概率签名反演：从截断签名学习条件分布

# 概率签名反演：从截断签名学习条件分布
来源：https://arxiv.org/html/2606.15332
Junoh Kang1Kiseop Lee2Bohyung Han1,3 1ECE &3IPAI, 首尔大学2统计学系, 普渡大学 junoh\.kang@snu\.ac\.krkiseop@purdue\.edubhhan@snu\.ac\.kr

###### 摘要

签名变换是连续时间路径的一种有原则的特征映射，因其唯一性和普遍性而受到重视。然而，从截断签名中恢复路径在结构上是不适定的，因为截断签名映射并非单射。因此，我们将截断签名反演重新构建为一个概率问题——学习给定截断签名条件下路径的条件分布——并采用签名条件流匹配模型作为实用的估计器。这一概率公式阐明了反演的基本困难：贝叶斯重建误差量化了在条件依赖于一个统计量后仍然存在的不可约不确定性。我们在线性统计量下推导了贝叶斯最优误差，为对数几何布朗运动（log-GBM）得到了闭式解，为对数分数布朗运动（log-fBM）和奥恩斯坦-乌伦贝克过程（OU）得到了数值上可处理的公式，从而为模型验证提供了具体的理论基准。该基准给出了截断签名条件下贝叶斯误差的上界，因为截断签名比线性统计量提供了更丰富的信息。实验表明，在线性统计量条件下的经验重建误差与理论推导的基准紧密吻合，而当统计量替换为截断签名时，误差减小。此外，生成的路径忠实地恢复了条件签名，同时保留了关键的分布和时间结构，表明该估计器对目标条件分布具有良好的校准性。这些结果共同为截断签名反演建立了一个良态的概率框架，并在理论涵盖的参数过程族之外的真实金融数据上展示了适用性。

## 1 引言

签名变换将连续时间路径表示为其迭代积分的一个无穷序列 (Lyons et al., 2007 (https://arxiv.org/html/2606.15332#bib.bib12); Chevyrev and Kormilitzin, 2016 (https://arxiv.org/html/2606.15332#bib.bib13))。这种表示由于两个基本性质而特别强大：唯一性，即全签名能够将路径识别到树状等价 (Hambly and Lyons, 2010 (https://arxiv.org/html/2606.15332#bib.bib3); Boedihardjo et al., 2016 (https://arxiv.org/html/2606.15332#bib.bib4))；以及普遍性，即任何连续路径泛函都可以通过签名的线性泛函逼近 (Chevyrev and Kormilitzin, 2016 (https://arxiv.org/html/2606.15332#bib.bib13))。因此，签名已在时间序列分析 (Gyurkó et al., 2013 (https://arxiv.org/html/2606.15332#bib.bib15); Guo et al., 2025 (https://arxiv.org/html/2606.15332#bib.bib14)) 以及最近的生成建模 (Ni et al., 2021 (https://arxiv.org/html/2606.15332#bib.bib19); Liao et al., 2024 (https://arxiv.org/html/2606.15332#bib.bib20)) 中确立了自己作为有用表示的地位。

参见图注参见图注参见图注\(a\) log-fBM \(H=0.7\)\(b\) S&P 500

图 1: 合成 log-fBM 和 S&P 500 示例上的概率签名反演。细蓝线表示来自我们签名条件采样器的样本，其中一条绘制为粗蓝线；确定性基准各返回一条路径。

具体来说，唯一性自然地激发了签名反演问题。虽然理论结果确立了在粗糙路径设定下可以从全签名唯一恢复一条路径 (Geng, 2017 (https://arxiv.org/html/2606.15332#bib.bib2))，但这种重建在实践中不可行，因为它需要访问无穷序列的迭代积分。实用的反演方法必须依赖于截断签名，采用诸如基于对称化的反演 (Lyons and Xu, 2018 (https://arxiv.org/html/2606.15332#bib.bib1))、插入法 (Chang and Lyons, 2019 (https://arxiv.org/html/2606.15332#bib.bib7); Fermanian et al., 2024 (https://arxiv.org/html/2606.15332#bib.bib8)) 或基函数恢复 (Barancikova et al., 2025 (https://arxiv.org/html/2606.15332#bib.bib21)) 等技术。尽管算法多样，这些方法主要采用点重建观点，旨在返回一条具有代表性的路径。

然而，这种确定性点重建未能解决有限截断引起的非单射性。虽然全签名能将路径识别到树状等价，但对于任何有限深度 \(r\)，截断签名映射 \(X \mapsto S^{\leq r}(X)\) 本质上是多对一的。因此，一个截断签名指定了整个一族兼容路径，而不是唯一的逆。为了解决这种结构模糊性，我们将截断签名反演重新构建为学习给定签名条件下路径的先验诱导条件分布的任务。我们通过生成建模来估计这个条件分布，使用签名条件流匹配模型。

为了量化有限深度截断引起的模糊性，我们分析了贝叶斯重建误差，它衡量了在条件依赖于可用信息后仍然存在的不可约不确定性。作为一个易于处理的基准，我们针对一组线性统计量——特别是路径端点和时间矩——推导了此误差。对于高斯过程族，该基准为 log-GBM 提供了闭式解，为 log-fBM 和 OU 提供了数值上可处理的公式，从而为模型验证提供了具体的理论基准。关键地，由于线性统计量比截断签名更粗糙，它们相关的贝叶斯误差为截断签名条件下的贝叶斯最优误差提供了可计算的上界。

我们在三个标准随机过程族上评估了这一公式，这些过程族被选为代表时间序列建模中的互补结构：log-GBM 代表典型布朗扩散，log-fBM 代表长记忆行为，OU 代表均值回复。在这些族中，线性统计量条件下的经验误差与理论贝叶斯重建误差紧密匹配，而更丰富签名条件下的经验误差通常遵循预测的 \(\sigma\)-代数层次。图 1 (https://arxiv.org/html/2606.15332#S1.F1) 展示了我们的概率反演框架：蓝色轨迹在一个合成 log-fBM 轨迹和一个 S&P 500 窗口周围形成了合理的路径集合。参数估计和路径级诊断进一步表明，生成的样本保留了底层分布和时间结构。

更广泛地说，概率签名反演扩展了签名作为路径表示的实际用途，暗示了下游应用，例如探究签名坐标如何影响路径行为，以及为金融时间序列生成签名条件的情景。总之，本研究的主要贡献如下：

- • 我们将截断签名反演重新表述为概率签名反演。由于截断破坏了单射性，我们将目标定义为条件分布而非单一路径，并使用签名条件流匹配来估计该分布。
- • 我们定义了贝叶斯重建误差，作为有限深度签名截断引起的不可约不确定性。对于高斯过程，我们推导了一个易于处理的线性统计量基准——为 log-GBM 提供了闭式解，为 log-fBM 和 OU 提供了数值解——该基准为更丰富签名条件下的贝叶斯最优误差提供了上界。
- • 我们实证验证了所提出的框架：线性统计量误差与理论基准匹配，更丰富的签名条件紧密遵循预测的层次结构，对合成过程和真实 S&P 500 数据的诊断显示生成的样本保留了分布和时间结构。

## 2 相关工作

### 2.1 签名反演

从签名中恢复路径的逆问题已从理论和算法两个角度进行了研究。理论工作路线证明在若干路径类别的适当假设下可以进行重建，包括布朗运动 (Le Jan and Qian, 2013 (https://arxiv.org/html/2606.15332#bib.bib5))、高斯过程 (Boedihardjo and Geng, 2015 (https://arxiv.org/html/2606.15332#bib.bib6)) 和确定性粗糙路径 (Geng, 2017 (https://arxiv.org/html/2606.15332#bib.bib2))。然而，这些结果依赖于完整无穷维签名，限制了其直接实用。

显式重建过程使用截断签名在结构限制下产生算法路径近似。例如，Lyons and Xu (2018 (https://arxiv.org/html/2606.15332#bib.bib1)) 为 \(C^1\) 路径构建了稳定的近似，而插入法 (Chang and Lyons, 2019 (https://arxiv.org/html/2606.15332#bib.bib7); Fermanian et al., 2024 (https://arxiv.org/html/2606.15332#bib.bib8)) 通过迭代插入点来重建分段线性路径。Barancikova et al. (2025 (https://arxiv.org/html/2606.15332#bib.bib21)) 施加了不同的结构限制，通过估计预定有限基（如傅里叶或多项式基）中的系数来恢复信号。另一条路线寻求其签名特征近似匹配目标的路径，使用优化或进化搜索 (Kidger et al., 2019 (https://arxiv.org/html/2606.15332#bib.bib16); Bühler et al., 2024 (https://arxiv.org/html/2606.15332#bib.bib23))。这些方法最终返回一条单一的重建路径。相比之下，我们的公式在底层路径分布下对截断引起的模糊性进行建模，产生一个关于兼容路径的条件分布，而不是唯一的逆。

### 2.2 时间序列生成

最近的神经时间序列生成器包括基于对抗的 (Yoon et al., 2019 (https://arxiv.org/html/2606.15332#bib.bib29))、自回归的 (Rasul et al., 2021 (https://arxiv.org/html/2606.15332#bib.bib30)) 和基于扩散的模型 (Tashiro et al., 2021 (https://arxiv.org/html/2606.15332#bib.bib31); Yuan and Qiao, 2024 (https://arxiv.org/html/2606.15332#bib.bib32); Tanaka et al., 2025 (https://arxiv.org/html/2606.15332#bib.bib33))。然而，它们的条件机制服务于不同的目标：预测和插补模型 (Rasul et al., 2021 (https://arxiv.org/html/2606.15332#bib.bib30); Tashiro et al., 2021 (https://arxiv.org/html/2606.15332#bib.bib31)) 通常条件依赖于部分观测，而 CoFinDiff (Tanaka et al., 2025 (https://arxiv.org/html/2606.15332#bib.bib33)) 针对的是总体层面摘要，如趋势和波动率。相比之下，我们专注于从单个路径特定统计量进行反演。请注意，由于这些条件作用和任务目标上的根本差异，与基于预测或总体摘要的生成器进行直接实证比较并不直接。

签名也已用于时间序列生成，但其作用与我们的不同。一系列工作利用签名作为分布匹配的度量，要么通过签名空间中的对抗判别 (Ni et al., 2021 (https://arxiv.org/html/2606.15332#bib.bib19); Liao et al., 2024 (https://arxiv.org/html/2606.15332#bib.bib20))，要么通过使用路径分布之间的核 MMD 目标 (Lu and Sester, 2025 (https://arxiv.org/html/2606.15332#bib.bib22))。第二系列研究侧重于直接在 (对数) 签名空间内生成样本，随后通过单独的反演步骤恢复路径 (Barancikova et al., 2025 (https://arxiv.org/html/2606.15332#bib.bib21))。相比之下，我们将签名用作条件信息，而不是训练目标或要生成的目标表示。

## 3 预备知识

### 3.1 路径的签名

###### 定义 1 (签名)。

设所有多重指标集合为 \(\mathcal{W}:= \bigcup_{k=0}^{\infty} \{1,\ldots,d\}^k\)。对于连续有界变差路径 \(X:[0,T]\to\mathbb{R}^d\) 和一个多重指标 \(I=(i_1,\ldots,i_k)\in\mathcal{W}\)，对应的迭代积分为

\[
S(X)^I_{0,T}:= \int_{0<t_1<\cdots<t_k<T} dX^{i_1}_{t_1}\cdots dX^{i_k}_{t_k}.
\]
(1)
\(X\) 在 \([0,T]\) 上的签名是所有迭代积分的集合，即 \(S(X)_{0,T}= \bigl(S(X)^I_{0,T}\bigr)_{I\in\mathcal{W}}\)。

###### 定理 1 (树状等价)。

令 \(X,Y:[0,T]\to\mathbb{R}^d\) 为连续有界变差路径。则 \(S(X)_{0,T}=S(Y)_{0,T}\) 当且仅当 \(X\) 和 \(Y\) 在树状等价意义下相等。

非正式地说，两条路径是树状等价的，如果它们仅通过自我回溯因此相互抵消的片段相区别。关于这个经典唯一性结果，参见 Hambly and Lyons (2010 (https://arxiv.org/html/2606.15332#bib.bib3))。

###### 定义 2 (观测的签名)。

设 \(X:[0,T]\to\mathbb{R}^d\) 是一条在时刻 \(0=t_0<\cdots<t_n=T\) 观测到的连续路径。观测值的分段线性插值 \(X^{\mathrm{lin}}:[0,T]\to\mathbb{R}^d\) 定义为对于 \(t\in[t_i,t_{i+1}]\) 和 \(i=0,\ldots,n-1\)，有 \(X^{\mathrm{lin}}_t:=X_{t_i}+ \frac{t-t_i}{t_{i+1}-t_i}(X_{t_{i+1}}-X_{t_i})\)。则根据观测值，\(X\) 的签名定义为 \(S(X)_{0,T}:=S(X^{\mathrm{lin}})_{0,T}\)。

在整篇论文中，我们假设路径从原点开始 (\(X_0=0\))；这不影响签名，因为签名在平移下不变。根据上下文，\(S(X)_{0,T}\) 要么表示定义 1 (https://arxiv.org/html/2606.15332#Thmdefinition1) 中的路径级签名，要么表示通过定义 2 (https://arxiv.org/html/2606.15332#Thmdefinition2) 中的分段线性插值计算得到的观测数据签名。

###### 定义 3 (截断签名)。

对于 \(r\in\mathbb{N}\)，\(X\) 在级别 \(r\) 的截断签名通过保留长度 \(\|I\|\leq r\) 的项获得：
\[
S(X)^{\leq r}_{0,T}:= \bigl(S(X)^I_{0,T}\bigr)_{\|I\|\leq r}.
\]

对于有限的 \(r\)，截断签名映射 \(X\mapsto S(X)_{0,T}^{\leq r}\) 通常不是单射的。

### 3.2 增广

与其直接从原始观测值计算签名，通常会对数据进行增广以捕获更丰富的路径结构。两种常见技术包括时间增广和时间超前-滞后增广。

###### 定义 4 (时间增广)。

设 \(X\) 在时刻 \(0=t_0<\cdots<t_n=T\) 被观测到。这些观测值的时间增广是一个对序列：

\[
\mathrm{TA}(X):=\bigl((t_0,X_{t_0}),(t_1,X_{t_1}),\ldots,(t_n,X_{t_n})\bigr).
\]
(2)

时间增广编码了路径的参数化，并将全签名的树状等价强化为精确等价 (Levin et al., 2013 (https://arxiv.org/html/2606.15332#bib.bib10); Morrill et al., 2020