复数单位根笔记

Eli Bendersky 2026/10/18 01:18 论文

roots-of-unity complex-numbers mathematics geometry group-theory visualization

摘要

一篇关于复数单位根的教学笔记，从实数开方出发，介绍用极坐标计算 n 次单位根、其在单位圆上的旋转几何意义，以及与正多边形和群论的联系，并配有可交互的可视化图示。

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# 复数单位根笔记来源: https://eli.thegreenplace.net/2026/notes-on-the-complex-roots-of-unity 数学最奇妙的方面之一在于，通过研究看似平凡的问题，我们可以探索得如此深入。考虑单位根，其中"单位"指的就是数字 1。 ## 基础：实数的单位根单位根的学习通常始于初中：1 的平方根是多少？等价地，这个方程的解是什么？答案有两个：1 和 -1。类似地，我们可以对更高次根提出同样的问题；三次根是以下方程的解：依此类推。当我们只处理实数时，基本就是这些了。对于 1 的奇数次根，唯一的答案是 1；对于 1 的偶数次根，答案是 1 或 -1。当我们把定义域扩展到复数时，事情变得有趣得多。 ## 基础：复数的单位根根据[形式定义](https://en.wikipedia.org/wiki/Root_of_unity)，单位根是任何在正整数次幂下得到 1 的复数。与其研究*所有*可能的 1 的根，更有用的做法是讨论给定 $n$ 的根：满足 $z^n = 1$ 的复数。例如，考虑 $n=2$。我们已经看到根是 1 和 -1；这些是虚部为零的复数。那么 $n=4$ 呢？有四个根：1、-1 和 $\pm i$。对于 $n=3$，三个根[^1]是 1、$-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$ 和 $-\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$。验证它们的三次方确实等于 1 并不难，但我们最初是如何计算出它们的呢？ ## 用极坐标计算复数根模为 1 的复数可以用极坐标[^2]表示为 $e^{i\theta}$。如果我们将其升到 $n$ 次幂，得到： $e^{i\theta}$ 的模仍然是 1，这对于它成为 $n$ 次单位根至关重要。让我们令其等于 1：要找到这个方程的解，我们首先需要将 1 本身用极坐标表示。让我们用另一个变量表示角度： $\phi$ 的值是什么？从单位圆的角度思考，$\phi$ 是 $\pi$ 的任意整数倍——我们将它表示为 $2\pi k$，其中 $k$ 为整数：回到原式：或者：因此，$n$ 次单位根是[^3]： ## 一些基本例子让我们从 $n=4$ 开始。我们得到以下根：对于 $n=3$：如预期的那样。计算 $n=6$ 的根应该同样简单；试试看吧。 ## 单位根与单位圆上的旋转当我们将某个单位根与自身相乘时会发生什么？由于根的模为 1，乘以它类似于沿单位圆按该根的角度进行*旋转*。例如，考虑三次单位根中的 $\omega = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$：将 $\omega$ 自乘：如果 $\omega$ 的角度是 $\theta$，那么 $\omega^2$ 的角度是 $2\theta$。让我们再乘一次：结果是 1，正如预期的那样（毕竟 $\omega$ 是三次单位根）。这个可视化展示了单位根在单位圆上的位置，以及将它们升幂如何旋转直到最终等于 1： $n$ 次单位根均匀分布在单位圆上。使用下方的根选择器。根的数量 $n$ 根的编号 $k$ 所选根的各次幂。使用下方的幂滑块。幂 $m$ 先选择 $n$，这会以蓝点的形式显示 $n$ 次单位根。然后你可以点击任意根，在下方图表中查看它的各次幂——拖动滑块可以观察旋转。如果你花些时间玩一玩，你会发现某些根——例如当 $n$ 为偶数时——在小于 $n$ 的幂次下就回到了 1。我们在讨论单位根的群论性质时会再回顾这一结果。 ## 几何：单位根与正多边形正如我们所见，单位根在复平面的单位圆上均匀分布。如果我们将相邻的根用直线连接起来，会发现一些有趣的事情：相邻的 $n$ 次单位根连接形成单位圆上的正多边形。根的数量 $n$ 对于不同的 $n$，我们得到的是[正多边形](https://en.wikipedia.org/wiki/Regular_polygon)！如果将每个根与原点用直线相连，证明起来就相当容易。我们得到的三角形是全等的，因为从原点到各根的边长都是 1，而圆心角都是 $\frac{2\pi}{n}$。因此，多边形的边长和角度都相同，这就是正多边形。 ## 单位根的共轭假设我们有单位根：其中 $\omega = \frac{2\pi k}{n}$，$k$ 为整数。如果我们取 $\omega$ 的倒数：那么：所以 $\overline{\omega}$ 也是一个 $n$ 次单位根。当 $\omega$ 的各次幂在单位圆上逆时针旋转直到第 $k$ 次幂到达 1 时，$\overline{\omega}$ 的各次幂则同样*顺时针*旋转。 $\overline{\omega}$ 恰好也是 $\omega$ 的复共轭：所以如果我们有：作为 $n$ 次单位根，那么：同样是 $n$ 次单位根。事实上，它们是相同的根，因为对于任意给定的正整数 $m$：所以枚举共轭根就等同于以相反顺序枚举单位根本身。 ## 群论：单位根的循环群让我们看看某个 $n$ 的集合 $\{1, \omega, \omega^2, \dots, \omega^{n-1}\}$（单位根）：这个集合——连同乘法运算——构成一个*群*。让我们来证明。 **封闭性：**假设 $\omega^a, \omega^b$ 在群中（即 $0 \leq a, b < n$）。那么：因此 $\omega^{a+b \bmod n}$ 也在群中。 **单位元：**数字 1 在群中，因此它可以作为群的单位元。 **结合律：**直接来自复数乘法运算的结合律。 **逆元：**我们在共轭那一节中已经看到，当 $\omega$ 是 $n$ 次单位根时，$\overline{\omega}$ 也是 $n$ 次单位根。所以逆元存在且属于这个群。由于我们这里的运算就是复数乘法，我们可以轻松推导出额外的性质，比如交换律。因此这个群是*阿贝尔群*。最后，我们可以证明这个群也是*循环群*并讨论它的*生成元*。为了简化记号，让我们记 $\omega = e^{i\frac{2\pi}{n}}$。这样群可以表示为：这显然表明群是循环的——它的所有元素都可以表示为 $\omega$ 的整数次幂。$\omega$ 是群的一个生成元。但有趣的是，$\omega$ 不是这个群唯一的生成元。只要 $k$ 和 $n$ 互质，任何 $\omega^k$ 都可以是生成元。例如，考虑群：显然，$\omega$ 是这个群的生成元。但 $\omega^2$ 不是！如果我们把它升到各次幂，得到：由于 $n=6$，$\omega^2$ 的幂仅在三步之后就重复了，所以它们只到达了六个群元素中的三个。但如果 $k$ 和 $n$ 互质，$\omega^k$ 就是生成元；在 $n=6$ 的情况下，我们可以容易地验证 $\omega$ 和 $\omega^5$ 是仅有的生成元。作为群的生成元的根也被称为*本原单位根*。让我们考虑 $n$ 次单位根 $\omega_k = e^{i\frac{2\pi k}{n}}$（$k = 0, 1, \dots, n-1$），如上所述记为：所有这些根的和是多少？这是一个首项为 1、公比为 $\omega$ 的等比数列的和。因此：如果你仔细观察上面展示的可视化——从几何上来说这是合理的。所有单位根均匀分布在单位圆上，所以将它们视为向量时，所有分量相互抵消。那么将根升到某个整数次幂 $m$ 后的和呢？让我们对 $m \neq 0$ 试试（假设 $0 < m < n$）：使用同样的等比数列求和公式（此时 $q = \omega^m$），我们得到：一般情况下，当 $m$ 不被 $n$ 整除时，和为 0。但当 $m$ *能*被 $n$ 整除时，每个幂变为：而这些的和是 $n$。总结： ## 单位根的幂作为正交基让我们将单位根的幂视为向量。我们继续使用记号：我们从 0 次幂向量开始——每个根的 0 次幂：然后是 1 次幂——就是根本身：每个根的 2 次幂：依此类推，直到 $n-1$ 次幂：完全进入线性代数模式，我们将这些向量收集到一个 $n \times n$ 矩阵中：让我们计算矩阵两行的内积。回忆一下，当在 $\mathbb{C}$ 上计算向量的内积时，我们对第二个元素取共轭：但是等等，我们刚刚在上一节中计算了这个完全相同的和。我们得到：由于向量索引 $j$ 和 $k$ 只在 $0$ 到 $n-1$ 之间取值，这等价于：也就是说：当 $j \neq k$ 时，向量 $v_j$ 和 $v_k$ 互相正交。由于我们在 $\mathbb{C}^n$ 中有一组正交向量，这些向量构成 $\mathbb{C}^n$ 的一个*基*——该空间中的任何向量都可以表示为 $v_0, v_1, \dots, v_{n-1}$ 的线性组合。这个事实对数学和工程有深远的影响，因为它在构成 DFT（离散傅里叶变换）中起着关键作用，也被称为*傅里叶矩阵*。但这将是另一篇文章的主题了。在结束之前还有一件有趣的事情值得注意：矩阵 $V$ 恰好是*对称的*（通过观察可以轻松验证）。因此，它的列也是互相正交的。 --- [^1]: 一般来说——计重数——恰好有 $n$ 个复数根。这是因为我们本质上是在求多项式 $z^n - 1 = 0$ 的解，根据[代数基本定理](https://en.wikipedia.org/wiki/Fundamental_theorem_of_algebra)，该多项式有 $n$ 个复数解。 [^2]: 关于复数不同表示形式之间转换的一些说明，请参阅我的关于[欧拉公式](https://eli.thegreenplace.net/2024/notes-on-the-euler-formula/)的文章。 [^3]: 当 $k \geq n$ 时，$\omega_k = e^{i\frac{2\pi(k-n)}{n}} = \omega_{k-n}$，这与 $\omega_{k \bmod n}$ 相同。在单位圆上，一旦完成一个完整周期，根就开始重复；因此只有 $0 \leq k < n$ 范围内的根才是唯一的。

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