参数空间上缺乏一个可归一化的概率密度（见引理 3.1）。为了解决这个问题，Löfstedt 等人 (2020) 使用了有界版本的 TV 先验，限制了一组可接受的参数值。虽然这种方法产生了恰当的先验，但它仍然存在关键局限性。它需要从先验的支持域中排除某些参数值，从而限制了灵活性和可解释性。为了克服这些问题，我们之前的工作 (Lin et al., 2025) 结合了各向异性 TV 函数和 ℓ1 范数，形成了一个没有排除任何参数值的恰当先验——即定义了一个有效的概率分布。在合成脑部 T1 映射数据上的实验表明，该方法提供了更平滑的结果和更窄的可信区间。 在本文中，我们严格证明了仅由 TV 泛函构造的先验无法被归一化，因此无法在参数空间上定义一个恰当的概率分布。随后，我们将先前工作 (Lin et al., 2025) 中的先验构造推广，使其兼容各向异性和各向同性 TV 与任意 p ≥ 1 的 ℓ_p 范数的组合，并证明了所得先验是恰当的。我们将所提出的 TV–ℓ_p 先验应用于贝叶斯 T1 映射。通过将其与基于均匀先验、Gamma 先验和有界 TV 先验的最大似然估计及若干贝叶斯替代方案进行比较，对所提出的方法进行了评估。评估包括对合成脑部和心脏 T1 映射数据集（分别使用 VFA 和 MOLLI 获取），以及一个真实在体乳腺 T1 映射数据集（使用 VFA 获取）的实验。结果表明，在所有数据集中，TV–ℓ_p 先验始终能产生更集中的后验密度，表明与替代方法相比，不确定性有实质性降低。此外，它在估计中实现了更低的方差和更小的负偏差，从而得到更稳健可靠的 T1 估计。这些结果突显了 TV–ℓ_p 先验在保持空间结构的同时提供不确定性量化的能力，使其对于合成模拟和真实在体测量都特别有效。 ## 2 背景 ### 2.1 信号模型 T1 映射通过将测量数据拟合到相应的信号模型来执行。所提出的先验在使用 VFA 和 MOLLI 序列采集的数据上进行了评估。以下小节描述了用于这两种采集方案的信号模型。 #### 2.1.1 VFA T1 映射 VFA T1 映射通过在不同激发翻转角下重复扫描来量化 T1 值。具体来说，VFA 使用不同的激发角 α_i（其中 i = 1, 2, ..., I）获取两组或更多梯度回波（GRE）数据集 (Baudrexel et al., 2018)。信号强度 S 是纵向弛豫时间 T1、重复时间 TR、翻转角 α_i 和平衡纵向磁化 M0 的函数，其中 M0 由质子密度等因素决定 (Deoni et al., 2003)。信号强度定义为 S_θ(α_i) = M0 * (1 - e^{-TR/T1}) / (1 - cos(α_i) * e^{-TR/T1}) * sin α_i， (1) 其中 θ = (T1, M0) 表示待估计的参数，不同组织的这些参数不同。