基于功能流匹配的量子分布生成建模

# 基于函数流匹配的量子分布生成建模
Source: https://arxiv.org/html/2607.00301

###### 摘要

基于扩散和流匹配的强大深度生成模型的出现，使得复杂分布的学习与建模成为可能。然而，由于准确建模量子态有意义物理性质的固有难度，学习量子分布仍然具有挑战性。我们提出量子流匹配（Quantum Flow Matching, QFM），这是一种新颖的生成模型，旨在利用自旋Wigner函数和流匹配来学习量子分布。通过将密度矩阵转换为自旋Wigner函数，并利用函数流匹配在函数空间中学习分布，QFM能够准确有效地学习多量子比特量子分布。我们通过评估生成量子态的迹、纯度、纠缠熵等物理量，证明了我们方法的有效性，并准确捕捉了给定量子分布背后的物理。

机器学习, ICML

## 1 引言

尽管深度生成模型（如扩散模型 (Song et al., 2020 (https://arxiv.org/html/2607.00301#bib.bib8)); Ho et al., 2020 (https://arxiv.org/html/2607.00301#bib.bib9)）和流匹配 (Lipman et al., 2022 (https://arxiv.org/html/2607.00301#bib.bib5)）取得了前所未有的成功，但学习量子态的分布仍然是一项艰巨的任务。利用最先进的机器学习方法对量子态进行建模一直是一个有趣的研究方向 (Carrasquilla et al., 2019 (https://arxiv.org/html/2607.00301#bib.bib19); Carleo et al., 2019 (https://arxiv.org/html/2607.00301#bib.bib20)）。然而，直接应用现代生成模型来学习量子分布尚未成功，原因如下。首先，现有的扩散和流匹配方法仅专注于学习经典数据（如图像或经典PDE）的表示。这不足以满足需要与纯度、纠缠熵和物质量子相等重要物理量保持一致的应用。其次，复数值密度矩阵由于符号结构问题带来了重大挑战，使得先前的方法不适合处理它们 (Westerhout et al., 2020 (https://arxiv.org/html/2607.00301#bib.bib10); Dugan et al., 2023 (https://arxiv.org/html/2607.00301#bib.bib1)）。

参照图注
图1: QFM的整体流程。我们通过将量子态转换为自旋Wigner函数并学习其底层分布，避开了直接学习量子态。这种方法使我们能够有效生成物理上有效且准确的量子态，这是通过直接学习密度矩阵无法实现的。

为了应对这一挑战，我们提出量子流匹配（QFM），这是一种新颖的生成建模方法，利用流匹配有效学习量子态的分布。QFM的流程总结于图1 (https://arxiv.org/html/2607.00301#S1.F1)，可分为以下步骤。首先，我们使用自旋Wigner函数将量子态转换为信息完整的函数表示。其次，我们采用函数流匹配（FFM）在学习函数空间中学习自旋Wigner函数的分布。这使得我们能够生成准确反映底层量子分布的新的自旋Wigner函数。最后，从这些生成的自旋Wigner函数中重建出新的量子态。

我们的贡献总结如下：

- • 我们提出了QFM，这是一种开创性的量子分布生成模型，能够准确捕捉给定量子系统背后的物理。
- • 我们通过使用自旋Wigner函数绕过了直接的密度矩阵学习。利用FFM发挥了函数模型的分辨率不变性，从而能够从学习到的自旋Wigner函数中准确重建量子态。
- • 我们通过评估各种物理量（如迹、纯度和纠缠熵）证明，我们的方法有效学习了给定量子系统背后的物理。

## 2 基于流匹配的量子分布学习

### 2.1 从量子态到自旋Wigner函数

参照图注
图2: 两量子比特乘积态 $\rho_1, \rho_2$ (上) 和两量子比特最大纠缠态 $\sigma_1, \sigma_2$ (下) 的例子，分别以密度矩阵（左）和自旋Wigner函数（右）表示。对于自旋Wigner函数，显示了 $\theta_1$ 和 $\phi_1$ 上的参数化，$\theta_2$ 和 $\phi_2$ 分别固定为 $\pi$ 和 $\pi/2$。对乘积态，对 $|00\rangle$ 的两个量子比特应用了随机任意单量子比特旋转门 $U(\alpha, \beta, \gamma) = \exp(-i\alpha Z/2)\exp(-i\beta Y/2)\exp(-i\gamma Z/2)$；对最大纠缠态，对 $(|00\rangle + |11\rangle)/\sqrt{2}$ 的两个量子比特应用了相同旋转。与密度矩阵形式不同，乘积态和最大纠缠态在自旋Wigner函数表示中可以清晰区分。

使用深度生成模型学习量子态的分布需要这些量子态有效的经典表示。仅使用状态向量或密度矩阵表示来训练生成模型是不够的，因为它不能确保重要物理量被准确捕捉。

Wigner函数通过将量子密度矩阵映射到经典相空间中的准概率分布，有效解决了这些缺点 (Rundle et al., 2017 (https://arxiv.org/html/2607.00301#bib.bib4); Wigner, 1932 (https://arxiv.org/html/2607.00301#bib.bib2)）。然而，由于Wigner函数主要在连续变量和无限维希尔伯特空间（如量子光学和化学）中研究，其在机器学习中的应用在这些场景下仍受限制 (Dugan et al., 2023 (https://arxiv.org/html/2607.00301#bib.bib1)）。

在这项工作中，我们利用自旋Wigner函数，该函数能完整描述任意（包括有限）维度的量子系统 (Tilma et al., 2016 (https://arxiv.org/html/2607.00301#bib.bib3); Rundle et al., 2017 (https://arxiv.org/html/2607.00301#bib.bib4)）。这种方法使深度生成模型能够应用于一系列涉及有限维希尔伯特空间的有趣任务，例如生成具有特定量子相的量子自旋链的基态。

对于任意量子态 $\rho$，自旋Wigner函数由下式给出：
$W(\mathbf{\Omega}) = \mathrm{Tr}[\rho U(\mathbf{\Omega}) \Pi U^\dagger(\mathbf{\Omega})]$
其中 $U(\mathbf{\Omega})$ 和 $\Pi$ 分别类似于原始Wigner函数中的位移算子和宇称算子。通过适当选择厄米可观测量 $\Pi$、幺正矩阵 $U$ 和参数化 $\mathbf{\Omega}$，原始密度矩阵可以完全重建为：
$\rho = \mathrm{dim}(\rho) \int_{\mathbf{\Omega}} W(\mathbf{\Omega}) U(\mathbf{\Omega}) \Pi U^\dagger(\mathbf{\Omega}) d\mathbf{\Omega}$
其中 $\mathrm{dim}(\rho)$ 是 $\rho$ 的维度。

这里，$d\mathbf{\Omega}$ 的选择应使 $U(\mathbf{\Omega})$ 遵循 Haar 随机或幺正2-设计分布。具体来说，幺正2-设计（记为 $\mathcal{U}$）是一种幺正矩阵分布，其期望值在二阶矩上与 Haar 分布匹配。那么，重建中的积分项给出为：

$\int_{\mathbf{\Omega}} W(\mathbf{\Omega}) \Delta(\mathbf{\Omega}) d\mathbf{\Omega} = \mathbb{E}_{\mathcal{U}} \mathrm{Tr}_A[(\rho \otimes I_B) U^{\otimes 2} \Pi^{\otimes 2} U^{\dagger \otimes 2}]$
$= \mathrm{Tr}_A[(\rho \otimes I_B)(c_{\Pi, I} I + c_{\Pi, F} F)] = c_{\Pi, I} I_B + c_{\Pi, F} \rho,$

其中 $\Delta(\mathbf{\Omega}) \equiv U(\mathbf{\Omega}) \Pi U^\dagger(\mathbf{\Omega})$，对 $\mathcal{U}$ 的期望是关于 Haar 分布的。$I$ 和 $F$ 分别表示复合系统上的恒等算子和交换算子，常数计算为 $c_{\Pi, I} = 0$ 和 $c_{\Pi, F} = 1/\mathrm{dim}(\rho)$ (Mele, 2024 (https://arxiv.org/html/2607.00301#bib.bib11)）。因此，我们可以完全重建原始密度矩阵 $\rho$。

为了将这一点推广到 $N$ 个量子比特，$U(\mathbf{\Omega})$ 和 $\Pi$ 的选择具有灵活性。在整个工作中，我们遵循 Rundle et al. (2017 (https://arxiv.org/html/2607.00301#bib.bib4)) 的惯例，其中 $\Pi_N$ 是一个 $2^N \times 2^N$ 的对角矩阵，第一个元素为 $2^{-N}[1+(2^N-1)\sqrt{2^N+1}]$，其余元素为 $2^{-N}[1-\sqrt{2^N+1}]$。这一选择与之前 $c_{\Pi, I}$ 和 $c_{\Pi, F}$ 的计算一致。幺正算子和参数化推广为：
$U_N(\boldsymbol{\Omega}) = \bigotimes_{j=1}^{N} e^{i\theta_j Z_j} e^{i\phi_j Y_j}$，
其中 $\boldsymbol{\Omega} \equiv (\vec{\theta}, \vec{\phi})$，$Z_j$ ($Y_j$) 表示第 $j$ 个量子比特上的 Pauli $Z$ ($Y$) 算子。

具体来说，我们通过以下近似从自旋Wigner函数重建 $N$ 量子比特密度矩阵 $\rho$：

$\rho = \mathrm{dim}(\rho) \mathbb{E}_{\mathcal{U}}[W(\mathbf{\Omega}) \Delta(\mathbf{\Omega})]$
$= \mathrm{dim}(\rho) \int_{\bigotimes^N S^2} W(\mathbf{\Omega}) \Delta(\mathbf{\Omega}) \prod_{i=1}^N \sin \phi_i \, d\theta_1 d\phi_1 \cdots d\theta_N d\phi_N$
$\simeq \pi^N \cdot \mathop{\mathbb{E}}_{\substack{\theta_i \sim U[0,2\pi] \\ \phi_i \sim U[0,\pi]}} \left[ W(\mathbf{\Omega}) \Delta(\mathbf{\Omega}) \prod_{i=1}^N \sin \phi_i \right].$

使用这种方法，我们可以用 $2N$ 个参数的函数构建 $N$ 量子比特密度矩阵的信息完整表示。图2 (https://arxiv.org/html/2607.00301#S2.F2) 展示了自旋Wigner表示中的两量子比特乘积态和最大纠缠态。

### 2.2 函数流匹配

流匹配（FM）是一种连续归一化流，通过学习指定动力学的向量场 $u_t$ 或流 $\phi_t$ 来建模积分。这可以用常微分方程描述：
$\frac{d}{dt} \phi_t(W_t) = u_t(\phi_t(W_t))$，
其中 $W_t$ 是时间 $t \in [0,1]$ 时的自旋Wigner函数。Lipman et al. (2022 (https://arxiv.org/html/2607.00301#bib.bib5)) 提出了条件流匹配目标（CFM），用于学习与目标概率密度路径 $p_t(W_t)$ 对应的边缘向量场 $u_t(W_t)$，已知该方法比扩散模型更加稳定和鲁棒 (Ho et al., 2020 (https://arxiv.org/html/2607.00301#bib.bib9); Song et al., 2020 (https://arxiv.org/html/2607.00301#bib.bib8)）。CFM 目标由下式给出：

$\mathcal{L}_{\text{CFM}} = \mathbb{E}_{t \sim U(0,1), W_t \sim p_t(W_t)} \| v_t(W_t) - u_t(W_t|W_1) \|^2,$

其中 $v_t(W)$ 是一个可训练的神经网络。

为了学习自旋Wigner函数的分布，我们利用函数流匹配（FFM），这是 FM 的函数版本 (Kerrigan et al., 2023 (https://arxiv.org/html/2607.00301#bib.bib6))，推广到函数空间，并使用傅里叶神经算子实现 (Li et al., 2020 (https://arxiv.org/html/2607.00301#bib.bib7))。它具有函数模型的分辨率不变特性，我们在将生成的自旋Wigner函数重建回量子态时利用了这一点。

## 3 实验

单量子比特：迹、纯度。我们首先演示使用 QFM 生成单量子比特密度矩阵。我们的目标是生成具有指定纯度 $\alpha = \mathrm{Tr}[\rho^2]$ 的量子态，其中 $\rho$ 表示量子态的密度矩阵。此外，我们还检查生成数据的迹，以确保其满足单位迹约束。

我们使用一个合成数据集进行实验，该数据集包含7000个纯态 ($\alpha = 1$) 和混合态 ($\alpha \in \{0.625, 0.905\}$)。单量子比特量子态可以表示为 $(I + \mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\sigma})/2$，其中 $\mathbf{n}$ 和 $\boldsymbol{\sigma}$ 分别是布洛赫矢量和泡利矢量。纯度 $\alpha$ 的数据集通过从均匀分布中采样 $\mathbf{n}$ 并施加约束 $\|\mathbf{n}\|_2 = \sqrt{2\alpha - 1}$ 来制备。

表1: QFM与直接学习FM在单量子比特上的定量比较。$\alpha$, $\mathrm{Tr}[\rho]$ 和 $\mathrm{Tr}[\rho^2]$ 分别表示训练数据集的纯度、生成量子态迹的平均值以及生成量子态纯度的平均值。

表2: QFM与直接学习FM在多量子比特上的定量比较。$S$, $\mathrm{Tr}[\rho]$ 和 $S(\rho_A)$ 分别表示训练数据集的纠缠熵、生成量子态迹的平均值以及生成量子态纠缠熵的平均值。

多量子比特：迹、纠缠熵。我们进一步展示了QFM在多量子比特场景中的能力。具体来说，我们专注于生成具有目标纠缠熵 $S = -\mathrm{Tr}[\rho_A \log \rho_A]$ 的2量子比特量子态，其中 $\rho_A$ 是约化密度矩阵。我们准备了一个包含900个具有固定纠缠熵 $S=0.7$ 的量子态的合成数据集。这是通过初始化纠缠熵为0.7的两量子比特量子态，然后应用随机任意单量子比特旋转来实现的。

表1 (https://arxiv.org/html/2607.00301#S3.T1) 和表2 (https://arxiv.org/html/2607.00301#S3.T2) 展示了QFM与使用密度矩阵直接学习FM之间的比较分析。与直接学习FM相比，QFM有效捕捉了数据集的物理量。这通过在目标纯度值（表1 (https://arxiv.org/html/2607.00301#S3.T1)）和纠缠熵（表2 (https://arxiv.org/html/2607.00301#S3.T2)）上更好的性能得以证明。

## 4 未来工作

一个潜在的未来方向是将该方法扩展到更大的多量子比特系统，例如生成真正的多方纠缠态 (Goyeneche and Życzkowski, 2014 (https://arxiv.org/html/2607.00301#bib.bib12)）以及具有特定量子相的通用簇哈密顿量的基态 (Caro et al., 2022 (https://arxiv.org/html/2607.00301#bib.bib13)）。