用主题公园游乐设施和智能手机演示牛顿力学

# 使用智能手机里程计重建主题公园游乐设施的三维轨迹以演示牛顿力学 来源：https://iopscience.iop.org/article/10.1088/1361-6404/aea271 0143\-0807/47/5/055002 ## 摘要 主题公园为阐释牛顿力学原理提供了丰富的场景，让学生能直接体验加速度、力、能量与运动。虽然以往的教育研究依赖于原始的智能手机传感器数据，但本研究表明，通过惯性里程计进行完整的轨迹重建，可以对游乐设施进行更深入的力学分析。我们仅利用现代智能手机的加速度和姿态数据，记录了两项设施的运动：一座过山车和一艘摆锤船。姿态通过基于四元数的陀螺仪数据积分确定，并利用零速度更新与球面线性插值进行漂移校正。随后的重力修正双重积分得出完整的三维轨迹，从而能够计算整个游乐过程中的动能与重力势能。对于过山车，重建路径与卫星影像的吻合度约为 5 m，并清晰揭示了发射加速、环路动力学以及势能与速度之间能量交换的特征。对于摆锤船，轨迹重建捕捉到了周期性运动，并演示了主动驱动期间的能量输入。结果表明，智能手机结合谨慎的里程计处理和漂移校正，能够重建复杂运动，并提供了一个强大且易于获取的平台，通过真实世界的体验来教授力学概念。 导出引文与摘要BibTeX (https://iopscience.iop.org/export?type=article&doi=10.1088/1361-6404/aea271&exportFormat=iopexport_bib&exportType=abs&navsubmit=Export+abstract)RIS (https://iopscience.iop.org/export?type=article&doi=10.1088/1361-6404/aea271&exportFormat=iopexport_ris&exportType=abs&navsubmit=Export+abstract) 主题公园是阐释牛顿力学基本原理的绝佳场所（Martensson\-Pendrill2021 (https://iopscience.iop.org/article/10.1088/1361-6404/aea271#ejpaea271bib6)）。由于这些公园天然会引发关于速度、加速度、力与安全的问题，它们为探究式学习提供了场景，也帮助把抽象概念与学生的日常经历联系起来。将参观主题公园纳入力学课程，可以强化并激发学生对物理讲座中相应形式化处理的兴趣。跳楼机（Burt and Pendrill2020 (https://iopscience.iop.org/article/10.1088/1361-6404/aea271#ejpaea271bib2)）可以鼓励学生探索重力与参考系。过山车可以让学生思考涉及法向力和向心力的较难的受力分析图（Pendrill *et al* 2023 (https://iopscience.iop.org/article/10.1088/1361-6404/aea271#ejpaea271bib10)）。摆锤类设施（Gurri *et al* 2017 (https://iopscience.iop.org/article/10.1088/1361-6404/aea271#ejpaea271bib4)）和秋千（Pendrill2023 (https://iopscience.iop.org/article/10.1088/1361-6404/aea271#ejpaea271bib9)）可用于将实验测量结果与物理摆的解析解进行比较。旋转类设施可以让学生体验转动运动与向心力。旋转秋千（Schilder and Pendrill2024 (https://iopscience.iop.org/article/10.1088/1361-6404/aea271#ejpaea271bib13)）是具有多个自由度和时变参数的复杂摆的例子，需要采用高级分析方法才能对测量结果给出如实的刻画。碰碰车则提供了碰撞的真实例子。在这些研究中，原始传感器数据被直接用于阐释牛顿力学现象。然而，对于过山车这类复杂设施，仅依赖原始传感器数据不足以对整个游乐过程进行全面分析。 早期的主题公园研究通常使用专业加速度计，而较新的研究则使用智能手机进行测量（Monteiro *et al* 2014 (https://iopscience.iop.org/article/10.1088/1361-6404/aea271#ejpaea271bib7)）。如今大多数学生都拥有智能手机，它本身就是测量加速度与角速度的强大工具。借助 phyphox（Staacks *et al* 2018 (https://iopscience.iop.org/article/10.1088/1361-6404/aea271#ejpaea271bib16)）或 Physics Toolbox（Vieyra *et al* 2020 (https://iopscience.iop.org/article/10.1088/1361-6404/aea271#ejpaea271bib17)）等应用，他们可以轻松搭建测量、完成数据采集，并将数据发送到自己的电脑上。 本研究的新意在于，我们应用了里程计技术（Solin *et al* 2018 (https://iopscience.iop.org/article/10.1088/1361-6404/aea271#ejpaea271bib15), Reina *et al* 2019 (https://iopscience.iop.org/article/10.1088/1361-6404/aea271#ejpaea271bib12), Herath *et al* 2020 (https://iopscience.iop.org/article/10.1088/1361-6404/aea271#ejpaea271bib5), Wen *et al* 2023 (https://iopscience.iop.org/article/10.1088/1361-6404/aea271#ejpaea271bib18)），从加速度和姿态数据中推导出完整的随时间变化的轨迹。这使得该设施的所有力学参数都能被计算出来，例如动能与重力势能。这就开辟了一个全新的广阔试验场，用于检验力学定律。我们将以一座过山车和一艘摆锤船为例来演示这种方法。应用里程计所带来的新的教学方面之一，就是可以对复杂过山车游乐过程中机械能守恒进行直接检验。 本研究是一项开放式的项目学习（Project-Based Learning）项目的成果，该项目面向应用物理学（BSc）专业一年级的力学课程。开放式项目教育为让学生真正投入科学实践提供了机会（Pols *et al* 2021 (https://iopscience.iop.org/article/10.1088/1361-6404/aea271#ejpaea271bib11)）。该项目的首要教学目标是让学生获得关于入门级牛顿力学的真实生活实践体验。学生处理真实的比加速度数据、角速度、真实的传感器数据、测量的局限性、数据分析、可视化与展示。在 220 名学生中，有 2 名学生（即本文的两位第一作者）主动提出运用坐标变换、四元数、漂移校正和双重积分等高级数学技术来执行路径重建，从而产生了本文。 ### 2.1\. 智能手机作为运动传感器 phyphox 应用以 100 Hz 的采样率记录加速度与角速度。较低的采样率（如 30 Hz）被证明不适用于轨迹重建。测量在车辆仍处于静止状态时就开始了。随后手机被放进裤袋中，并在整个游玩过程中保持在该位置，以确保安全并维持相对于车厢的稳定安装。这种手机安装方式的一个局限是，手机相对于车厢的轻微移动和重新取向会导致路径重建出现一定漂移。测量在游乐设施回到静止状态后才停止。这就为游玩过程的开始和结束提供了速度为零的参考点。由于智能手机测量的是比加速度（proper acceleration），在这些静止时段，它会因重力而记录到一个向上的数值 $1g$（${\approx}9.8 \text{m s}^{-2}$）。这些测量片段对于确定姿态和漂移校正至关重要。记录过山车和摆锤船数据的手机分别为 iPhone 16 Pro 和 iPhone 16。智能手机传感器的质量可能是路径重建的一个限制因素。然而，多名学生使用多种智能手机型号所采集的测量结果显示出了高度一致的加速度模式，证明了内置传感器的可靠性。其他研究也表明，大多数现代智能手机的加速度传感器质量良好（Grouios *et al* 2023 (https://iopscience.iop.org/article/10.1088/1361-6404/aea271#ejpaea271bib3)）。 对于过山车，我们利用智能手机的视频记录将具体的游乐动作与采集到的数据对应起来。这些观察结果总结于表1（https://iopscience.iop.org/article/10.1088/1361-6404/aea271#ejpaea271t1）。 **表 1\.** 根据数段自制视频的视频分析得出的*Formule X*（“X 公式”）游乐过程中随时间发生的事件，并辅以图2（https://iopscience.iop.org/article/10.1088/1361-6404/aea271#ejpaea271f2）和图3（https://iopscience.iop.org/article/10.1088/1361-6404/aea271#ejpaea271f3）所显示的加速度与陀螺仪数据加以佐证。视频分析的时间分辨率为 1 s。 | 事件 | 时间 \[s\] | | --- | --- | | 开始运行 | 11 | | 缓慢右转 | 14 | | 开始发射 | 16 | | 俯冲环路中倒置 | 19 | | 直线段最高点 | 23 | | 直线段最低点 | 25 | | 心线翻滚中倒置 | 29 | | 过顶弯道 | 33 | | 制动 | 38 | | 最终缓慢右转 | 47 | | 运行结束 | 52 | 通过顺序四元数旋转和双重积分进行完整的不确定度传递，并对宏观漂移校正后剩余不确定度进行严格建模，其复杂程度远远超出了这一一年级演示项目的范围。因此，本文省略了形式化的误差分析，而以合理精度报告结果以保持清晰。 ### 2.2\. 被测量的游乐设施 测量在位于海牙（荷兰）的家庭主题公园 Drievliet 进行。过山车 *Formule X*（“X 公式”）是一项相对较短的设施，在 30 秒的时间内行进 350 m。*Formule X* 以水平发射开始，在 2 s 内达到 70 km h$ ^{-1}$ 的速度，随后依次经过俯冲环路、心线翻滚和过顶弯道。这些事件将在后文结合重建轨迹的图5（https://iopscience.iop.org/article/10.1088/1361-6404/aea271#ejpaea271f5）加以标注。*De Piraat*（“海盗”）是一艘摆锤船，每次运行可容纳 54 名乘客，其加速和减速由底部的一对液压驱动轮实现。*De Piraat* 的宣传标称高度可达 12 m。 ### 2.3\. 轨迹重建 轨迹重建面临多重挑战。主要困难源于在参考系之间进行动态变换的必要性，因为加速度计测量的是设备旋转坐标系内的比加速度，而不是固定的实验室坐标系。由于手机的姿态不断变化，手机坐标系中测得的加速度分量 $\mathbf{a}_{\mathrm{p}}(t)$ 并不对应于固定的空间轴。因此，原始数据必须首先被旋转到地球坐标系 $\mathbf{a}_{\mathrm{e}}(t)$ 中。 我们在参考系变换和后续路径重建中利用了多项物理约束。具体包括：游乐过程开始和结束时的速度为零；轨迹是一个闭合回环；实际发射方向可由其他来源得知；以及对于摆锤船，在游玩过程中会多次经过底部位置。 所有变换的概览如图1（https://iopscience.iop.org/article/10.1088/1361-6404/aea271#ejpaea271f1）所示。 图 1. 请参阅以下图注及周围正文。 **图 1\.** 轨迹重建中不同坐标系的概览。原始加速度数据 $\mathbf{a}_{\mathrm{p}}(t)$ 在手机坐标系中测量。加速度与陀螺仪数据通过公式 \(3 (https://iopscience.iop.org/article/10.1088/1361-6404/aea271#ejpaea271eqn3)\) 或 \(4 (https://iopscience.iop.org/article/10.1088/1361-6404/aea271#ejpaea271eqn4)\) 变换到地球坐标系 $\mathbf{a}_{\mathrm{e}}(t)$，并最终变换到摆动运动的二维平面中。此外，*Formule X* 游乐过程的加速度数据通过禁用陀螺旋转代码（如2.3.1节（https://iopscience.iop.org/article/10.1088/1361-6404/aea271#ejpaea271s2-3-1）末尾所述）被旋转到车厢坐标系中。 下载图片： 标准图像（https://content.cld.iop.org/journals/0143-0807/47/5/055002/revision2/ejpaea271f1_lr.jpg）高分辨率图像（https://content.cld.iop.org/journals/0143-0807/47/5/055002/revision2/ejpaea271f1_hr.jpg） 本研究综合了两个学生合作项目，二者共享关键思想，但在执行上有所不同。*Formule X* 的姿态通过带陀螺漂移校正的四元数积分推导得出。对于 *De Piraat*，则结合矩阵变换使用了手机原生的传感器融合算法。我们将首先详细说明两种不同的姿态确定方法，然后介绍二者共同采用的积分与漂移校正方法。 #### 2.3.1\. *Formule X* 的姿态与变换 对于过山车，绝对姿态主要通过对陀螺仪角速度测量值 $\boldsymbol{\omega}(t)$ 积分得到。对于一个离散时间步长 $\Delta t$，角速度向量被视为一个旋转向量 $\Delta\boldsymbol{\theta} = \boldsymbol{\omega} \Delta t$，由此生成一个增量四元数旋转 $\Delta \mathbf{q}(\Delta\boldsymbol{\theta})$。姿态从初始状态 $\mathbf{q}_0$ 开始迭代传播： 公式 (1) 我们用符号 $\mathbf{q}_{\mathrm{g}}$ 表示由陀螺仪测量值积分得到的四元数。为了确定所需的积分常数，我们对记录开始处一段 2 秒的静止时段 \(![$t\in[8,10]$](data:image/png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAAEAAAABCAQAAAC1HAwCAAAAC0lEQVR42mNkYAAAAAYAAjCB0C8AAAAASUVORK5CYII=) s（如图2（https://iopscience.iop.org/article/10.1088/1361-6404/aea271#ejpaea271f2）所示）——即所谓零速度更新（ZUPT）——进行了分析。在此时段内，计算了平均加速度向量，以确定相对于重力的垂直轴。方位角对齐则依据过山车的地理布局确定，具体来说就是发射方向，从卫星影像观测到该方向固定为 $109^\circ$。该发射方向对应于发射时段内的运动，其特征是 $xy$ 平面内具有高加速度，而 $z$ 方向没有显著加速度。该时段会被自动识别，随后用于绕 $z$ 轴旋转坐标系，使发射方向与 $109^\circ$ 方向对齐。 图 2. 请参阅以下图注及周围正文。 **图 2\.** *Formule X* 游乐过程中手机坐标系内的原始比加速度数据。可以清楚地看到，重力加速度在手机三个轴上都有分量，这使得直接解读这些数据变得困难。 下载图片： 标准图像（https://content.cld.iop.org/journals/0143-0807/47/5/055002/revision2/ejpaea271f2_lr.jpg）高分辨率图像（https://content.cld.iop.org/journals/0143-0807/47/5/055002/revision2/ejpaea271f2_hr.jpg） 为校正陀螺仪偏置，我们在最后一段 2 秒的静止时段 \(![$t\in[52,54]$](data:image/png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAAEAAAABCAQAAAC1HAwCAAAAC0lEQVR42mNkYAAAAAYAAjCB0C8AAAAASUVORK5CYII=) s 内重新评估了垂直对齐。漂移旋转 $\mathbf{q}_{\mathrm{d}}$ 通过将最终旋转后的重力向量与理想的实验室竖直方向进行比较而计算得出。随后利用球面线性插值（SLERP）（Shoemake1985 (https://iopscience