扩散校正的自回归傅里叶神经算子用于液滴演化预测

# 扩散校正的自回归傅里叶神经算子用于液滴演化预测
来源：https://arxiv.org/html/2607.16238
Jinghao Caoa, Minsung Kangb, Hongyue Sunb, Chi Zhouc, Jihoon Chungd, Xubo Yuee, Sanchoy Dasaand Bo Shena a新泽西理工学院，美国；b佐治亚大学，美国； c布法罗大学，美国；d汉阳大学，韩国；e东北大学，美国

###### 摘要

预测材料喷射（即喷墨打印 IJP）中的液滴演化对于保持打印质量至关重要。然而，由于误差累积和过程变量的复杂耦合，长时间跨度的预测仍然具有挑战性。在这项工作中，我们提出了**扩散校正的自回归傅里叶神经算子**（DiffARFNO），这是一个两阶段框架，结合了自回归傅里叶-MIONet 和条件去噪扩散隐式模型（DDIM）校正器。傅里叶-MIONet 被训练为粗预测器，并以自回归方式部署用于长时间跨度预测。在第二阶段，基于 DDIM 的条件校正器通过高效的迭代去噪在每个滑动窗口内细化粗预测。通过将傅里叶-MIONet 的粗预测与恢复精细细节的 DDIM 校正器相结合，DiffARFNO 旨在为长时间跨度预测提供高保真度的预测。在来自 ANSYS Fluent 的液滴数据集上的大量实验表明，DiffARFNO 显著优于现有的最先进模型。

关键词：喷墨打印；增材制造；深度学习；神经算子；扩散模型。

## 1 引言

喷墨打印（IJP）在增材制造（AM）中占据独特的地位，作为一种非接触式、数字化、体素级的沉积工艺，能够实现精细的空间分辨率、多材料图案化和可扩展的区域覆盖。与挤出或光聚合不同，喷墨打印在可编程驱动下喷射皮升级液滴，能够以最少的工具和废料快速制造功能结构（如导体、介电材料、生物材料）和复杂陶瓷组件（Calvert, 2001 (https://arxiv.org/html/2607.16238#bib.bib1); Derby, 2010 (https://arxiv.org/html/2607.16238#bib.bib5); Ngo et al., 2018 (https://arxiv.org/html/2607.16238#bib.bib12)）。这些优势使喷墨打印成为印刷电子、光学、生物制造和陶瓷领域的关键 AM 路线。然而，同样的液滴级沉积机制也带来了重大的建模和控制挑战。IJP 受高度瞬态、非线性和多尺度自由表面动力学控制（Eggers, 1997 (https://arxiv.org/html/2607.16238#bib.bib38); Dong et al., 2006 (https://arxiv.org/html/2607.16238#bib.bib33)）。关键的流体特性，包括粘度、密度和表面张力，强烈影响喷射稳定性、液丝变薄、脱离、卫星液滴形成以及湿碰湿相互作用（Jang et al., 2009 (https://arxiv.org/html/2607.16238#bib.bib56)）。这些耦合动力学的微小变化可能导致不稳定的喷射、不希望出现的卫星液滴或材料放置不准确，从而直接影响打印分辨率和可靠性（Sen et al., 2021 (https://arxiv.org/html/2607.16238#bib.bib37)）。

准确表征这些复杂的液滴动力学仍然具有挑战性，因为相关的形态事件发生在微米级的空间特征和微秒级的时间窗口内（Lohse, 2022 (https://arxiv.org/html/2607.16238#bib.bib29)）。研究人员通常依赖两个主要数据来源：实验观测和数值模拟。高速摄影结合精密显微光学为捕捉微秒级液滴现象提供了实验真值观测。然而，生成此类数据仍然成本高昂。以微秒时间分辨率解析微米级液滴动力学需要超高速相机和精密显微光学设备，这带来了巨大的设备和实验设置成本（Derby, 2010 (https://arxiv.org/html/2607.16238#bib.bib5); Castrejon-Pita et al., 2013 (https://arxiv.org/html/2607.16238#bib.bib6)）。因此，计算流体动力学（CFD）已成为一个主要的替代方案，能够获取光学镜头无法触及的内部流动物理信息（Hirt and Nichols, 1981 (https://arxiv.org/html/2607.16238#bib.bib25); Basaran et al., 2013 (https://arxiv.org/html/2607.16238#bib.bib20)）。然而，这些经典求解器面临自身的计算成本瓶颈。使用流体体积法（VOF）来解析薄液丝和卫星液滴的高保真仿真极其耗时（Jiang et al., 2021 (https://arxiv.org/html/2607.16238#bib.bib7)）。

为了解决 CFD 的计算瓶颈，研究人员越来越多地转向机器学习模型，作为液滴仿真和喷墨过程分析的更快替代方案。现有的用于分类和回归的机器学习模型已被开发出来，以支持特定任务的喷墨过程分析。Ogunsanya 等人 (2021 (https://arxiv.org/html/2607.16238#bib.bib18)) 开发了一种反向传播神经网络（BPNN）液滴模式分类器，用于原位液滴识别。Li 等人 (2023a (https://arxiv.org/html/2607.16238#bib.bib24)) 提出了一种多类强化主动学习（MCRAL）框架，用于识别液滴演化的脱离行为。基于卷积神经网络（CNN）的监控方法也已被引入用于过程监控（Zhang et al., 2024 (https://arxiv.org/html/2607.16238#bib.bib17)）。最近，时间序列深度神经网络已被开发用于增材制造中的多步过程状态预测和实时决策（Tang et al., 2025 (https://arxiv.org/html/2607.16238#bib.bib19)）。然而，它们并非设计用于预测液滴的演化。其他研究探索了数据驱动的液滴演化预测，包括生物打印的预测建模、无监督的液滴演化学习以及材料喷射的张量时间序列分析（Wu and Xu, 2018 (https://arxiv.org/html/2607.16238#bib.bib11); Huang et al., 2020 (https://arxiv.org/html/2607.16238#bib.bib4); Segura et al., 2023 (https://arxiv.org/html/2607.16238#bib.bib21)）。这些研究难以实现高保真度的长时间跨度液滴演化预测。具体而言，本文旨在解决以下问题：给定一个初始的短序列液滴演化（例如 50 帧）和材料属性（例如密度、粘度和表面张力），我们的目标是预测不同状态下（包括液丝变薄、脱离动力学和卫星液滴形成）的整个未来液滴演化（例如 550 帧）。

神经算子为解决这个问题提供了合适的基础，因为它们学习函数空间之间的解映射，并支持高效的自回归展开（Li et al., 2020 (https://arxiv.org/html/2607.16238#bib.bib60); Kovachki et al., 2023 (https://arxiv.org/html/2607.16238#bib.bib50)）。然而，自回归神经算子的一个局限是，在长时间跨度下，它们的预测会逐渐模糊高频结构（McCabe et al., 2023 (https://arxiv.org/html/2607.16238#bib.bib57)）。需要一种校正机制，能够恢复高频结构，同时保持粗算子展开的效率。扩散模型可以作为校正器，有效恢复神经算子在自回归展开过程中丢失的高频细节（Saharia et al., 2022 (https://arxiv.org/html/2607.16238#bib.bib53); Ho et al., 2022 (https://arxiv.org/html/2607.16238#bib.bib43); Wang et al., 2023b (https://arxiv.org/html/2607.16238#bib.bib31)）。然而，将扩散模型应用于长时间跨度的液滴演化预测可能计算成本高昂，因为需要重复的逆向去噪步骤（Ho et al., 2020 (https://arxiv.org/html/2607.16238#bib.bib13); Song et al., 2020a (https://arxiv.org/html/2607.16238#bib.bib40)）。这表明了一种将粗预测与精细细节校正解耦的策略。一个自然的综合方案是将一个产生稳定粗展开的快速神经算子与一个轻量级的扩散校正器配对，该校正器用于细化高频结构并校正累积误差。来自不同领域的新兴证据表明，这种混合方法可以减轻平滑效应，以适度的计算成本提高长时间跨度稳定性，同时减少自回归展开中的误差累积，并能够恢复高频精细尺度结构（Oommen et al., 2025 (https://arxiv.org/html/2607.16238#bib.bib39); Dong et al., 2025 (https://arxiv.org/html/2607.16238#bib.bib34)）。

我们提出**扩散校正的自回归傅里叶神经算子**（DiffARFNO），这是一个两阶段框架，结合了自回归傅里叶-MIONet（Jiang et al., 2024 (https://arxiv.org/html/2607.16238#bib.bib3)）与条件去噪扩散隐式模型（DDIM, Song et al., 2020a (https://arxiv.org/html/2607.16238#bib.bib40)）校正器。在第一阶段，傅里叶-MIONet 被训练并部署为用于自回归展开的粗预测模型。在第二阶段，基于 DDIM 的条件校正器通过高效的迭代去噪在每个滑动窗口内校正粗预测。通过将傅里叶-MIONet 粗预测与提供精细细节的基于 DDIM 的校正器配对，DiffARFNO 旨在提供高保真度的预测。我们的贡献总结如下：

- • 我们将喷墨液滴演化表述为一个长时间跨度预测问题：给定液滴演化的初始序列（例如在我们的设置中为 50 帧）和材料属性，任务是预测不同动力学下整个未来的液滴演化序列。
- • 我们提出了一个名为 DiffARFNO 的两阶段框架。它结合了一个用于高效粗液滴演化预测的自回归傅里叶-MIONet 与一个提供精细细节的 DDIM 校正器。我们还引入了一种基于二进制掩码的训练损失，进一步提高了多个评估指标上的预测精度。
- • 我们在三个代表性的液滴演化状态上评估了所提出的方法：液丝变薄、脱离动力学和卫星液滴形成。与基于 FNO 的基准相比，DiffARFNO 实现了更低的平均绝对误差（MAE）和均方误差（MSE），更高的 R^2，以及更优的交并比（IoU）、峰值信噪比（PSNR）和结构相似性指数度量（SSIM），在像素级液滴重建和速度预测方面均显示出更高的准确性。

本文组织如下。第 2 节 (https://arxiv.org/html/2607.16238#S2) 提供了我们提出模型的主要组成部分的理论背景。第 3 节 (https://arxiv.org/html/2607.16238#S3) 详细介绍了所提出的方法。第 4 节 (https://arxiv.org/html/2607.16238#S4) 描述了来自 CFD 仿真的液滴数据集。第 5 节 (https://arxiv.org/html/2607.16238#S5) 报告了所提出的 DiffARFNO 的定量和定性结果。最后，第 6 节 (https://arxiv.org/html/2607.16238#S6) 总结全文并概述未来研究方向。

## 2 文献综述

### 2.1 喷墨液滴动力学与建模挑战

材料喷射（MJ），特别是 IJP，是增材制造中一种非接触式、数字控制的体素级沉积技术（Calvert, 2001 (https://arxiv.org/html/2607.16238#bib.bib1); Ngo et al., 2018 (https://arxiv.org/html/2607.16238#bib.bib12); Li et al., 2021 (https://arxiv.org/html/2607.16238#bib.bib79); Yuan et al., 2022 (https://arxiv.org/html/2607.16238#bib.bib80)）。通过选择性地将皮升级液态材料喷射到基板上，IJP 能够实现精细的空间分辨率、多材料图案化和可扩展的区域覆盖，使其成为制造印刷电子、光学、生物芯片和复杂陶瓷组件的重要路线（Derby, 2010 (https://arxiv.org/html/2607.16238#bib.bib5)）。

尽管有这些优势，喷墨打印零件的精度和功能完整性对喷射液滴的形态演化高度敏感（Segura et al., 2021 (https://arxiv.org/html/2607.16238#bib.bib68)）。液滴的形成、轨迹、稳定性和破碎受驱动波形、喷嘴背压以及材料属性（如密度、粘度和表面张力）之间复杂的多物理场相互作用控制（Derby, 2010 (https://arxiv.org/html/2607.16238#bib.bib5); Liu and Derby, 2019 (https://arxiv.org/html/2607.16238#bib.bib63); Xu et al., 2017 (https://arxiv.org/html/2607.16238#bib.bib69), 2019 (https://arxiv.org/html/2607.16238#bib.bib70)）。无量纲量如 Ohnesorge 数 (Oh)、Weber 数 (We) 和 Reynolds 数 (Re) 通常用于表征可喷射性窗口（Liu and Derby, 2019 (https://arxiv.org/html/2607.16238#bib.bib63)）。然而，这些静态指标无法完全描述液滴喷射和自由飞行演化过程中的瞬态界面事件（Xu et al., 2017 (https://arxiv.org/html/2607.16238#bib.bib69), 2019 (https://arxiv.org/html/2607.16238#bib.bib70)）。当这些事件未得到适当控制时，可能会出现打印缺陷，如偏离轨迹的喷射、飞溅、不希望的卫星液滴和材料放置不准确（Segura et al., 2021 (https://arxiv.org/html/2607.16238#bib.bib68)）。因此，能够预测液滴形态和运动的预测模型对于喷墨打印的过程监控和控制至关重要（Wu and Xu, 2018 (https://arxiv.org/html/2607.16238#bib.bib11)）。

实验成像和数值模拟已被广泛用于研究液滴动力学。高速成像提供了液滴破碎和卫星形成的直接观测，但要在微秒时间间隔内解析微米级特征需要昂贵的光学设备和仔细的实验设置（Derby, 2010 (https://arxiv.org/html/2607.16238#bib.bib5); Castrejon-Pita et al., 2013 (https://arxiv.org/html/2607.16238#bib.bib6)）。另一方面，CFD 通过求解纳维-斯托克斯方程并跟踪气液界面（通常使用 VOF 方法）提供了一种高保真度的替代方案（Hirt and Nichols, 1981 (https://arxiv.org/html/2607.16238#bib.bib25); Jiang et al., 2021 (https://arxiv.org/html/2607.16238#bib.bib7)）。CFD 可以捕捉难以通过实验观察到的内部瞬态流动物理和复杂的拓扑转变。然而，解析液丝变薄、脱离动力学和卫星液滴形成需要密集网格和非常小的时间步长，这使得 CFD 对于长时间跨度预测和广泛参数空间探索而言计算成本高昂。这一计算瓶颈促使了用于液滴演化预测的快速代理模型的开发。

### 2.2 喷墨过程的数据驱动方法

数据驱动方法已被探索作为制造业过程建模的高效替代方案（Wang et al., 2021 (https://arxiv.org/html/2607.16238#bib.bib78), 2022 (https://arxiv.org/html/2607.16238#bib.bib77), 2023a (https://arxiv.org/html/2607.16238#bib.bib76); Zhao et al., 2025 (https://arxiv.org/html/2607.16238#bib.bib74); Liu et al., 2025b (https://arxiv.org/html/2607.16238#bib.bib75)）。早期的数据驱动研究主要依赖于统计设计和经验优化。