基于用户定义分量粒度的个性化膳食优化的混合整数目标规划

# 混合整数目标规划实现个性化膳食优化与用户自定义份量粒度
来源：https://arxiv.org/html/2605.13849 \(2026年3月\)

###### 摘要

确定吃什么以满足营养需求是运筹学中最古老的优化问题之一，然而现有公式存在两个长期局限：连续变量会产生不切实际的分数份量（如1.7个鸡蛋、0.37根香蕉），而硬性营养约束在目标冲突时会导致无可行解。对56篇膳食优化论文的系统综述发现，没有一篇同时结合整数规划与目标规划来解决这两个问题。我们提出**混合整数目标规划**（Mixed Integer Goal Programming, MIGP）用于个性化膳食优化。该公式使用整数变量表示实际的份数计数，使用目标规划偏差变量表示软性营养目标，并通过逆目标归一化来平衡多营养优化。每种食物的份量粒度支持自然单位（一个鸡蛋、一汤匙油），无需事后取整。我们刻画了目标规划语境下的整数性间隙，并识别出一个**偏差吸收**性质：GP偏差变量缓冲了要求整数份量带来的代价，使得该间隙在结构上小于硬约束MIP中的间隙。对于包含15种以上食物的膳食，整数解在每个基准实例中都与连续最优解一致。对810个实例（30种USDA食物、9种配置、3种方法）的计算评估显示，MIGP在66%的情况下比事后取整的GP找到严格更优的解（且绝不更差），同时保持100%的可行性；而硬约束IP仅达到48%。使用开源HiGHS求解器，典型规模的膳食求解时间保持在100毫秒以下。该实现作为开源Python模块提供，并集成到交互式膳食规划应用中。

## 1. 引言

### 1.1. 膳食问题

确定吃什么以满足营养需求是运筹学中最古老的优化问题之一。Stigler[17 (https://arxiv.org/html/2605.13849#bib.bib1)]于1945年提出了最低成本膳食问题；Dantzig[7 (https://arxiv.org/html/2605.13849#bib.bib2)]随后用单纯形法求解。近80年后，该问题仍具有实际意义：健康追踪应用、膳食预配服务以及临床营养项目都需要组合出满足个体化营养目标的膳食。该数学结构可推广至营养学之外。**资源组合问题**出现在需要将离散量的输入组合起来逼近目标组合向量的各种场景：制造中的化学品混合、从整数股数构建投资组合、或装载车辆以平衡各维度重量。在每种情况下，输入以离散单位呈现，目标涵盖多个维度，且通常无法精确达成。

### 1.2. 两个长期局限

尽管经过数十年的改进，膳食优化仍面临源于标准LP公式的两个局限。

##### 分数份量。
连续变量会得出像1.7个鸡蛋或0.37根香蕉这样的解，数学上精确，但对膳食准备毫无用处。文献中大多将此视为实现细节，事后取整至整数[9 (https://arxiv.org/html/2605.13849#bib.bib9)]。但取整并非中性：它会改变营养概况而不考虑最优性，且取整后的解可能违反当初驱动优化的约束条件。整数规划可直接解决这一问题。然而，现有的膳食IP公式使用二元选择变量（包含/排除某种食物）[3 (https://arxiv.org/html/2605.13849#bib.bib7)]，而非整数数量变量（多少份）。关于每种食物**吃多少**（以整份为单位）的问题尚未通过整数优化得到解决。

##### 硬约束导致无可行解。
当营养需求冲突或食物集合受限时，硬约束公式会宣布问题无可行解并返回空值。Briend等人[5 (https://arxiv.org/html/2605.13849#bib.bib11)]在WHO背景下记录了这一点，当时铁需求只能满足建议量的63%。在交互式应用中，这会产生问题：系统在最需要指导的时候却无法提供指导。目标规划[6 (https://arxiv.org/html/2605.13849#bib.bib3)]通过用软目标替代硬约束来消除不可行性。偏差变量衡量解与每个目标之间的差距，目标是最小化总偏差。Gerdessen和de Vries[10 (https://arxiv.org/html/2605.13849#bib.bib6)]将GP应用于膳食优化并取得了良好效果，但他们的公式使用连续变量，继承了分数份量问题。

### 1.3. 研究空白

Donkor等人[8 (https://arxiv.org/html/2605.13849#bib.bib8)]的系统综述审查了56篇膳食优化论文，发现没有一篇结合整数规划与目标规划（详细分析见第2节 (https://arxiv.org/html/2605.13849#S2)）。与此同时，AI/ML方法已经出现在膳食规划中[13 (https://arxiv.org/html/2605.13849#bib.bib16),1 (https://arxiv.org/html/2605.13849#bib.bib17),21 (https://arxiv.org/html/2605.13849#bib.bib15)]，提供了偏好学习和生成能力，但没有正式的最优性保证或透明的权衡报告。这些方法与精确优化是互补的。

### 1.4. 贡献

我们提出**混合整数目标规划**（MIGP）用于个性化膳食优化，填补了Donkor等人指出的空白。我们的贡献包括：

1. 1.**新颖公式**。首个统一的膳食优化MIGP模型，结合整数份量变量与GP偏差最小化。该模型支持用户定义的每种食物份量粒度以及逆目标惩罚归一化，用于平衡多营养优化（第3节 (https://arxiv.org/html/2605.13849#S3)）。
2. 2.**整数性分析**。我们刻画了GP语境下的整数性间隙，识别出一个**偏差吸收**性质：偏差变量缓冲了整数性带来的代价。当包含15种以上食物时，整数解与连续最优解一致。该性质可推广至任何包含整数变量的GP公式，而不仅限于膳食优化（第4节 (https://arxiv.org/html/2605.13849#S4)）。
3. 3.**开源实现**。使用HiGHS的Python求解器在典型膳食规模下实现低于100毫秒的求解时间，并集成到交互式网络应用中（第5节 (https://arxiv.org/html/2605.13849#S5)）。
4. 4.**比较评估**。对810个实例的基准测试显示，MIGP在66%的情况下比GP+取整找到严格更优的解（且绝不更差），同时保持100%的可行性；硬约束IP仅达到48%（第6节 (https://arxiv.org/html/2605.13849#S6)）。

### 1.5. 论文组织

第2节 (https://arxiv.org/html/2605.13849#S2)综述相关工作。第3节 (https://arxiv.org/html/2605.13849#S3)介绍MIGP公式。第4节 (https://arxiv.org/html/2605.13849#S4)分析整数性间隙。第5节 (https://arxiv.org/html/2605.13849#S5)描述实现。第6节 (https://arxiv.org/html/2605.13849#S6)报告计算实验。第7节 (https://arxiv.org/html/2605.13849#S7)讨论含义、局限性和未来方向。

## 2. 相关工作

### 2.1. 经典膳食优化

膳食问题是数学规划最早的应用之一。Stigler[17 (https://arxiv.org/html/2605.13849#bib.bib1)]提出了针对77种食物和9种营养素的满足营养需求的最小成本膳食问题，并通过手动枚举求解。Dantzig[7 (https://arxiv.org/html/2605.13849#bib.bib2)]后来应用单纯形法求解该问题，确立了膳食优化作为典型线性规划应用的地位。后续工作针对特定人群改进了LP方法。Briend等人[5 (https://arxiv.org/html/2605.13849#bib.bib11)]在WHO背景下将LP应用于婴儿辅食喂养，揭示了一个根本局限：当铁需求只能满足建议量的63%时，模型宣布无可行解，而非提供尽力而为的解。Maillot等人[14 (https://arxiv.org/html/2605.13849#bib.bib10)]开发了个体膳食建模方法，将营养建议转化为个性化食物选择；van Dooren等人[19 (https://arxiv.org/html/2605.13849#bib.bib12),20 (https://arxiv.org/html/2605.13849#bib.bib13)]将框架扩展到包含可持续性标准（成本和气候影响）以及营养。在整个演变过程中，数学结构保持不变：带有硬营养约束的连续LP。两个长期局限随之浮现。首先，连续变量产生不切实际的分数份量（0.37根香蕉、1.7个鸡蛋），需要手动取整。其次，当营养需求冲突或可用食物集无法同时满足所有目标时，硬约束会导致无可行解。

### 2.2. 膳食的目标规划

目标规划由Charnes和Cooper[6 (https://arxiv.org/html/2605.13849#bib.bib3)]引入，用软目标和显式偏差变量替代硬约束，从而消除不可行性问题。Tamiz等人[18 (https://arxiv.org/html/2605.13849#bib.bib5)]提供了GP方法论的概述，Romero[15 (https://arxiv.org/html/2605.13849#bib.bib4)]形式化了通用成就函数结构。Gerdessen和de Vries[10 (https://arxiv.org/html/2605.13849#bib.bib6)]将GP应用于膳食优化，使用了144种荷兰食物和19种营养素，比较了三种成就函数：MinSum（加权L1L\_\{1\}）、MinMax（L∞L\_\{\\infty\}）和扩展GP（两者结合）。他们的关键发现是，成就函数的选择显著影响膳食组成：MinSum倾向于均衡膳食，而MinMax防止单个营养素的极端偏差。然而，他们的公式使用**连续**决策变量，产生不切实际的食物份量。我们的MIGP公式直接建立在Gerdessen和de Vries的GP框架之上，采用MinSum成就函数，同时添加整数决策变量以实现实际的份数计数。第4节 (https://arxiv.org/html/2605.13849#S4)中的整数性分析量化了这种扩展的代价。

### 2.3. 膳食的整数规划

整数规划在膳食优化中的主要聚焦于二元选择变量（包含/排除某种食物），而非整数数量变量。Benvenuti等人[3 (https://arxiv.org/html/2605.13849#bib.bib7)]针对学校食堂菜单提出了一个三目标0-1整数规划，使用带有硬营养约束的二元变量。他们的TrIntOpt算法枚举帕累托最优菜单，但硬约束公式在目标冲突时存在不可行性。Gazan等人[9 (https://arxiv.org/html/2605.13849#bib.bib9)]回顾了67项使用LP进行膳食优化的研究，并指出整数LP在实际应用中“更实用”，但“计算密集”。他们记录了Optifood及类似工具的常见做法：求解连续LP，然后事后取整。这种GP+取整方法是我们在第6节 (https://arxiv.org/html/2605.13849#S6)中评估的基线。GP文献（连续、始终可行、软目标）与IP文献（整数、频繁不可行、硬约束）之间的空白激发了我们提出的公式：MIGP结合了两者的优势。

### 2.4. AI与机器学习方法

近期工作将AI/ML技术应用于膳食规划。Khamesian等人[13 (https://arxiv.org/html/2605.13849#bib.bib16)]使用大语言模型（NutriGen），Amiri等人[1 (https://arxiv.org/html/2605.13849#bib.bib17)]将强化学习与协同过滤相结合，van Wonderen等人[21 (https://arxiv.org/html/2605.13849#bib.bib15)]将食谱补全算法与膳食优化配对。这些方法擅长学习用户偏好并生成新颖的食物组合，但相对于数学规划存在两个共同局限：(1) 没有形式化的最优性保证——返回的膳食可能并未最小化与营养目标的偏差；(2) 没有约束满足的保证——营养或份量的硬约束可能被无声违犯。因此，MIGP与AI/ML是互补的：MIGP提供最优性、可行性和透明的权衡，而ML提供MIGP所不具备的能力。

### 2.5. 结构类比

MIGP公式属于更广泛的资源组合问题类别，其中输入资源的离散量必须逼近目标组合向量。**多维背包问题**[12 (https://arxiv.org/html/2605.13849#bib.bib20)]在多个维度上受容量约束选择整数数量。膳食MIGP具有相同的结构：在多个宏量营养素的软目标约束下选择整数份数。具体而言，选择每种化肥购买多少袋以逼近目标NPK（氮-磷-钾）比例，在结构上与选择份数计数以逼近宏量营养素目标完全相同。背包问题通常为NP难，但膳食规划中问题规模较小（8–25种食物），计算仍然可行。在**制造混合**（煤炭、茶叶、汽油、动物饲料）中，将原材料数量组合起来以达到目标成分。例如，混合整数箱的不同茶叶品种以达到目标咖啡因-单宁比例，类似于混合整数份的食物以达到目标蛋白质-碳水化合物比例。这是一个经典的GP应用[15 (https://arxiv.org/html/2605.13849#bib.bib4)]；当原材料以离散单位出现时，我们的公式增加了整数性。**带有基数约束的投资组合选择**[4 (https://arxiv.org/html/2605.13849#bib.bib21)]需要整数股数，并面临多目标目标（收益、风险）。其数学结构（满足软组合目标的离散资源整数数量）与膳食MIGP相同。偏差吸收在此同样适用：带有GP偏差变量的软收益和风险目标将缓冲整数股数带来的代价，就像在我们的公式中偏差变量缓冲整数份数的代价一样。我们整数性分析的一个关键洞察是，偏差吸收性质（第4.3节 (https://arxiv.org/html/2605.13849#S4.SS3)）并非膳食优化所特有。任何带有整数决策变量的GP公式都会表现出这种行为，这表明在所有上述领域中，GP语境下的整数性间隙在结构上小于硬约束MIP中的间隙。我们未发现任何先前工作对此现象进行过刻画。

### 2.6. 研究空白

Donkor等人[8 (https://arxiv.org/html/2605.13849#bib.bib8)]提供了最全面的近期综述，审查了56篇膳食优化论文，并按照数学方法进行分类。他们的分类法揭示，54/56篇论文使用标准单目标LP；Gerdessen和de Vries[10 (https://arxiv.org/html/2605.13849#bib.bib6)]使用GP但采用连续变量；Benvenuti等人[3 (https://arxiv.org/html/2605.13849#bib.bib7)]使用IP但采用二元变量和硬约束。没有一篇先前工作将整