在希尔伯特空间中，一切皆有可能

# 在希尔伯特空间中，一切在量子意义上皆有可能 | Quanta Magazine Source: https://www.quantamagazine.org/in-hilbert-space-all-things-are-quantumly-possible-20260826/ 要探索量子现象，我们必须离开熟悉的世界，进入希尔伯特空间这一抽象领域。 量子力学的核心在于几条关于如何运用该理论的神圣法则。首要的一条大致是：汝不可去思考普通物体此刻在普通空间中的穿梭。相反，量子力学以极为精细的方式预测一个物体在未来*可能*呈现出的所有可能形态。要探索这些可能的未来，就需要追踪一个完全不同的数学对象——一支被称为"矢量"的箭头，它指向一个广袤而陌生的领域中的某个方向。 这些箭头并不指向位置。"它远比那抽象得多，"加拿大滑铁卢理论物理研究所（Perimeter Institute for Theoretical Physics）的物理学家 Lucien Hardy 说。它们"实际上指向的是可能性空间中的一个方向。" 这个可能性空间被称为希尔伯特空间，它是量子物理的主要舞台。 早期的量子力学先驱们一开始并未意识到，那些成功描述原子行为的深奥数学早已脱离了现实世界。正是富有远见的数学物理学家 John von Neumann 识别并定义了量子世界是一个希尔伯特空间。一旦他这样做了，对希尔伯特空间方方面面的探索便引导物理学家对量子物理形成了更深刻、更统一的理解。 以下便是 von Neumann 量子物理第一戒律的来龙去脉，以及该如何理解它。 ## **什么是希尔伯特空间？** Von Neumann 的戒律——或者说公理——是他理解 1920 年代相继提出的两种量子力学形式的方式。首先是 1925 年 Werner Heisenberg 的"矩阵力学"。它使用令人费解的表格和后来表述中无穷无尽的数字方阵来计算一个绕原子运行的电子跃迁到更高或更低轨道的概率。第二年，Erwin Schrödinger 引入了他的"波动力学"。它用波来追踪，例如粒子在空间中某处被发现的概率。这两位物理学家所描绘的图景看似截然不同，但给出的预言却完全一致。Heisenberg 和 Schrödinger 提出了同一理论的两种截然不同的化身。但那究竟是什么理论？ 这个问题令 David Hilbert 著迷。这位著名数学家将大半生献给了在严格的公理基础上为物理学重建坚实根基的事业。正是他在 1920 年代中期让 von Neumann 思考这个问题。1927 年，这位 23 岁的天才——在 Paul Dirac 的洞见基础上——用一组三篇论文构成的三部曲解决了这一问题。 （一位蓄须的男子坐在藤椅上。） 数学家 David Hilbert 寻找一种能统一不同量子力学形式的数学结构。 MacTutor "具体的思想确实出自 von Neumann，但那种启发——为什么要公理化以及为了什么——这是他从 Hilbert 那里获得的，"数学史学家 Leo Corry 说。 这些论文为量子力学制定了规则，仔细定义了理论的核心对象及其行为方式。Von Neumann 证明 Heisenberg 的数字方阵和 Schrödinger 的波是同一实体的不同映像，正如 0.5 和 1/2 表示数轴上的同一个点。它们都代表着量子力学的主角：量子态。 一切事物都有状态。一枚硬币可以显示正面或反面。一座老爷钟的钟摆在摆动时可以取任何位置。物理学的大部分内容就在于捕捉一个物体的状态并预测它将如何变化。 Von Neumann 的量子规则使"状态"这一概念变得更加复杂。在你观测一个量子对象之前，它并不具有一组固定的属性，比如一个确定的位置。相反，它拥有一种量子力学特有的可能属性的组合——"量子叠加态"。叠加态组合了，例如，粒子可能出现在的所有位置。这些可能性可以是精确而富有信息量的：也许你有 99% 的概率在你的左边找到粒子，有 1% 的概率在右边找到它。你知道该如何下注，但在检查之前，你无法确定自己是否赢了。 Von Neumann 将量子态表述为一个数学箭头，称为矢量。这个箭头在一个空间中指向某个方向，这个空间涵盖了任何量子对象所有可能的未来——即一个希尔伯特空间。 想象一个有三种可能状态的量子交通灯——红、黄或绿。它的箭头存在于一个三维希尔伯特空间中，其中三个轴分别代表三种可能的未来颜色。在被观测到的那一刻之前，它没有颜色，而是可能颜色的一种混合。因此它的箭头指向空间的中心区域。箭头越靠近，比如说，红色的轴，交通灯显示红灯的可能性就越大。 任何物体的状态——从电子到星系——都可以用这样一个矢量来捕捉，它在这样的希尔伯特空间中指向某个方向。这就是 von Neumann 的量子力学第一规则。 ## **在希尔伯特空间中发生了什么？** 一支箭头通过两种方式之一在希尔伯特空间中移动。Von Neumann 的其他戒律规定了具体方式。 第一种情况对应于观测之前发生的事。随着世界影响物体并改变其状态，箭头在希尔伯特空间中平滑地转动。它可能更靠近绿色轴，从而使我们的交通灯更可能被测出绿色，也可能靠近红色或黄色。关键在于这一切都是平滑而可预测地发生的。 然后，如果你真正观测了这个系统，矢量会瞬间随机地跳到红色、黄色或绿色中的某一个轴上。它与某个轴越对齐，跳到那个轴而非其他轴上的概率就越大，但它的命运终究是不可预测的。假设它变成了绿色。你将观测到绿灯，而此后每次测量它仍然是绿灯的概率变为 100%，因为箭头已经完全对齐于绿色轴。量子叠加态不复存在。 ## **希尔伯特空间有哪些特性？** 一个物体的可能未来越多，其希尔伯特空间就越大。一个类似硬币、有两种可能未来的粒子被称为"量子比特"（qubit），它是量子计算机的基本计算单元。它拥有一个二维希尔伯特空间。我们那个三色交通灯的希尔伯特空间是三维的。但这仅仅是个开始。一个自由漂浮的粒子可能在宇宙中的任何位置被发现，因此它的希尔伯特空间必须横跨无限多个维度。 根据 von Neumann 的规则，这种维度——无论是两维还是无限维——是希尔伯特空间唯一的基本特征。坐标轴是任意的，由我们所设想；它们并非空间所固有。 以一个电子为例。它有一个状态，一支箭头，指向一个广阔的希尔伯特空间。它的希尔伯特空间涵盖了所有可能的测量——能量、位置、动量等等。如果你好奇电子可能在哪里，你可以用代表可能位置的坐标轴来标注这个空间。如果你想知道粒子可能往哪里去，你就可以应用另一组坐标轴，即代表可能动量的坐标轴。无论你打算进行哪种测量，底层的希尔伯特空间始终保持不变。 正是这种可以随心所欲地对希尔伯特空间进行划分的自由，使得 Heisenberg 和 Schrödinger 能够提出同一理论的两个不同版本。Heisenberg 的图景本质上是设定坐标轴并让它们绕矢量旋转，而 Schrödinger 的图景则相反：设定一组固定的坐标轴，让矢量相对它们旋转。它们是对同一个空间中同一支箭头的两种完全不同的数学视角。 在他 1927 年的第一篇论文中，von Neumann 阐明了定义此类空间的两条数学标准。首先，它必须是"完备的"。不能缺少任何区域或点。其次，你必须能够计算一个状态与一个坐标轴之间的对齐程度，你可以这样想象：一束光直直地照下来，在坐标轴上投射出箭头的阴影。（阴影越长，箭头就越与该轴对齐。）空间必须允许这种运算，即内积。任何具有这两个特征的空间，无论其大小或来源，都是希尔伯特空间。 "这是创建我们所谓的希尔伯特空间量子力学的一大重要步骤，"伦敦政治经济学院（London School of Economics）的物理学哲学家 Miklós Rédei 说。"这是数学概括或抽象如何发生的一个优美范例。" Von Neumann 将这些抽象空间称为希尔伯特空间，因为他的导师 Hilbert 是最早在 20 世纪初探索具有无限维的特定空间的数学家。Hilbert 的工作依赖于这些空间的完备性和内积，但他并未将它们视为一个更一般的空间类别的实例——直到他的学生将它们归为一组。这位年长的数学家若发现自己与这一新的数学结构联系在一起，或许会感到惊讶。据报道，Hilbert 在 1929 年的一次讲座中问道："Von Neumann 博士，我真的很想知道，这些希尔伯特空间到底是什么？" ## **希尔伯特空间是真实的，还是仅仅是一种抽象？** 在量子力学诞生一个世纪之后，这一理论让物理学家们处于一个尴尬的境地。我们生活在一个物体在三维物理空间中移动并改变位置的世界中。但我们最基本理论却发生在别处——在 von Neumann 那广袤的可能性领域中。这对于我们世界的真实性，或希尔伯特空间的真实性，意味着什么？ 对于约翰霍普金斯大学（Johns Hopkins University）的哲学家和物理学家 Sean Carroll 来说，答案很明确。如果量子力学是自然的根本理论，那么希尔伯特空间就应当被视为现实的根本舞台，他在一篇 2022 年的论文中如此论述。他的一个研究方向是，从那个囊括宇宙所有可能形态的令人迷失方向的希尔伯特空间中，提炼出我们熟悉的世界。 其他物理学家采取了更为务实的立场。普林斯顿大学（Princeton University）的物理学家 Jonathan Sorce 说，希尔伯特空间是一个便利的数学构造，对于描述许多量子系统极为有用——但并非对所有系统都如此。他属于一个研究者群体，他们正在寻找一种可以将时空本身描述为量子对象的数学构造。这样的理论是回答诸如黑洞中心发生了什么等重大问题的前提条件。 提出这些问题的物理学家近来将注意力集中在一个更加抽象的空间上，这个空间似乎尤其适合他们的目的。这类空间由你可以对希尔伯特空间所做的事情构成，例如以不同方式将其切分，或将一个切片旋转成另一个切片。在这个领域中，他们发现黑洞似乎不再那么神秘。 这种"超级空间"如今被称为 von Neumann 代数。Von Neumann 本人曾参与开发它，作为对困扰他的希尔伯特空间某些逻辑不自洽问题的一种可能补救。在 1935 年的一封信中探索代数的优越性时，他写道："我想坦白一件可能看起来不道德的事情：我不再相信希尔伯特空间了。" 就 Sorce 而言，他并不认同 von Neumann 那种用一个空间统治一切的愿望。他乐于使用最适合所研究的量子对象的数学构造。通常是希尔伯特空间。有时是 von Neumann 代数。偶尔甚至可能是数学家在过去一个世纪中发明的众多其他空间之一。 "这些东西简直就是一个动物园，"他说。