浸没边界软体游泳器运动的神经算子

# 浸没边界柔性游泳器运动的神经算子

来源：https://arxiv.org/html/2608.07722
Mohammad Sadegh Eshaghi通讯作者\. 邮箱：eshaghi\.khanghah@iop\.uni\-hannover\.de德国莱布尼茨汉诺威大学数学与物理学院光子学研究所计算科学与仿真技术教席Navid Valizadeh通讯作者\. 邮箱：navid\.valizadeh@gmail\.com德国莱布尼茨汉诺威大学数学与物理学院光子学研究所计算科学与仿真技术教席Xiaoying Zhuang德国莱布尼茨汉诺威大学数学与物理学院光子学研究所计算科学与仿真技术教席Timon Rabczuk通讯作者\. 邮箱：timon\.rabczuk@uni\-weimar\.de德国包豪斯\-魏玛大学结构力学研究所

###### 摘要

高保真浸没边界模拟能够解析变形游泳器与其周围流动之间的耦合运动，但由此产生的计算成本限制了其在工程设计、参数研究和控制中的重复评估。我们开发了神经算子代理模型，用于对平面和体积鳗鱼游泳器产生的流体动力学场进行时间预测。这些代理模型在从自适应流固耦合模拟导出的规则网格场上训练，并以游泳器几何形状和雷诺数为条件。平面模型联合预测两个速度分量、标量涡量和压力。在五条留出的高雷诺数轨迹上，其全域全局相对L2L^\{2\}误差为3\.51\.%3\.51\.\%。体积公式采用三个针对特定目标的模型，共用一个多通道输入：一个模型预测三维速度，一个预测涡量，一个预测压力。在五条留出的范围内轨迹上，它们的全域全局相对L2L^\{2\}误差分别为3\.44%3\.44\%，5\.58%5\.58\%和19\.2%19\.2\%。综合来看，结果证明了场分辨神经代理模型用于移动边界游泳器流动的可行性，同时指出压力精度和物理一致性是后续发展的优先方向。

关键词：神经算子；浸没边界法；流固耦合；仿生游泳器；计算流体力学；科学机器学习；代理建模

## 1引言

高保真模拟是分析仿生和软体水下游泳器的重要工具。水动力响应取决于运动且变形的物体、非线性尾流动力学、压力载荷和粘性剪切。解析这些相互作用有助于设计空间探索、反问题识别、不确定性分析和控制，但重复的流固耦合（FSI）计算仍然昂贵。

浸没边界法通过将游泳器的拉格朗日表示与欧拉流体网格耦合，避免了重复的贴体网格重构[19 (https://arxiv.org/html/2608.07722#bib.bib1)]。IBAMR等自适应实现使详细的移动边界模拟变得实用[5 (https://arxiv.org/html/2608.07722#bib.bib2),6 (https://arxiv.org/html/2608.07722#bib.bib3),7 (https://arxiv.org/html/2608.07722#bib.bib5)]，但参数扫描或优化循环仍然需要大量轨迹。能够返回分布式速度、涡量和压力场的代理模型，可以在降低重复模型查询成本的同时，保留比标量性能预测器更多的工程信息。

经典的数学和偏微分方程基准测试对于开发和比较神经算子至关重要[13 (https://arxiv.org/html/2608.07722#bib.bib6),16 (https://arxiv.org/html/2608.07722#bib.bib11),15 (https://arxiv.org/html/2608.07722#bib.bib13),10 (https://arxiv.org/html/2608.07722#bib.bib12)]。受控基准可以分离逼近和优化效应。一个补充性的问题是：在高保真工程工作流中，面对移动几何、耦合多物理场、多通道输出、参数变化和体积数据成本，这些方法是否仍然有效。浸没边界游泳器运动提供了这样一个应用规模场景，同时并不削弱经典基准的持续价值。

仿生机器人进一步推动了对高效预测模型的需求。软体机器鱼已展示出在自然水生环境中的无系留运行能力[8 (https://arxiv.org/html/2608.07722#bib.bib17)]，可微分模拟器已实现游泳器几何、材料和控制策略的标定与协同设计[17 (https://arxiv.org/html/2608.07722#bib.bib19),24 (https://arxiv.org/html/2608.07722#bib.bib20),18 (https://arxiv.org/html/2608.07722#bib.bib21),11 (https://arxiv.org/html/2608.07722#bib.bib22)]。本研究探讨的问题是：神经算子能否再现高保真浸没边界模型的欧拉场。

我们研究了平面和体积鳗鱼游泳器在雷诺数扫描下的行为。平面网络联合预测速度、标量涡量和压力。体积情形使用三个独立的、面向特定目标的网络分别预测速度、涡量和压力。参考状态时间映射提供了共同的精度评估方式。

主要贡献如下：

1. 1\.针对二维和三维浸没边界游泳器流动的神经算子代理模型公式，包括移动几何和流动参数条件；
2. 2\.在留出雷诺数轨迹上对速度、涡量和压力进行定量的、场分辨的评估，并给出明确的全域、流体区域、分量级和物理一致性指标；
3. 3\.展示神经场预测在平面和真实体积高保真游泳器模拟中的可行性，包括参数相关行为和切片分辨的三维场重建。

## 2相关工作

### 2\.1仿生游泳器与浸没边界模拟

软体游泳器将柔性力学与分布式驱动相结合，使得其水动力学难以用刚性连杆或准定常模型近似；Yasa等人综述了更广泛的软体机器人领域[23 (https://arxiv.org/html/2608.07722#bib.bib18)]。DiffAqua引入了用于水下游泳器的可微分设计流程[17 (https://arxiv.org/html/2608.07722#bib.bib19)]；后续工作将可微分力学与学习或校准的水动力模型相结合[24 (https://arxiv.org/html/2608.07722#bib.bib20),18 (https://arxiv.org/html/2608.07722#bib.bib21)]。Aquarium为机器人应用构建了一个可微分二维FSI求解器[11 (https://arxiv.org/html/2608.07722#bib.bib22)]。这些研究展示了在多个保真度水平上高效模拟的价值。

浸没边界法在欧拉网格上表示流体，用拉格朗日坐标表示结构，并通过正则化delta核进行耦合[19 (https://arxiv.org/html/2608.07722#bib.bib1)]。自适应加密将分辨率集中在移动结构和尾流附近[5 (https://arxiv.org/html/2608.07722#bib.bib2)]。IBAMR中实现的统一约束公式可在同一数学框架内处理刚性、变形和弹性体[1 (https://arxiv.org/html/2608.07722#bib.bib4)]。该公式提供了本研究使用的模拟场。

### 2\.2神经算子与学习型流动代理模型

DeepONet通过分支网络和主干网络表示非线性算子[16 (https://arxiv.org/html/2608.07722#bib.bib11)]。傅里叶神经算子（FNO）则学习低频谱乘子，并已在规则网格上展示了参数化及时间相关场预测[13 (https://arxiv.org/html/2608.07722#bib.bib6)]。更广泛的神经算子框架形式化了函数空间之间的映射，并统一了几种积分核参数化[10 (https://arxiv.org/html/2608.07722#bib.bib12)]。物理信息神经算子为成对数据添加基于方程的约束[15 (https://arxiv.org/html/2608.07722#bib.bib13)]，而基于图的网络为不规则离散化提供了另一种选择[20 (https://arxiv.org/html/2608.07722#bib.bib14),21 (https://arxiv.org/html/2608.07722#bib.bib15)]。

几何感知变体将算子学习扩展到矩形域之外。Geo-FNO学习一般几何的坐标变形[12 (https://arxiv.org/html/2608.07722#bib.bib7)]，几何信息神经算子则面向大规模三维偏微分方程[14 (https://arxiv.org/html/2608.07722#bib.bib8)]。U-FNO将傅里叶层与U型架构相结合，用于三维多相流[22 (https://arxiv.org/html/2608.07722#bib.bib9)]，学习组件也已加速了传统CFD[9 (https://arxiv.org/html/2608.07722#bib.bib16)]。这些结果推动了移动边界三维工程应用的发展，但游泳器运动还额外耦合了预设体运动、尾流输运、压力、几何掩码以及宽范围参数扫描。

物理感知和时间扩展是自然的后续方向。变分物理信息神经算子强制执行弱形式或能量形式[2 (https://arxiv.org/html/2608.07722#bib.bib25)]；多头神经算子通过显式时间结构建模多个未来状态[4 (https://arxiv.org/html/2608.07722#bib.bib26)]；神经算子热启动将学习估计与迭代求解器相结合[3 (https://arxiv.org/html/2608.07722#bib.bib27)]。本研究建立了场分辨FNO基线，可用于评估上述发展。

## 3问题描述

### 3\.1浸没流-结构动力学

设Ωf⊂Rd\\Omega\_\{f\}\\subset\\mathbb\{R\}^\{d\}，d∈\{2,3\}d\\in\\\{2,3\\\}，表示欧拉流体域，X\(s,t\)\\boldsymbol\{X\}\(\\boldsymbol\{s\},t\)表示拉格朗日游泳器构型。浸没边界系统的示意图为

ρ\(∂u∂t\+u⋅∇u\)\\displaystyle\\rho\\left\(\\frac\{\\partial\\boldsymbol\{u\}\}\{\\partial t\}\+\\boldsymbol\{u\}\\cdot\\nabla\\boldsymbol\{u\}\\right\)=−∇p\+μ∇2u\+fIB,\\displaystyle=\-\\nabla p\+\\mu\\nabla^\{2\}\\boldsymbol\{u\}\\+\\boldsymbol\{f\}\_\{\\mathrm\{IB\}\},(1)∇⋅u\\displaystyle\\nabla\\cdot\\boldsymbol\{u\}=0,\\displaystyle=0,(2)fIB\(x,t\)\\displaystyle\\boldsymbol\{f\}\_\{\\mathrm\{IB\}\}\(\\boldsymbol\{x\},t\)=∫BF\(s,t\)δ\(x−X\(s,t\)\)ds,\\displaystyle=\\int\_\{\\mathcal\{B\}\}\\boldsymbol\{F\}\(\\boldsymbol\{s\},t\)\\delta\\\!\\left\(\\boldsymbol\{x\}\-\\boldsymbol\{X\}\(\\boldsymbol\{s\},t\)\\right\)\\,d\\boldsymbol\{s\},(3)∂X∂t\(s,t\)\\displaystyle\\frac\{\\partial\\boldsymbol\{X\}\}\{\\partial t\}\(\\boldsymbol\{s\},t\)=∫Ωfu\(x,t\)δ\(x−X\(s,t\)\)dx\.\\displaystyle=\\int\_\{\\Omega\_\{f\}\}\\boldsymbol\{u\}\(\\boldsymbol\{x\},t\)\\delta\\\!\\left\(\\boldsymbol\{x\}\-\\boldsymbol\{X\}\(\\boldsymbol\{s\},t\)\\right\)\\,d\\boldsymbol\{x\}\.(4)这里ρ\\rho和μ\\mu分别是密度和动力粘度，fIB\\boldsymbol\{f\}\_\{\\mathrm\{IB\}\}是欧拉力密度，F\\boldsymbol\{F\}包含结构力或约束力。该实现还考虑了预设变形、刚体动量和水动力[1 (https://arxiv.org/html/2608.07722#bib.bib4)]。雷诺数

Re=ρUrefLrefμ\\mathrm\{Re\}=\\frac\{\\rho U\_\{\\mathrm\{ref\}\}L\_\{\\mathrm\{ref\}\}\}\{\\mu\}(5)用于标识模拟工况。在二维情形中，标量涡量为

Ω=∂uy∂x−∂ux∂y\.\\Omega=\\frac\{\\partial u\_\{y\}\}\{\\partial x\}\-\\frac\{\\partial u\_\{x\}\}\{\\partial y\}\.(6)

### 3\.2神经算子代理模型公式

设tn\+1=tn\+Δtnt\_\{n\+1\}=t\_\{n\}\+\\Delta t\_\{n\}。对于平面游泳器，执行的映射为

\[u^x,u^y,Ω^,P^\]n\+1=Gθ2D\[ux,uy,Ω,P,Me,Re,Δt\]n,\[\\widehat\{u\}\_\{x\},\\widehat\{u\}\_\{y\},\\widehat\{\\Omega\},\\widehat\{P\}\]\_\{n\+1\}=\\mathcal\{G\}^\{2D\}\_\{\\theta\}\[u\_\{x\},u\_\{y\},\\Omega,P,M\_\{e\},\\mathrm\{Re\},\\Delta t\]\_\{n\},(7)其中MeM\_\{e\}是二值占据代理，Re\\mathrm\{Re\}在整个网格上广播。

体积模型共享有序输入

xn3D=\[\\displaystyle\\boldsymbol\{x\}^\{3D\}\_\{n\}=\[ux,uy,uz,Ωx,Ωy,Ωz,P,Me,Re,Δt,sinφ,cosφ\]n,\\displaystyle u\_\{x\},u\_\{y\},u\_\{z\},\\Omega\_\{x\},\\Omega\_\{y\},\\Omega\_\{z\},P,M\_\{e\},\\mathrm\{Re\},\\Delta t,\\sin\\phi,\\cos\\phi\]\_\{n\},(8)其中φ=2πt/T\\phi=2\\pi t/T，执行的相位周期为T=1T=1。独立的参数集定义了

Gθ\(u\):xn3D↦\[ux,uy,uz\]n\+1,Gθ\(ω\):xn3D↦\[Ωx,Ωy,Ωz\]n\+1,Gθ\(p\):xn3D↦Pn\+1\.\\begin\{split\}\\mathcal\{G\}^\{\(u\)\}\_\{\\theta\}:\\boldsymbol\{x\}^\{3D\}\_\{n\}&\\mapsto\[u\_\{x\},u\_\{y\},u\_\{z\}\]\_\{n\+1\},\\\\ \\mathcal\{G\}^\{\(\\omega\)\}\_\{\\theta\}:\\boldsymbol\{x\}^\{3D\}\_\{n\}&\\mapsto\[\\Omega\_\{x\},\\Omega\_\{y\},\\Omega\_\{z\}\]\_\{n\+1\},\\\\ \\mathcal\{G\}^\{\(p\)\}\_\{\\theta\}:\\boldsymbol\{x\}^\{3D\}\_\{n\}&\\mapsto P\_\{n\+1\}\.\\end\{split\}(9)因此三维公式是一组三个针对特定目标的模型，而不是一个联合七输出网络。对于共同的精度评估，每个预测都使用tn t\_\{n\}时刻的参考场；这是标准时间建模意义上的教师强制评估。

存储的流体掩码MfM\_\{f\}在定义流体区域误差时于目标时刻评估，因为游泳器会移动。两个掩码都是从浸没几何导出的基于网格的代理；它们都不是精确的尖锐界面固体体积。

## 4高保真模拟与数据准备

IBAMR在自适应笛卡尔层次网格上推进流体，同时用拉格朗日点存储游泳器。按预设频率，工作流在固定笛卡尔网格上采样欧拉场，并在每个雷诺数下写入一条轨迹。裁剪只选择现有的坐标索引；不插值或过滤保留的场。这种规则表示提供了FNO所需的张量，同时保留物理坐标、轨迹特定时间、参数和几何掩码。

平面数据库包含50条轨迹，201帧，在256×256256\\times 256裁剪区域上存储七个场。在跳过第一个存储帧后，加载器为每条轨迹形成200个时间对。运行0–44提供9,000个训练对。运行45–49提供1000个留出对，对应Re=\{7300,7600,7900,8200,8500\}\\mathrm\{Re\}=\\\{7300,7600,7900,8200,8500\\\}。由于训练范围到Re=7000\\mathrm\{Re\}=7000结束，这些是高侧外推情形。

体积数据库包含50条轨迹，101个保留帧，十个存储场，以及64364^\{3\}裁剪区域。物理时间数组每条轨迹一行。每条轨迹提供100个时间对。运行\{5,10,20,30,40\}\\\{5,10,20,30,40\\\}被留出，对应Re=\{750,1100,2200,4200,6200\}\\mathrm\{Re\}=\\\{750,1100,2200,4200,6200\\\}；所有其他运行提供4,500个训练对。所有五个留出值都位于训练范围500≤Re≤8500500\\leq\\mathrm\{Re\}\\leq 8500内，被归类为插值。由于源帧数不等，通过按帧数保留最大公共前缀进行协调。这种截断保持轨迹特定的物理时间不变，不是时间插值。体积坐标范围为x∈\[5\.0,7\.0\]x\\in\[5\.0,7\.0\]，y∈\[−1\.0,1\.0\]y\\in\[\-1\.0,1\.0\]，z∈\[−0\.5,0\.5\]z\\in\[\-0\.5,0\.5\]。完整的数组布局、数据类型、字段顺序和校验检查见附录A (https://arxiv.org/html/2608.07722#A1)。

表1：神经代理模型使用的高保真模拟数据。
## 5神经算子与实验