基于增强图神经常微分方程与外源控制的非定常翼型气动力时空预测

# 使用带外生控制的增广图神经常微分方程进行非定常翼型空气动力学的时空预测
来源：https://arxiv.org/html/2607.18309
\[orcid=0009\-0002\-9295\-7346, linkedin=henrik\-lange\-867625211\]\\cormark\[1\]\\credit概念构建、方法设计、软件开发、验证、形式分析、研究、数据整理、写作（初稿）、写作（审阅与编辑）、可视化

\\credit

概念构建、写作（审阅与编辑）、监督、项目管理

\[orcid=0009\-0001\-9888\-2499\]\\credit概念构建、资源、写作（审阅与编辑）、监督、项目管理、资金获取

1\]组织=德国航空航天中心 (DLR)，地址=Lilienthalpl. 7，邮编=38108，城市=布伦瑞克，邮编分隔符=，国家=德国

2\]组织=空中客车运营，地址=Airbus Allee 1，邮编=28199，城市=不来梅，邮编分隔符=，国家=德国

\\cortext

\[1\]通讯作者

Reik Thormann [email protected] Philipp Bekemeyer [email protected]\[\[

###### 摘要

非定常空气动力学现象，例如阵风、湍流和流固耦合作用，会在飞行过程中影响飞机。对于设计、优化和认证而言，量化此类非定常空气动力学效应是必不可少的。工业标准的计算流体动力学方法，例如求解非定常雷诺平均纳维-斯托克斯方程或线性化频域方法，要么计算成本高昂，要么受限于线性等假设。机器学习方法一旦经过训练，就能非常快速地计算非线性关系，因此适合用作代理模型。通过自回归地应用在离散空间域上操作的图神经网络，可以进行时空预测。然而，自回归图神经网络存在误差累积问题，导致随时间的展开不稳定。在此，我们展示了将图神经网络与增广神经常微分方程相结合，可以在俯仰翼型上产生时间稳定的表面力预测。我们发现，我们的方法称为GNODE，基于图神经常微分方程，在时间上更稳定，空间上更平滑，并且总体上比自回归图神经网络基线提供更准确的结果。测试在一个包含俯仰翼型模拟的数据集上进行，包括跨音速激波、瞬态行为和动态非线性。通过捕获潜在的历史效应，用额外的潜在维度增广GNODE可以提高表达能力和准确性。所开发的方法展示了一种适用于建模具有外生输入的非线性时空系统的方法。

###### 关键词：

代理模型 \\sep 非定常空气动力学 \\sep 图神经网络 \\sep 神经常微分方程 \\sep 深度学习 \\sep 时空建模

\{亮点\}

基于图的连续时间GNODE框架预测了非定常跨音速翼型空气动力学。

增广有助于捕获历史效应并减少空气动力学相位滞后。

该模型在准确性和稳定性方面优于时间离散的自回归基线。

## 1. 引言

飞机的设计、优化和分析依赖于计算流体动力学来计算各种飞行条件下的流场解。准确预测包括激波等间断在内的跨音速流现象，对于在商用飞机上的应用是强制性的。虽然许多场景可以通过稳态模拟充分分析，但气动弹性、稳定性和阵风载荷分析必须考虑时间精确的流场解\[easa2023certification\]。然而，使用工业标准的高保真求解器（求解非定常雷诺平均纳维-斯托克斯方程）来解析时间精确的空气动力学现象，会带来严重的计算负担。如果将这样的时间精确流场求解器与结构求解器迭代耦合以分析气动弹性行为，这个问题会更加突出。虽然在单个流动条件下可以进行此类模拟，但需要大量时间精确CFD模拟的场景（例如优化）由于其计算成本而不可行。因此，开发更快但准确的方法是有意义的。

为了实现这种加速，降阶建模领域提供了各种方法，并且一直是空气动力学和气动弹性研究的一个活跃领域。在频域中求解线性化流动方程将计算成本比URANS降低一个数量级以上\[thormann2013linear\]。然而，这种方法仅适用于小扰动。除了简化控制方程的LFD之外，之前还研究了一大类数据驱动方法。在这些方法中，基于插值的本征正交分解被广泛用于基于流场的主导空间模态构建低维子空间\[weiss2019tutorial,bui2003proper\]，之后可以利用该子空间进行高效的潜在空间插值。类似地，动态模态分解使用从流场快照中提取的时空相干特征的独特频率和增长率来近似流场\[schmid2010dynamic,kutz2016dynamic\]。此外，系统辨识方法，例如特征系统实现算法，从输入-输出数据构建离散时间线性状态空间模型\[brunton2014state\]。为了考虑弱非线性效应，Volterra级数展开使用非线性核来近似空气动力学响应\[silva1993application\]。稀疏识别非线性动力学算法提供了另一种低维方法，它使用从候选库中选择的一组稀疏非线性函数来描述时空系统\[brunton2016discovering\]。然而，将SINDy扩展到高维、非结构化的流体域仍然是一个挑战。

尽管进行了广泛的建模努力，这些传统的ROM仍然局限于动态线性或弱非线性行为。然而，许多未来的飞机设计预计将包含诸如柔性高展弦比机翼等概念，这些概念预计会受到动态非线性行为（如具有强烈激波运动的极限环振荡）的严重影响\[stickan2018explanation\]。此外，这种构型被认为更容易受到大幅值阵风的影响，这些阵风也包含动态非线性\[friedewald2025gust\]。由于传统ROM的局限性，计算昂贵的URANS模拟是准确捕获这些动态非线性效应的最先进技术。为了填补这一技术空白，将机器学习方法应用于流体动力学是一个活跃的研究领域\[brunton2020machine\]。神经网络是这些机器学习模型的主要构建块。作为通用函数逼近器\[hornik1989multilayer\]，它们为高度非线性的问题提供了理论基础。此类模型可用于预测标量值，例如积分空气动力学量，如升力、阻力或俯仰力矩。尽管这对于许多应用来说是足够的，但在这项工作中，我们对分布量感兴趣，即流场。最基本地，可以逐点应用全连接神经网络来预测场\[sabater2022fast\]。然而，FCNN没有考虑任何空间关系。为了克服这一点，卷积神经网络在笛卡尔结构化的空间域上应用空间限制\[bhatnagar2019prediction\]。然而，在具有非结构化离散化的空气动力学应用中，CNN不能直接应用。图神经网络通过将空间域定义为图并沿着该结构执行计算来克服这一限制\[battaglia2018relational\]。最近的进展显示不同类型的GNN在预测稳态空气动力学方面取得了良好结果\[bronstein2017geometric,hines2023graph,hines2026prediction,harsch2021direct\]。此外，神经算子是一种竞争性的最先进方法，它在连续空间域而不是离散点上近似流场\[serrano2023operator,serrano2023infinity,catalani2024neural\]。

为了将机器学习方法从稳态推进到非定常空气动力学问题，必须特别注意时间维度。因此，有针对时间序列数据的方法可用，例如循环神经网络及其特定变体，如门控循环单元或长短期记忆网络\[cho2014learning,hochreiter1997long\]。虽然此类模型用于预测标量值，但流场的高维性常常使其不适合\[zahn2021application,pan2024improved,ribeiro2023unsteady\]。最近，基于注意力的方法\[vaswani2017attention\]取代了传统的RNN，因为它们可以并行处理并捕获非常长期的依赖关系。然而，该机制的二次复杂度可能导致高内存使用。各种工作将上述时间模型应用于潜在空间，使用降维方法如POD或自编码器\[lecun2015deep\]。这些混合模型能够在考虑多个模型组件的情况下进行时空预测\[han2022predicting,massegur2024recurrent\]。除了混合方法之外，GNN可以通过以自回归方式应用于时空问题\[sanchez2020learning,pfaff2020learning\]。虽然这种方法通过图结构具有很强的捕获空间依赖性的能力，但时间演化是简单的，并且遭受自回归误差累积。为了克服这一点，神经常微分方程将神经网络与更复杂的时间方案相结合\[chen2018neural\]。添加增广维度提高了神经常微分方程的表达能力\[dupont2019augmented\]。将GNN与神经常微分方程相结合产生了一个具有连续时间维度和离散空间维度的时空模型\[poli2019graph\]。在\[colombo2025data\]中，这种方法用于预测气动弹性力。然而，将其扩展到动态外生输入下的完整非定常流场仍未探索。

这项工作开发了一个模型，该模型结合了GNN来捕获空间依赖性，采用神经常微分方程方法处理时间维度，并且可以处理外生输入。生成的模型在一个数据集上进行测试，该数据集由经历强制俯仰运动的二维翼型的非定常模拟组成。还讨论了与自回归GNN的比较。据作者所知，这项工作为当前的研究现状增加了以下贡献：

- • 为非定常空气动力学制定了一个连续时间几何深度学习框架：图神经常微分方程，结合了图神经网络和神经常微分方程，被引入以建模受动态外生控制输入影响的时空空气动力学场的连续时间演化。
- • 针对离散时间基线的基准测试：GNODE框架与最先进的离散时间自回归图网络模拟器基线进行了系统评估，在高度非线性的跨音速飞行条件下展示了优越的稳定性和激波捕获能力。
- • 状态增广分析：进行了一项消融研究来隔离潜在维度的作用，证明状态空间增广增强了框架的表达能力，并减少了预测与参考数据之间的相位滞后。

本文的其余部分结构如下：第2节通过首先在一个高、通用层面上概述具有外生输入的时空建模任务，随后是强制运动下翼型非定常空气动力学建模的具体任务描述，形式化了本工作的问题描述。随后，在第3节中讨论了提出的框架：采用自回归GNN作为基线方法。基于神经常微分方程，解释了图神经常微分方程。所有方法都使用在第4节中介绍的高保真数据集进行比较，该数据集由进行正弦运动的翼型的URANS模拟组成。在第5节中，使用几个度量和可视化评估和比较了离散时间自回归GNS和连续时间GNODE框架。执行了关于增广的消融研究。最后，第6节概述了本工作的发现，陈述了提出框架的局限性，并提出了未来的研究方向。

## 2. 问题描述

本文研究了进行规定运动的翼型的非定常空气动力学。为了建立严格的基础，该问题首先被形式化为一个具有外生输入的时空动力学系统。时空动力学描述同时在时间域T⊆R和空间域Ω⊆R^d_{spatial}上演化的系统。系统在时间t∈[0,T]和空间位置x∈Ω处的状态记为y(x,t)。在任何固定时间t，全空间状态记为Y_t = Y(·,t)，它位于定义在Ω上的函数空间V中。在自治系统中，演化仅由内部物理机制控制。因此，时间t的状态由初始条件Y_0唯一确定：

Y_t = S_autonomous(Y_0, t)，(1)其中S_autonomous是自治演化算子。然而，本工作关注的是受时变外生输入（强迫项）u(x,t)影响的非自治系统。时间t的空间分布输入记为U_t = U(·,t)，属于输入函数空间U。在此类系统中，状态Y_t取决于初始条件和直到时间t的外生输入历史，记为U_[0,t] = {U_τ | 0 ≤ τ ≤ t}。演化表示为：

Y_t = S_non-autonomous(Y_0, U_[0,t], t)，(2)其中S_non-autonomous是非自治演化算子。本工作的抽象目标是识别一个由参数θ参数化的可学习代理模型M_θ，它近似S_non-autonomous，并将初始状态和外生输入轨迹映射到产生的状态Y_t。

围绕进行规定运动的翼型的非定常流场构成了非自治系统抽象描述的一个特例。在此