该悲伤，还是不该悲伤？

# 该哀悼，还是不该哀悼？ 来源：https://xenaproject.wordpress.com/2026/10/01/to-grieve-or-not-to-grieve/ 数学领域的 AI 近期发生的一系列事件，已经以无可辩驳的方式向我们表明：该领域正经历一场剧烈的转型，其程度是我们前所未见的。语言模型正在解决人类无法解决的难题，而数学家们对这一消息的反应却截然不同。我个人对我们领域的未来感到极其兴奋。但越来越清楚的是，我的观点并非整个社群所共有：事实上，我的许多同行似乎感到很不安。所以，让我先概述一下我对他们立场的理解。 ## AI 悲观主义者 Elisabeth Kübler-Ross 关于哀悼过程的模型如今已广为人知：五个阶段分别是否认、愤怒、讨价还价、抑郁和接纳。其中前四个阶段目前在数学社群中都有相当程度的体现，这或许也佐证了这样的说法——许多数学家正在为他们眼中某种心爱之物的丧失而哀悼。不过，也有些数学家的观点属于以下几类，他们很可能会强烈辩称，自己所感受到的根本不是哀悼。我们并非人人都在哀悼，但我们中的许多人都处于哀悼的某个阶段。 ## 否认 人类数学协会（Association for Human Mathematics，https://www.hahmath.org/）在其官网上鲜明地宣称，其目标是保护数学作为一项人类事业，抵御它所谓的"人工智能的威胁"。会员承诺不发表 AI 生成的成果，并且有一个"无 AI"（AI-free）选项，完全放弃在研究中使用 AI，并承诺完全不借助这些工具去寻找证明、探索例子。通过与该协会成员交谈，我的理解是，加入该协会的动机多种多样，从对 AI 正在对数学做什么的深切担忧，到对 AI 正在对地球、或可能对人类做什么的深切担忧，不一而足。该协会的一位重要成员是菲尔兹奖得主 Peter Scholze，他在最近海德堡拉格朗日论坛关于 AI 与数学的专题讨论上表示，他不会使用 AI，而且他"会为这个立场死守不退，成为一个死守不退的公众人物"。你可以在这里（https://youtu.be/H7_d_sgui6o?si=GZ-clgnZAVnuq72F&t=4570）聆听他的理由。 ## 愤怒 proofs and prompts 网站（https://proofsandprompts.com/）上刊登的观点纷繁多样，而要找到一些愤怒的作者并不困难。一个显著的例子是 Vlad Lazic 的帖子（https://proofsandprompts.com/2026/09/24/rulers-of-the-childless-land-a-response-to-the-agmai/）。Lazic 在这里（https://www.uni-saarland.de/lehrstuhl/lazic/prof-dr-vladimir-lazic/vladimir-lazic-where-i-stand-on-ai.html）更详细地阐述了他的观点，该页面上还有若干链接，指向其他持有类似感受的数学家所写的文章。 ## 讨价还价 数学与人工智能咨询组（Advisory Group on Mathematics and Artificial Intelligence，https://agmai.org/）是一个由资深数学家（包括三位菲尔兹奖得主）组成的独立委员会。本周二，针对 OpenAI 据称"掌握着大量重大数学成果，据称由其内部模型产出"这一消息，他们发布了建议（https://agmai.org/general-sep29/）。建议第一段中的一句话写道：该小组"不认可这种做法，我们要求[前沿 AI 实验室]停止在专有模型上测试高等数学问题"。他们接着要求这些实验室"负责任地"公布成果，并提出了实验室未来可以考虑的各种行动方向，例如"提供支持，包括资金支持，以促进人类对其所发布的 AI 数学成果的理解"。稍后我会再回来讨论这些"重大成果"，以及"人类的理解"这个说法。 ## 抑郁 如果你是数学家，那么你几乎可以肯定至少认识一个正处于这种状态的人。我认识的一位从事流体动力学研究的教师告诉我，Navier–Stokes 那条新闻"让人极度沮丧"。我认识的一位博士后告诉我，鉴于数学研究即将变成的样子，他们正在考虑离开。我认识的一位博士生告诉我，他们在研究中卡在一个引理上，而 ChatGPT 一次性就解决了，这让他们开始怀疑这一切到底有什么意义。 ## 插曲：人类为什么做数学 我首先应该说清楚，上面这份清单绝不是要批评其中的任何一种立场；我希望我对每一种都做了公允的呈现。我高度重视其意见的几个人都出现在了上面的清单中，最近我一直在努力倾听我那些或许正在哀悼的朋友和同行们所担忧的是什么。但事实依然是，我每天早上醒来，都对自己领域的未来感到兴奋。在我解释原因之前，让我们先来讨论一下那个颇具争议的问题：我们为什么要研究数学。 ## Thurston 的数学观 AI 如今能够证明困难的定理，这很快让人类开始讨论：人类究竟为什么要做数学。我想，在几年前，许多数学家大概会欣然同意这样的说法——数学社群把我们最大的奖项授予那些证明了最难定理的人。然而，现在 AI 正在证明困难的定理，我们似乎花了大量时间去解释：事实上，我们把这些奖项授予的，是那些其思想为我们提供了对该领域最深刻理解的人。同样值得注意的是，*就目前而言*，那些最深奥的 AI 生成的数学证明，通常都附带一份写得很糟糕的 PDF，或者干脆没有任何 PDF，或许还有一个用 Lean 完成的端到端形式化——它对证明的正确性给出了超人类的信心，却几乎无法让我们了解这些想法来自哪里，甚至哪些是新想法。这里我仍然要援引 Scholze，他在（https://www.youtube.com/watch?v=H7_d_sgui6o&t=1602s）指出：Elkies–Klagsbrun 构造出的有理数域上秩为 29 的椭圆曲线附带了几何解释，而新的秩 30 和秩 31 的椭圆曲线却只有一些方程，除此之外什么都没有。"我们其实什么也没有*学到*。" 为"我们这个领域不在于定理的计数，而在于人类的理解"这一框架辩护时最常被引用的依据，是 Thurston 1994 年的论文《论证明与数学中的进展》（On proof and progress in mathematics），事实上 Tao 的博客现在就把这篇论文中的一句话作为页首的引言。可以想见，这种对数学之"意义"的框定在社交媒体上遇到了一些冷嘲热讽，甚至有人声称数学家是在绝望中移动球门柱，以求苟延残喘。然而这种嘲讽其实并无道理；几十年来，甚至更久，该领域的专家都非常清楚：获奖的成果不仅给了我们一块可以加到堆积上的新定理，还在上面添了一大勺新的理解。举一个我自己领域内的例子：Wiles–Taylor–Wiles 对费马大定理的证明，一方面解决了一个愚蠢的、关于正整数的、存在了 350 年的小谜题（而且毫无应用价值），另一方面又对 Langlands 纲领给出了真正深刻的新洞见，其影响在 30 年后的今天仍在持续（想看这一说法的大量佐证，可以参见 Frank Calegari 在 2022 年 ICM 上的报告（https://arxiv.org/abs/2109.14145））。 ## 其他的数学观 但 Thurston 的观点并非唯一的一种。我这周重读了 Hardy 的《一个数学家的辩白》（A Mathematician's Apology，https://archive.org/details/AMathematiciansApology-G.h.Hardy）。我第一次尝试读它还是本科的时候，那时它给我的印象是极其自命不凡、并且充满性别歧视；我知道 1940 年的世界与今天不同，但当时我甚至没能读完就放弃了。这一次我读完了，我对 Hardy 观点的理解是：它与 Thurston 的观点截然不同。Hardy 研究数学，是因为他把它视为艺术（所以大概他会因为与许多艺术家愤怒于 AI 做艺术相同的理由，而对 AI 做数学感到愤怒）。他对那些"解释"数学的人极尽讥讽（可以看看书的第一段），并且坦率地告诉我们，他证明定理的主要动机之一，是为了死后能被人们记住。这是一种与 Thurston 截然不同的观点，也与我自己的观点截然不同。 接下来让我讨论一下，为什么推广 Thurston 的数学观（目前我们许多人都在这么做）最终可能会给我们的社群带来反效果。AI 已经解决了一个千禧年问题，这向我们展示了 AI 在数学中*处在*什么位置。但我相信，社群中的许多人仍然严重低估了 AI *前进*的速度，或许只是因为他们刚开始关注这件事。如果我们用"理解"来论证数学作为一个值得研究的学科继续存在的必要性，那么一年之后，当 AI 不仅能证明定理、还能相当出色地向人类解释这些定理时，我们又能退到哪里去？ 我记得第一次读 Thurston 那篇论文时的情形，它给我的感觉与我个人做数学的动机相当不一致。我最近被诊断出自闭症（我的少数几个朋友都觉得这很搞笑，毕竟他们几十年前就看出来了），我常想这是否是我持有自己立场的原因之一。Thurston 那篇论文是对更早之前 Jaffe 和 Quinn 一篇文章的回应，他们认为，一个数学思想只有被严格的证明锚定在大地上，才真正成立或有用，并批评了一些作者（包括 Thurston）有了重要的洞见却不肯花时间把细节完整写下来。我自己的领域（Langlands 纲领）里充斥着各种"专家都懂"却没有任何公开发表文献的说法，正是这种情况让我对这个领域感到幻灭，最终完全退出了由好奇心驱动的研究，转而投身于数学形式化。你骗不了 Lean；这一点很早就学会了。Lean 不接受诉诸权威的证明，也不接受靠吓唬人的证明；它的运作方式不是那样的。和 Lean 打交道让我感到安心。 ## "理解"数学 1990 年代初，我师从 Richard Taylor 读博士，很快就明白：我论文中要尝试证明的那个定理，依赖于 Deligne 构造的把 Galois 表示与模形式联系起来的做法。我向 Taylor 建议，在继续之前先读一遍 Deligne 的证明，他立刻否决了这个想法，指出我的资助只有三年，而在当时的职业阶段，我根本没有足够的时间去掌握所有相关文献。我至今也没有抽出时间去读 Deligne 的构造，没有去读对 Wiles 的工作至关重要的 Langlands–Tunnell 定理的证明，也没有去读我在论文及后续工作中需要的许多其他内容。那么，我"理解"我自己的工作吗？"人类对数学的理解"这个说法，我们究竟*意指*什么？ 我认为，尽管数学家们如今开始认同数学完全关乎人类的理解，但我并不完全确信他们会就"理解高等数学意味着什么"达成一致。当然，我们都清楚这在本科层面意味着什么；我们教过这些课程，也仔细检查过每一个细节。对于我讲授过的每一门本科代数课程，我都能把内容解释到底——一直追溯到集合论的公理，也能追溯到类型论的公理。我对这些材料的理解是发自骨髓的。 但是，考虑到我今年早些时候就这个主题做了 22 小时的讲座（https://github.com/ImperialCollegeLondon/FLT/tree/main/2026_EPSRC_TCC_course），我"理解"费马大定理的证明吗？我知道 Langlands–Tunnell 对 Wiles 的工作至关重要，但对于其中的细节，我知之甚少。如果在形式化的过程中发现了其中存在一个错误呢？对于一个*错误*的数学，能谈得上"理解"吗？对于一个不完整的数学呢？我*个人*不能，而且我个人很乐意不去理解某些东西。我做这件事，图的是定理的数量。与 Thurston 形成鲜明对比的是，我认为理解是一个有些模糊的概念，而被正确证明的定理总数则是我们可以度量的东西。我很清楚，在这个问题上我大概属于少数派。但无论如何，我还是想把这些观点分享出来。 我个人呼吁 OpenAI 直接把他们的定理集合倾倒给全世界，好让我们看看他们究竟宣称做出了什么。整理工作可以留到以后，它也确实会到来（不过如果是 OpenAI 资助的话，肯定会来得更早）；除了 Navier–Stokes 之外，在每一个案例中我们都看到了人类对 AI 生成的数学进行逆向工程，而 Navier–Stokes 以及 OpenAI 目前仍秘而不宣的那些新定理也不会有什么不同：如果人类想要理解，我们就会理解。而现在，人类很可能正把时间花在试图证明那些早已被一家科技公司证明过的定理上。这里面的逻辑在哪里？这些人类有权知道已知的东西。我签署了这封公开信（https://sites.google.com/view/release-the-proofs/home），敦促 OpenAI 公开他们的数据，因为我认为，在我们所面临的局面下，这是最优的做法。如果你也认同，请你也签署。当然，科技公司本可以让我们的生活更轻松。但正在发生的事情，与审查无异。 ## 一个 AI 乐观主义者 现在让我来解释一下为什么我是一个乐观主义者。时间会检验我的观点能经受多久。 我在 2020 年发表于《AMS Notices》的一篇文章（https://www.ams.org/journals/notices/202011/rnoti-p1791.pdf）中提出过这样一个问题："如果一个人能同时掌握现代纯数学的全部理解，他能立即看多远？"六年后，我们开始理解这个问题的答案。机器已经消化了互联网上的数学，并能够以一种连贯的方式操纵这些数据。Erdős 单位距离问题的反证之所以出现，是因为碰巧有某台机器同时是离散几何和类域论领域的专家；这样的双料专家在人类身上很少见。如今机器正在回答一些问题，人们完全可以相信，如果再给人类几年时间、并且人类处在合适的群体中，他们同样也能回答这些问题。只是这一切发生得快了太多。 上面我对"数学完全关乎理解"这一说法表达了某种怀疑——无论是这个说法本身，还是把它化约为这个说法所带来的风险。就"数学究竟关乎什么"这一问题，我个人的回答是：它关乎证明定理（问题求解）、发展工具（理论建构）以及看清下一步往哪里走（猜想的提出）。 目前我们已经看到了大量证据，表明计算机擅长问题求解，但在理论建构或猜想提出这两方面的能力上，证据则少得多。这给当今的机器能走多远设下了一个硬性的限制。时间会告诉我们，明天的机器在这些能力上会好多少，进步肯定会有，但我们还没有看到任何决定性的东西。在成本等外部压力变得过于……