发现受迫物理系统中的潜在响应规律

# 发现受迫物理系统中的潜在响应规律
来源: https://arxiv.org/html/2607.09801
\[1\]\\fnmSu\\surChen

\[1\]\\orgname桥梁安全与韧性国家重点实验室，北京工业大学，\\orgaddress\\city北京市，\\postcode100124，\\country中国

###### 摘要

控制方程为物理系统提供了简洁的描述，然而这些方程中变量简单的形式往往隐藏在高维测量数据中。对于受迫系统，这一挑战更为突出，因为其响应既依赖于内在动力学，也依赖于随时间变化的输入。本文提出FLARE，一种用于响应方程的受迫潜在自编码器，它能够学习紧凑的响应坐标，识别稀疏的输入依赖潜在动力学，并将方程推出的结果解码为完整响应。通过从数据中估计潜在维度并将状态估计与外部强迫分离，FLARE使得预测可以从过去的响应初始化，并由预设的未来输入驱动。在已知动力学系统、应用规模的受迫响应以及视觉观测中，FLARE能够恢复紧凑的受迫动力学，并在未用于训练的输入下预测长时间跨度的、高维的响应。通过将学习到的坐标转化为动力学接口，FLARE将方程发现扩展到那些有效状态隐藏在复杂观测中的系统，为受迫动力学系统中高维响应的可解释建模和预测提供了一条途径。

###### 关键词:

方程发现，受迫系统，潜在动力学，响应预测

## 1 引言

控制方程为描述、预测和探究物理系统的行为提供了一种简洁的语言。当这些方程未知或不完整时，数据驱动发现提供了一种补充途径，可以直接从观测中辨识有效的模型。符号回归和稀疏系统辨识已证明，无论是在常微分方程还是偏微分方程所支配的广泛系统中，都可通过数据推断动力学方程的结构和参数\[Bongard2007AutomatedReverseEngineering, Schmidt2009DistillingNaturalLaws, Brunton2016SINDy, Rudy2017PDEFind, Schaeffer2017LearningPDEs, Chen2021PhysicsInformedScarceData, Long2019PDENet2, Both2021DeepMoD, Udrescu2020AIFeynman, Ruan2026ParallelSymbolicEnumeration\]。然而，现代实验和数值模拟并不总能直接提供紧凑描述动力学所需的变量。动力学相关的变量通常嵌入在高维观测中，而其环境维度可能远超底层动力学的固有维度\[Champion2019CoordinatesEquations, Chen2022FundamentalVariables, Lu2022PartialObservations, Bakarji2023DeepDelayAutoencoders\]。与此同时，许多系统受到随时间变化的外部输入的驱动或控制。对于这类系统，科学任务不仅限于在已知坐标下辨识演化规律，更在于从高维观测中发现响应的紧凑表示，并刻画该响应如何随外部强迫变化\[Stark1997ForcedEmbedding, Proctor2016DMDc, Brunton2016SINDYc\]。

从高维观测中识别低维动力学，催生了广泛的降阶和潜在动力学模型。动态模态分解和基于库普曼的方法寻求具有简单线性演化的坐标，而自编码器、时序模型和神经算子则利用非线性表示来重构和预测复杂动力学\[Hinton2006DimensionalityReduction, Schmid2010DMD, Williams2015EDMD, Brunton2016KoopmanInvariantSubspaces, Lusch2018UniversalLinearEmbeddings, Otto2019LinearlyRecurrentAE, Vlachas2018HighDimensionalForecasting, Lu2021DeepONet, Li2021FourierNeuralOperator, Regazzoni2024LatentDynamicsNetworks, Kontolati2024LatentDeepONet, Gao2024GenerativeEffectiveDynamics\]。这些方法极大地推动了高维系统的重构和预测。与此同时，方程发现方法试图寻找合适的低维坐标，使得系统演化在这些坐标下具有显式和简洁的表示。SINDy自编码器引入了一个联合学习此类坐标和稀疏动力学的框架\[Champion2019CoordinatesEquations\]；后续工作将该思想扩展到带有不确定性量化的方程发现\[Gao2024BayesianAutoencoders\]、高维流场的降阶建模\[Fukami2021LowDimensionalFlow\]，以及从稀疏测量中识别潜在动力学\[Gao2026SINDySHRED\]。相关研究试图直接从图像和视频中恢复基本变量和支配关系\[Chen2022FundamentalVariables, Luan2022VideoLaws, Li2026Pixel2Phys\]。这些进展共同表明，表示学习和方程发现可以结合，以获得一个低维描述，使系统演化能够被简洁地表达。在此框架内，表示学习将复杂观测组织成少量有效变量，而方程发现则刻画了这些变量演化的关系\[Cranmer2020SymbolicModels\]。因此，它们的结合为降阶模型提供了一条自然途径：既保留了高维响应的本质特征，又揭示了底层动力学的结构。

输入驱动系统构成了一个独特的建模问题。在这类系统中，观测到的响应不仅依赖于内在动力学，还依赖于外部输入及其与系统状态的耦合。因此，自治模型和受迫模型回答不同的科学问题：前者描述系统的自由演化，而后者刻画由不同输入历史诱导的响应族。带控制的动态模态分解、带控制的SINDy以及基于库普曼的模型预测控制，为将外部输入纳入数据驱动动力学模型建立了有效途径\[Proctor2016DMDc, Brunton2016SINDYc, Kaiser2018SINDYMPC, Korda2018KoopmanMPC, Morton2018DeepDynamicalControl\]。当系统响应是高维时，这一问题与表示学习相交织。学习到的低维表示必须在不同强迫条件下保持有效，而相应的动力学必须捕捉外部输入如何塑造响应，并能够对训练中未出现的输入历史进行预测。在此设定中，一个显式的响应方程为输入驱动系统提供了统一的动力学描述，使得可以研究状态–输入交互、比较不同强迫条件下的行为，并预测给定输入下的响应。然而，当系统响应仅以高维观测的形式给出时，控制方程所需的有效变量——甚至潜在空间的适当维度——本身都是未知的。因此，核心挑战在于直接从高维数据中同时识别紧凑的响应表示及其输入依赖的演化律，从而将外部强迫、低维动力学和完整系统响应统一在一个单一模型中\[Champion2019CoordinatesEquations, Brunton2016SINDYc, Bakarji2023DeepDelayAutoencoders, Lu2022PartialObservations, Gao2026SINDySHRED\]。

为此，我们提出了受迫响应方程的潜在自编码器（FLARE），它联合学习高维响应的紧凑坐标和稀疏的输入依赖动力学。FLARE通过估计潜在点云的固有维度来确定一个紧凑的潜在空间，从响应历史中编码潜在状态，将外部输入显式纳入一个稀疏演化方程，并将得到的潜在轨迹解码为完整响应。通过这种方式，响应表示、外部强迫和高维预测被统一在一个单一的动力学模型中。视频序列构成了额外的表示挑战，因为动力学变量嵌入在随时间演化的像素场中。为适应此类观测，我们将全连接编码器和解码器替换为卷积版本，同时保留输入依赖的潜在方程，从而将同样的建模原则从向量值观测扩展到图像序列。我们在从合成基准、实际应用到视频观测的层次化任务上评估FLARE。结果表明，FLARE能够识别紧凑的受迫动力学，并准确预测由未在训练中遇到的输入所诱导的高维响应。因此，FLARE提供了一个统一的框架，用于从复杂观测中发现输入依赖的动力学，并利用所得模型进行全状态预测。

## 2 结果

我们提出了受迫响应方程的潜在自编码器（FLARE），该框架在学习高维响应紧凑表示的同时，识别稀疏的、输入依赖的动力学（图1 (https://arxiv.org/html/2607.09801#S2.F1)）。FLARE首先估计预训练过程中形成的潜在点云的固有维度，从而自动选择紧凑表示所需的潜在维度。确定该维度后，编码器从包含当前及之前响应观测的因果时间窗口估计潜在状态，而不依赖外部输入。相反，输入被显式引入到潜在演化的候选函数库中，其稀疏系数指定了一个显式的响应方程。以编码的初始状态和给定的输入历史为条件，该方程在潜在空间中积分，得到的轨迹由解码器映射回完整响应。对于离线预测，FLARE仅利用预测原点及其之前的响应历史来初始化潜在状态；然后在预设的未来输入下独立推进潜在方程，并将得到的轨迹解码为高维响应。这种设计将潜在状态估计与外部强迫建模分离，并将紧凑方程发现与高维响应预测统一在一个单一的动力学框架内。

参见图注图1: FLARE的架构、训练和离线预测。a, FLARE处理向量值传感器响应或视频序列，同时保留一个独立的外部输入通道。在每个时间步 t，一个因果响应窗口 Xt-L+1:t 被映射到潜在状态。向量值的窗口被展平并由多层感知机（MLP）处理，而视频窗口则通过二维卷积进行空间编码，并通过因果一维卷积进行时间聚合。外部输入不进入编码器，仅进入潜在演化的候选库 Θ，其稀疏系数矩阵 Ξ 指定了响应方程。从编码的初始状态 ẑ_0 开始，方程在潜在空间中推出，得到的轨迹被解码为完整响应。预训练过程中形成的潜在点云的固有维度通过 Levina–Bickel 最大似然估计器（LB-MLE）、二近邻估计器（TwoNN）或主成分分析（PCA）来估计，具体取决于学习到的表示的几何结构。训练目标结合了响应重构、解码推出重构、潜在推出一致性、方程一致性以及方程系数的 l1 正则化。这里，E, D 和 Ξ 分别表示编码器、解码器和稀疏系数矩阵；L 表示因果窗口长度；sg 表示停止梯度算子。b, FLARE分三个阶段训练。预训练构建初始潜在流形并估计其维度。正式训练通过交替进行流形更新和方程更新，联合精化编码器–解码器表示和稀疏演化方程。后训练阶段，编码器和识别出的方程被固定，同时解码器针对推出重构进行精化。c, 对于离线预测，仅使用预测原点处可用的因果响应窗口来初始化潜在状态。然后，预设的新输入历史驱动已识别的潜在方程，无需进一步访问真实响应，得到的轨迹被解码为向量值响应或图像序列。

视频序列是高维观测中的重要一类，其中动力学相关变量并未作为预定义的状态坐标给出，而是嵌入在随时间演化的像素场中\[Gnesotto2020BrownianMovies, Regazzoni2024LatentDynamicsNetworks\]。因此，从这类观测中发现方程需要一个同时保留空间结构和时间演化的紧凑响应表示。为了将FLARE扩展到这一设定，我们将用于向量值响应的全连接编码器和解码器替换为卷积版本，同时保留相同的输入依赖潜在方程。一个空间编码器提取帧级特征，一个因果时间卷积将其近期历史聚合成潜在状态，一个卷积解码器重构每一预测帧。外部输入通道和稀疏演化方程保持不变，使得向量值测量和图像序列可以在相同的建模原则下处理。这一扩展使FLARE能够从视觉响应中识别紧凑动力学，同时预测其完整的时空演化。完整的网络架构、潜在维度选择及训练过程，连同向量和视频观测的实现细节，均在方法部分描述。

### 2.1 从合成高维观测中恢复受迫动力学

为了检验FLARE是否能够在已知真实方程的情况下，从高维观测中恢复受迫动力学，我们构建了三个合成基准，其物理坐标数和输入通道数递增：一个带有一个广义坐标和一个输入的受迫阻尼摆、一个带有两个输入的两状态受迫Hopf范式，以及一个具有三个状态和三个输入的受迫刚体旋转系统。每个系统仅通过一个64维非线性观测映射呈现给FLARE：

x(t)=Φ(s(t))∈R64， s(t)∈Rd， d∈{1,2,3} (1)

其中 s 表示底层系统的物理变量，x 表示观测到的高维响应。为了检验恢复是否依赖于低维动力学在观测空间中的嵌入方式，我们采用了三种不同的观测映射。摆的坐标被展开为一组谐波分量：

Φtrig(q)=[sin q, cos q, ..., sin(32q), cos(32q)]^T (2)

而Hopf和刚体系统则通过多项式混合来观测：

Φpoly(s)=Cψ(s)+b (3)