采用二元自行车码的低开销纠错量子卷积神经网络

# 低开销纠错量子卷积神经网络：使用双变量循环码 来源：https://arxiv.org/html/2607.05724 ###### 摘要 量子卷积神经网络（QCNN）结合了量子计算和经典CNN的强大能力，可在分类任务中实现计算加速。然而，当前最先进量子器件上的噪声水平仍过高，无法支持实际的QCNN执行。此外，尽管可靠的表面码为实现低于阈值的错误率提供了方法，但其量子比特成本过高，难以承受。最近提出的双变量循环（BB）码因其高纠错阈值、恒定编码率和线性码距而备受关注。通过使用真实硬件噪声源的仿真，我们证明一个4量子比特无保护的QCNN无法收敛，且其学习率劣于数值仿真结果。针对这两个限制，我们提出了一种适用于QCNN的距-4 BB量子纠错（QEC）技术。由此，我们验证了这种针对QCNN的低开销QEC技术代表了向实用QCNN迈出的一步。 ## I引言 机器学习（ML）的进步使其成为从信号处理到医疗健康等各个领域的关键技术，应用包括语音识别、计算机视觉和药物发现。然而，ML过程在高维参数空间中面临梯度消失问题[16 (https://arxiv.org/html/2607.05724#bib.bib1),27 (https://arxiv.org/html/2607.05724#bib.bib2)]，并且某些任务的样本量和训练时间呈二次增长[17 (https://arxiv.org/html/2607.05724#bib.bib40)]。另一方面，量子计算（QC）展现出指数级的计算加速[20 (https://arxiv.org/html/2607.05724#bib.bib6),26 (https://arxiv.org/html/2607.05724#bib.bib10),15 (https://arxiv.org/html/2607.05724#bib.bib12)]。这两项技术的结合，称为量子机器学习（QML），有望通过利用叠加和纠缠等量子效应，在指数级大的特征空间中处理数据[4 (https://arxiv.org/html/2607.05724#bib.bib3),13 (https://arxiv.org/html/2607.05724#bib.bib4)]，并通过量子增强优化更高效地导航高维优化景观[24 (https://arxiv.org/html/2607.05724#bib.bib5)]。尽管QML前景广阔，但当前嘈杂中等规模量子（NISQ）器件的有限量子比特数量带来了巨大挑战。此外，这些器件还受到由噪声源（包括杂散电磁场、宇宙射线以及量子态的热退相和时间退相干）导致的物理错误率高的问题[9 (https://arxiv.org/html/2607.05724#bib.bib16)]。量子纠错（QEC）是一种在控制量子比特以诱导所需计算的同时保护脆弱量子信息的方法。二十多年来，拓扑环面码一直作为拓扑量子纠错的典范模型[19 (https://arxiv.org/html/2607.05724#bib.bib22)]。该码将两个逻辑量子比特编码到一个\(d \times d\)的物理量子比特晶格中，总量子比特数按\(n = 2d^2\)缩放，其中\(d\)是码距。最小距离\(d\)可纠正最多\(\lfloor (d-1)/2 \rfloor\)个任意单量子比特错误。因此，环面码能可靠地保护量子信息，但其编码效率低下，使得扩展到数百个逻辑量子比特时资源消耗过高而不可行。量子低密度奇偶校验（qLDPC）码的最新进展，尤其是双变量循环（BB）码[5 (https://arxiv.org/html/2607.05724#bib.bib18)]，已成为一种有前途的替代方案。BB码的恒定编码率使得容错量子存储的空间开销恒定[5 (https://arxiv.org/html/2607.05724#bib.bib18),12 (https://arxiv.org/html/2607.05724#bib.bib30)]，使其成为可扩展架构的有吸引力的候选。然而，BB码的一个关键开放问题在于它尚不支持容错计算，特别是对于深电路算法，这给实际QML用例带来了障碍。为此，我们引入了一种与QML（尤其是量子卷积神经网络QCNN）集成的恒定开销QEC协议。QCNN是经典卷积神经网络（CNN）的量子对应物。这些经典监督学习架构在带标签数据上进行训练，以学习输入与其对应标签之间的映射。QCNN扩展了这一框架，利用量子并行性等量子特性来加速计算。然而，在NISQ硬件上实际执行QCNN受到量子退相干和门噪声的严重阻碍，这些噪声会恶化损失景观，从而损害训练和推理。所提出的恒定开销QEC协议直接减轻了这些损害，使得在近期量子器件上更可靠、更实际地部署QCNN成为可能。 ### I-A 相关工作 文献[7 (https://arxiv.org/html/2607.05724#bib.bib7)]引入了一种结合多尺度纠缠重整化ansatz（MERA）与QEC的QCNN架构，展示了用于识别一维对称保护拓扑（SPT）相的QCNN，并设计了一种QEC方案。其QCNN对大小为\(N\)量子比特的输入使用\(\mathcal{O}(\log N)\)个变分参数。然而，对于像QCNN这样的深电路，仍然缺乏实用且有效的纠错码。文献[5 (https://arxiv.org/html/2607.05724#bib.bib18)]提出了BB码，需要\(n\)个辅助量子比特、深度为7的症候测量电路以及度为6的量子比特连接图，从而以最小开销实现高效纠错。与表面码相比，该码降低了硬件要求，使近期量子处理器上的容错量子存储成为可能。由于BB码仅适用于Clifford门，而QCNN中包含了非Clifford门，因此将BB码应用于量子计算面临很高障碍。文献[32 (https://arxiv.org/html/2607.05724#bib.bib14)]展示了低开销的qLDPC码，包括一个距-3 qLDPC码和一个利用周期性症候提取电路执行的距-4 BB码。文献[3 (https://arxiv.org/html/2607.05724#bib.bib21)]讨论了量子模型函数的经典可模拟性和计算难度。关键区别在于，我们的研究解决的是物理硬件上的可训练性问题，以及硬件噪声如何在每次电路评估中引入随机的、非酉的扰动，从而降低梯度估计的保真度并使其变得不可靠。这与所学函数是否在经典上难以模拟或评估的问题是正交的。 ### I-B 贡献 受低开销BB码在真实32比特长程耦合NISQ transmon电路[32 (https://arxiv.org/html/2607.05724#bib.bib14)]上的应用以及QCNN[7 (https://arxiv.org/html/2607.05724#bib.bib7)]带来的机器学习训练计算加速的启发，我们将距-4 qLDPC码应用于QCNN。具体来说，我们提出了一种距-4 BB码[5 (https://arxiv.org/html/2607.05724#bib.bib18)]与前馈神经网络（FFNN）相结合的方法，作为4量子比特QCNN[7 (https://arxiv.org/html/2607.05724#bib.bib7)]的纠错技术。我们集成了一个具有恒定编码率、线性码距的BB码，其针对标准电路基噪声模型的纠错阈值为0.3%，从而允许低开销扩展到大型QCNN。接下来，我们在不同NISQ错误率下通过仿真比较了带有新QEC方法的QCNN与无保护的4量子比特QCNN。我们观察到，带有BB码的QCNN取得了令人满意的结果，这表明该实现实现了BB码提供的恒定编码率和线性码距，同时用于纠错的量子比特和在线开销都很低。我们进一步表明，该QEC协议可以在低开销的额外量子比特资源需求下持续运行，同时减少学习损失并改善收敛性。 本文其余部分组织如下：第二部分介绍了我们模型实现和实验所涉及的关键背景概念。第三部分提出了所提出的BB编码QCNN。第四部分展示并讨论了结果，与普通QCNN架构进行了比较，第五部分总结了本文并指出了未来研究的一些方向。 ## II背景 参见标题(a) 参见标题(b) 图1：(a) 点表示一个\(64 \times 64\)的测试集，对应哈密顿量（\(J=1\)）在参数\(h_1\)和\(h_2\)上的基态。相边界点（蓝色和红色菱形）来自无穷尺寸密度矩阵重整化群（DMRG）。颜色表示通过进化搜索对\(N=4\)自旋使用初始未训练权重时电路的期望值。（可能因为低量子比特自旋状态，可以看到一个伪影。）(b) 使用相同测试集，经过100次迭代后的训练权重。 ### II-A 量子卷积神经网络 经典CNN为图像识别提供了成功的ML框架，并因其捕捉层次特征的能力而被广泛用于逼近函数[20 (https://arxiv.org/html/2607.05724#bib.bib6),21 (https://arxiv.org/html/2607.05724#bib.bib28)]。QCNN是经典CNN的量子对应物，它利用量子并行性等量子特性来优化计算。QCNN架构高效地实现了表示为逆MERA[7 (https://arxiv.org/html/2607.05724#bib.bib7)]的量子多体态的层次结构。MERA是一种张量网络，旨在使用层次化和多层结构高效表示量子多体态。它可以计算系统的低能性质，描述为基态\(|\Psi_{\mathrm{GS}}\rangle \in \mathbb{C}^{\otimes N} \subseteq \mathcal{H}\)，其中\(\mathcal{H}\)表示一个\(N\)量子比特系统的希尔伯特空间。MERA的每一层\(\tau\)由解纠缠器\(U_{\tau} = \bigotimes_{i=1}^{N_{\tau}} u_i\)和等距张量\(W_{\tau} = \bigotimes_{i=1}^{N_{\tau}} w_i\)组成，其中\(N_{\tau}\)表示该层中解纠缠器和等距张量的数量，\(u_i\)表示应用于第\(\tau\)层第\(i\)个卷积单元的参量化两量子比特酉算子，\(w_i\)表示在缩减的池化子系统上对应的等距张量。随着站点逐渐粗粒化，\(N_{\tau}\)随着\(\tau\)减小。从粗粒化级别到更细粒化级别的变换表示为 \(V_{\tau} = U_{\tau} \circ W_{\tau} : \mathcal{H}_{\mathcal{L}_{\tau}} \longrightarrow \mathcal{H}_{\mathcal{L}_{\tau-1}}\)，其中\(\mathcal{H}_{\mathcal{L}_{\tau}} = \bigotimes_{s \in \mathcal{L}_{\tau}} \mathcal{H}_s\)是第\(\tau\)层粗粒化晶格的希尔伯特空间，且\(|\mathcal{L}_{\tau}| < |\mathcal{L}_{\tau-1}|\)。算子\(\circ\)表示函数组合，\(V_{\tau}\)是输入到下一层的输出酉算子[28 (https://arxiv.org/html/2607.05724#bib.bib8)]。QCNN可以被视为带有嵌套QEC的逆MERA的电路基ansatz。学习是通过逐步调整其初始酉操作[7 (https://arxiv.org/html/2607.05724#bib.bib7)]发生的。QCNN作用于输入态\(|\psi_{\alpha}\rangle \in \mathcal{H}_{\mathcal{L}}\)，其中\(\alpha = 1, \dots, M\)索引训练样本，\(\mathcal{H}_{\mathcal{L}} \equiv \mathcal{H}_{\mathcal{L}_0}\)表示在粗粒化之前的完整输入希尔伯特空间， \(\mathcal{H}_{\mathcal{L}} = \bigotimes_{\ell \in \mathcal{L}} \mathcal{H}_{\ell},\) (1) 并且\(\mathcal{H}_{\ell} \cong \mathbb{C}^2\)是位点\(\ell\)处的局部量子比特希尔伯特空间。在过程的任何给定步骤中，单个位点\(\ell\)的状态可以通过其约化密度矩阵\(\rho^{[\ell]} = \operatorname{tr}_{\bar{\ell}}(|\Psi\rangle\langle\Psi|)\)表示，通过迹掉除\(\ell\)之外的所有其他位点\(\bar{\ell}\)得到。QCNN的目标输出是实现某个态\(|\psi_{\alpha}\rangle\)，即总存在一个QCNN能以某种确定性测量结果识别输入态\(|\psi_{\alpha}\rangle\)。QCNN训练过程是一个监督近似过程，定义在训练集\(\mathcal{T}_{\text{train}}\)和测试集\(\mathcal{T}_{\text{test}}\)上，其中训练样本\(\vec{x} \in \mathcal{T}_{\text{train}}\)与其真实标签\(m(\vec{x}) \in \{+1, -1\}\)一起提供给算法。这里，\(m: \mathcal{T}_{\text{train}} \cup \mathcal{T}_{\text{test}} \rightarrow \{+1, -1\}\)是底层的真实映射。测试集\(\mathcal{T}_{\text{test}}\)的真实标签不提供给算法，但提供带标签的训练数据\(\{(\vec{x}, m(\vec{x}))\}_{\vec{x} \in \mathcal{T}_{\text{train}}}\)。QCNN通过最小化损失函数来学习一个近似映射\(\tilde{m}: \mathcal{T}_{\text{train}} \rightarrow \{+1, -1\}\)，该损失函数对\(\tilde{m}(\vec{x})\)与\(m(\vec{x})\)在训练集上的偏差进行惩罚。训练之后，学习的函数\(\tilde{m}\)在未见过的样本\(\vec{x} \in \mathcal{T}_{\text{test}}\)上进行评估，目标是最小化泛化误差\(\mathcal{E} = \Pr_{\vec{x} \in \mathcal{T}_{\text{test}}}[\tilde{m}(\vec{x}) \neq m(\vec{x})]\)。训练过程将在第III-A节详细讨论。 ### II-B 识别一维SPT相 QCNN利用MERA的层次结构来对相进行分类，其中输入层接收一个未知的\(N\)量子比特输入量子态。输入层之后，隐藏层包括卷积层、池化层和全连接层[7 (https://arxiv.org/html/2607.05724#bib.bib7)]，类似于CNN。卷积层由准局部酉算子\(U_{\mathcal{L}}\)给出，并以平移不变的方式在有限深度内应用。在池化过程中，一部分量子比特被测量，测量结果决定了应用于附近量子比特的酉旋转\(V_{\mathcal{L}}\)，从而通过减少自由度引入非线性。酉层（如卷积层和全连接层中的酉算子）对现有量子比特应用准局部操作，而等距层（如池化层中的）在应用酉变换于附近态之前移除处于某一状态的量子比特。卷积层和池化层的数量在整个过程中保持不变，而模型学习这些酉算子。卷积和池化层被应用\(d\)次。当系统足够小时，全连接层被应用。