eCNNTO：一种高度可泛化的卷积网络，用于加速拓扑优化

# eCNNTO：一种用于加速拓扑优化的高度泛化卷积神经网络  
来源：https://arxiv.org/html/2606.19921  

###### 摘要  

本文提出了一种基于单元的卷积神经网络（CNN），用于加速基于密度的拓扑优化（TO），并将其命名为 eCNNTO。TO 通常需要大量迭代，每次迭代中都要进行有限元分析，这构成了效率瓶颈，尤其是在采用密集网格以实现高分辨率设计时。为解决此问题，eCNNTO 在 Kallioras 等人（2020）的工作基础上进行构建；该工作为每个单元训练了一个深度信念网络（DBN），利用其早期历史预测近最优密度，从而跳过了绝大部分迭代，显著加速了 TO 过程。然而，该方法缺乏相邻单元间的空间相关性，可能导致最终结构中出现不连续的特征。本文提出的方法采用带有残差连接的 CNN 来解决这一问题。在此基础上，引入了一种新颖的训练策略，以进一步提升优化效率：训练数据集由最终阶段的密度历史而非早期历史构成。这一变化还有助于减少所需的训练数据量。eCNNTO 只需少量数据集即可训练，却能泛化到边界条件、载荷工况、设计域几何形状、网格分辨率以及非设计域存在较大差异的问题上。最后，通过多种二维和三维示例展示了 eCNNTO 的泛化能力和效率，其迭代次数分别减少高达 90% 和 97%。  

###### 关键词：强泛化、拓扑优化加速、CNN、小数据  

\\affiliation[1]organization=上海交通大学密西根学院（原文为 Global college，但根据上下文指交大密院，需确认；不过原文保留英文名？保留英文名），addressline=800 Dongchuan Road, city=Shanghai, postcode=200240, state=Shanghai, country=China  

## 1 引言  

拓扑优化（TO）是一种结构设计方法，它确定指定设计域内的最优材料分布，以在给定边界条件和约束下实现最佳结构性能。由于其设计灵活性高、能生成高性能结构，拓扑优化已广泛应用于航空航天工程（Mekki 等，2021）、生物工程（Xue 等，2020；Ahadi 等，2024）以及汽车设计（Zhang 等，2021；Su 等，2022）等领域。目前已发展出多种 TO 数值方法，例如：固体各向同性材料惩罚模型（SIMP）（Bendsøe, 1989；Andreassen 等，2011；Wang 等，2025）、进化结构优化（ESO）（Xie and Steven, 1993）、双向进化结构优化（BESO）（Xia 等，2018）、水平集方法（LSM）（Wang 等，2003）、移动可变形组件（MMC）（Guo 等，2014）以及基于相场的方法（Wang 等，2024；Sheng and Wei, 2025）。在这些方法中，SIMP 因其数学可处理性、实现简单性和实际鲁棒性而被广泛研究和采用。然而，SIMP 计算成本高昂，因为要实现高分辨率设计需要密集网格，而密集网格会因优化过程中反复进行有限元分析而显著增加计算代价。对于大规模问题，这一问题尤为突出（Aage 等，2017）。  

随着人工智能的快速发展，基于神经网络的方法越来越多地被探索用于加速拓扑优化。现有的基于学习方法可大致分为全局方法和局部方法。全局方法旨在从问题设定（例如边界条件和载荷工况）直接生成最终拓扑，本质上将此问题视为图像到图像的映射任务。早期工作由 Sosnovik 和 Oseledets（Sosnovik and Oseledets, 2019）开创，他们使用二维卷积神经网络（CNN），采用卷积编码器-解码器架构将中间密度及其梯度映射为最终结构。Nie 等人（2021）采用生成对抗网络（GAN），以载荷和边界条件为输入生成最终结构。Behzadi 和 Ilieş（2021）将网络替换为条件 GAN（cGAN），以提升对未见边界和外部载荷条件下的泛化能力。Qian 和 Ye（2021）并非直接生成优化结构，而是提出了一个用于前向分析和灵敏度分析的双网络代理，以加速优化过程。Xing 和 Tong（2023）引入了一种自主在线学习策略，利用已执行的 SIMP 迭代收集的数据实时训练神经网络，然后用训练好的代理替换常规灵敏度分析以加速优化。尽管这些方法可以显著减少优化时间，但它们通常需要大型数据集，并且鲁棒性有限（Woldseth 等，2022；Banga 等，2018；Sosnovik and Oseledets, 2019），输入条件的微小变化都可能导致结构不连续或违反物理约束。  

为了解决鲁棒性问题，几种神经网络被提出用于预测近最优初始设计，随后通过常规 SIMP 进行修正阶段。Padhi 等人（2024）提出了条件可逆神经网络，以少量 SIMP 迭代为输入预测近最优结构，可减少 40% 的迭代次数。Lim 等人（2024）提出了一种 CNN 来加速基于 SIMP 的优化，并生成高分辨率近最优结构。Joo 等人（2024）提出了一种基于动态图的神经网络，用于加速非结构化网格的拓扑优化收敛。尽管这些方法展现了效率，但训练数据集的制备成本高昂以及泛化能力有限，阻碍了这些全局方法的实际应用（Woldseth 等，2022）。  

相比之下，局部方法侧重于学习单元密度演化。由于结构变化在局部层面上遵循相对规则的模式，这些方法通常需要较少的训练样本，并展现出更好的泛化能力。Kallioras 等人（2020）提出了深度学习辅助拓扑优化（DLTOP），它利用单元密度的早期历史预测近最优密度，随后进行少量 SIMP 迭代以确保结构连通性和物理有效性。虽然 DLTOP 实现了显著的加速（迭代次数减少超过 50%），但它独立预测每个单元，忽略了相邻单元之间的空间相关性。这种空间上下文的缺失可能导致物理缺陷，例如角点接触和断开。为了解决这一问题，Joo 等人（2021）通过一个所谓的单元模块（大小为 64×64 个元素的补丁）利用卷积长短期记忆（ConvLSTM）网络整合时空信息。他们的训练策略依赖于在不同载荷条件下优化单元模块，这需要高昂的计算代价来准备训练数据集，并增加了模型复杂性。  

为了解决现有局部方法的局限性，本文提出的 eCNNTO 在 DLTOP（Kallioras 等，2020）的基础上构建，并提出了一种基于 CNN 的框架来加速基于 SIMP 的拓扑优化。CNN 被用来显式考虑相邻单元之间的空间相关性。它们天然适合此任务，因为其卷积运算恢复了结构的连续性假设以及 SIMP 中使用的过滤方案。通过利用空间相关性，eCNNTO 可以抑制缺陷特征的出现，例如孤立碎片、角点接触部分和中间密度区域。此外，还提出了一种新颖的训练策略：训练数据集使用最终阶段的单元密度，而非 DLTOP 中的早期阶段密度。这样，可以进一步加速，并减少所需训练数据的大小。此外，eCNNTO 表现出强大的泛化能力。它可以适应不同的边界条件、载荷工况、设计域几何形状、网格分辨率以及非设计域。  

本文的其余部分组织如下：第 2 节介绍了基于 SIMP 的拓扑优化。第 3 节详细介绍了 eCNNTO，包括网络架构、数据集构建和新的训练策略。第 4 节通过多种数值示例展示了 eCNNTO 的优势。最后，第 5 节得出结论并指出了未来研究方向。  

## 2 拓扑优化与深度学习辅助加速  

### 2.1 固体各向同性材料惩罚模型（SIMP）  

在典型的拓扑优化（TO）问题中，假设初始材料分布，然后通过某种基于梯度的优化方法进行迭代更新，该方法依赖于问题的状态。这种状态通过有限元分析（FEA）求解相应的控制方程得到。当满足某个收敛准则时，获得优化后的结构。固体各向同性材料惩罚模型（SIMP）已在 TO 中被广泛采用。它采用介于 0（表示空）和 1（纯材料）之间的连续密度来表示材料分布，其中中间值被惩罚向两个极端（即 0 和 1）。材料可能分布的指定区域称为设计域。它被离散化为网格，每个单元被赋予一个密度值 ρ_e ∈ [0,1]。SIMP 的核心是使用 ρ_e 重新缩放关键材料参数（例如杨氏模量 E_e）。具体而言，E_e 通过惩罚策略定义：  

E_e(ρ_e) = E_min + ρ_e^p (E_max - E_min),    (1)  

其中 E_max 是纯材料的杨氏模量，E_min 是为避免刚度矩阵奇异而设置的阈值杨氏模量，p 是惩罚因子（通常 p=3），用于惩罚中间密度的行为。  

本文以经典的最小柔顺性为模型问题来介绍所提出的方法。其数学表述如下：  

min_ρ: C(ρ) = U(ρ)^T K(ρ) U(ρ),   (2)  
s.t: K(ρ) U(ρ) = F,  
     V(ρ)/V_0 = V_f,  
     0 ≤ ρ_e ≤ 1, e = 1,...,N,  

其中 C 表示结构柔顺性，U、K 和 F 分别为全局位移向量、刚度矩阵和全局力向量，V(ρ) 为目标结构体积，V_0 为设计域体积，V_f 为预设的体积分数，N 为单元数量。注意 U、K 和 F 是应用 FEA 求解线弹性问题的结果。在公式 (2) 中，单元密度 ρ_e 是设计变量。它们的最终值决定了优化后的结构。  

优化过程通常初始化为对应于 V_f 的恒定密度场。给定当前 ρ_e，求解 K U = F 以获得问题的当前状态（即 U），从而可以计算柔顺性及其关于 ρ_e 的梯度。然后使用基于梯度的优化算法（例如最优准则法 OC（Sigmund, 2001; Bendsøe and Sigmund, 2004）和移动渐近线法 MMA（Svanberg, 1987））来求解约束优化问题。当满足停止准则时优化过程终止。例如，单元密度的最大变化达到给定阈值 ε：  

max_{e∈{1,...,N}} |Δρ_e| ≤ ε.   (3)  

基于 SIMP 的 TO 常遭遇数值不稳定性，例如棋盘格现象（Sigmund and Petersson, 1998），其中单元密度交替出现实体和空。已提出多种过滤方案来解决此问题，例如密度滤波（Sigmund, 2007）、灵敏度滤波（Sigmund and Maute, 2012）和偏微分方程（PDE）滤波（Kawamoto 等，2011）。本文使用流行的 MATLAB 代码（Andreassen 等，2011; Wang 等，2025）执行 SIMP 迭代，这些代码用于准备数据集并验证我们的方法。  

### 2.2 深度学习辅助拓扑优化（DLTOP）  

观察单个单元密度的演化（例如图 1），可以发现显著变化主要发生在优化早期阶段，而后期密度演化相对稳定。受此特征启发，提出了一种加速方法，名为深度学习辅助拓扑优化（DLTOP）（Kallioras 等，2020）。