定理经济的衰落

# 定理经济的衰落 来源：https://davidbessis.substack.com/p/the-fall-of-the-theorem-economy *“数学的产物是清晰与理解，而非定理本身。”* ——比尔·瑟斯顿 [](https://substackcdn.com/image/fetch/$s_!PjDj!,f_auto,q_auto:good,fl_progressive:steep/https%3A%2F%2Fsubstack-post-media.s3.amazonaws.com%2Fpublic%2Fimages%2F23fb6d1a-c174-487f-8619-f57247788a4c_869x475.jpeg)*亚历山大·格罗滕迪克手写图解* 我最好的定理，是我从未写下的那个。 那是在瑞士洛桑一个明媚的早晨，当时我正在准备最后一次受邀的会议报告。证明过程如此显而易见——结论又如此令人信服——以至于我铤而走险，在最后一刻修改了幻灯片。时间所剩无几，我只能在最后一张幻灯片底部，像一个非正式备注那样写下这个宣告，而不是将它作为正式定理陈述。[1](https://davidbessis.substack.com/p/the-fall-of-the-theorem-economy#footnote-1) 当时我已经离开学术界，创立了一家机器学习初创公司。我知道自己会忙得没时间写出严谨的证明并发表。这就是我草草了事的借口。我仅仅写下了那个备注，然后便将这组幻灯片当作漂流瓶般弃置一旁。 我曾希望，未来某天会有某位聪慧的年轻数学家拾起它，将这一结果形式化，并融入更宏大的理论体系。如果我在归因的固有随机性中足够幸运，我甚至想过它或许会被铭记为*Bessis 胞腔分解定理*。 但那很愚蠢。通过宣称这个结果，我扼杀了任何人将它写成论文的动力。 如果要挑选我的第二好成果，那将是我关于 Garside 范畴的旧预印本 [arXiv 链接](https://arxiv.org/pdf/math/0610778) 中的定理 0.5。我对这篇论文曾寄予厚望，但最终却未将其投稿至任何地方。创作过程耗尽了我的精力，在我重拾勇气清理那些预备章节之前，我就离开了活跃的研究领域。 作为第二好的成果，这个定理的证明惊人地简单。一旦你正确设置好预备知识，只需要几页相当基础的群论就能搞定。 至于预备知识，它们甚至更简单。你所要做的就是 [剽窃](https://www.youtube.com/watch?v=gXlfXirQF3A) 一个名为 *Garside 理论* 的晦涩子领域中的十来篇经典论文，将原有的公理集替换成一个稍微更一般的版本。如果你明白自己该做什么，几乎不可能遇到严重的困难——这只不过是一场巨大的概念性查找替换批量编辑。但你必须相信我的话，因为我在产出必要的数百页细节时退缩了。 如果你认为数学家工作的难点在于证明定理，那就让这个例子作为反证——从我构想出定理 0.5 的那一刻起，我就知道它是真的，而且证明它会很直接。 那么，难点究竟在哪里？ 猜出精确的陈述并写下来？ 甚至也不是。在这个例子中，这部分同样直接。 难点在于直觉到应该存在“像定理 0.5 这样的东西”，并想出一个概念框架，使其变得易于表达。一旦我正确定义，剩下的几乎自然而然地就顺理成章了。 研究数学并非总是如此，但总有一些奇迹般的日子，你只需穿上滑雪板，接下来便发现自己正加速冲下山坡。 [让-皮埃尔·塞尔](https://en.wikipedia.org/wiki/Jean-Pierre_Serre) 曾有名言，称写作他那篇关于 [凝聚层](https://ncatlab.org/nlab/show/FAC) 的开创性论文根本不需要思考。一切都如此自然地各归其位，以至于他的打字机仿佛自行产出了整整 100 页，好像那篇文章早已存在 [YouTube 视频链接](https://youtu.be/pOv-ygSynRI?si=igiHG2_AY28HbbBy&t=1825)。 但我不是让-皮埃尔·塞尔，他也不会把打字机借给我。这就是为什么我最闪亮的数学想法从未得以发表。 我为此感到难过吗？其实不然。我的预印本仍然 [在 arXiv 上免费提供](https://arxiv.org/abs/math/0610778)，并且已被引用数十次，包括某些 [高端论文](https://link.springer.com/content/pdf/10.1007/s00222-021-01030-8.pdf) [另一篇](https://link.springer.com/content/pdf/10.1007/s00222-024-01294-w.pdf)。真正的创新并非定理 0.5，而是使之成为可能的语言，尤其是定义 2.4 和 9.3——这种语言最终融入了一本 700 页的 [Garside 理论著作](https://www.amazon.com/Foundations-Garside-Theory-Tracts-Mathematics/dp/3037191392)，填补了大部分缺失的预备知识。 老实说，我牺牲自己最具创新性的预印本也有自私的原因。这让我得以专注于另一篇更冗长的预印本，在其中我将定义 9.3 作为神奇成分，用于解决我所在领域的一个经典问题——[有限复反射群的 Kπ1 猜想](https://annals.math.princeton.edu/2015/181-3/p01)，这永久性地提升了我作为数学家的象征地位。 但事实上，解决了 Kπ1 猜想的那个 David，正是那个创造了定义 2.4 和 9.3 的远更优秀的数学家的社会寄生虫。 在过去的几个月里，当我努力应对 AI 与数学迅速变化的局势时，我发现自己比预想中更加困扰。 理论上，我应该感到欣慰和快乐。实际上，我也感到困惑、担忧和悲伤。 快乐的那部分我看到了真正的革命，感到兴奋。欣慰的那部分我有正当理由声称自己在科学和认识论上为此做好了准备。困惑的那部分我对时间线和随之而来的狂热感到震惊。悲伤的那部分我对一种生活方式和价值体系感到怀旧，我曾投入其中又抽身而去，而它们可能很快消失。 担忧的那部分则掌握了综合。我一直知道公众对数学的认知是有缺陷的，但从未料到这竟会成为该学科本身的生存威胁。 在我的书 [《数学：直觉与好奇的秘密世界》](https://www.amazon.com/Mathematica-Secret-World-Intuition-Curiosity/dp/0300283288) 中，我将这种误解归结为两种数学版本之间的张力：官方数学与秘密数学。 官方数学表现为一个形式演绎系统，从公理出发，机械地推导定理。这是书呆子的天堂，一个真理取二值、推理要么有效要么无效的世界，技术上没有胡扯的余地。 秘密数学则是故事中人的部分——官方数学为何被发明，我们如何成功与之互动，它对大脑的影响，以及数学家不断扩张其疆域所用的怪异心智技巧。 秘密数学从未进入课程，因为它缺乏官方数学的定义性质，也因为它显得边缘化。官方数学是冷酷、坚硬、逻辑、客观的，据说是宇宙的语言。秘密数学则是柔软、模糊、主观的，相比之下，就像廉价的数学史背景故事。 难怪专业数学家对自己的工作有着如此分裂的看法。 直觉俱乐部的第一条规则是：不许谈论直觉俱乐部。第二条规则是，如果你真的想谈论直觉，也要让它显得随意和附属，因为我们不是心理学系。第三条规则是，定义值零分，解释性工作计负分，最好的工作永远应该留给证明了最难定理的人。 如果你觉得我夸张，看看 [G. H. 哈代](https://en.wikipedia.org/wiki/G._H._Hardy) 在其 [著名（但令人难以忍受）的数学自传](https://en.wikipedia.org/wiki/A_Mathematician%27s_Apology) 中写下的这段话： > 没有什么比那些创造者对解释者的蔑视更深刻，总的来说也更合理了。解释、批评、欣赏，那是二流头脑的工作。 这是极致的分裂。私下里，数学家们会抱怨哈代的诅咒。他们强调教学的重要性，即使这对他们理解学科本身也是如此。他们惋惜体制对 *定理证明优先权* 的病态痴迷，而人人都知道，艰难工作往往发生在这个循环之外——当试图理解已有成果时。然而在公开场合，他们受制于数学家的荣誉准则：证明定理，然后闭嘴！ 但有一个例外：一旦你获得菲尔兹奖，你就可以自由地说任何话了。 [比尔·瑟斯顿](https://en.wikipedia.org/wiki/William_Thurston)，1982 年菲尔兹奖得主，是一位引人注目的异见者。去世前两年，他在 MathOverflow 上参与了一次 [非凡的交流](https://mathoverflow.net/questions/43690/whats-a-mathematician-to-do)，回应一位缺乏安全感的本科生提出的问题： > 一个人（比如我）能为数学贡献什么？我发现数学是由高斯和欧拉这样的人创造的——学习并理解他们的工作或许是可能的，但仅此而已并不会创造出新东西。你可以用现代语言和符号重写他们的著作，或引导他人去学习，但我从不相信这是数学家工作的重要部分；重要部分应是创造原创数学。似乎完全可能的是，有这么多极其聪明的人在数学上如此努力，对我这样的人来说已经没什么可做的了……也许我的价值更像是充当炮灰？因为只要投入 *足够多* 的人，总能够突破某些屏障。 瑟斯顿加入了讨论： > 你要贡献的不是 *数学*。比那更深：你如何通过追求数学来贡献于人类，甚至更深处，贡献于世界的福祉？这样的问题不可能纯粹用理智方式来回答，因为我们行动的影响远超我们的理解。我们是深具社会性和本能性的动物，以至于我们的福祉依赖于许多我们很难用理智方式解释的事情。这就是为什么你应该追随你的心和激情。纯粹的理性很可能 [让你误入歧途](https://en.wikipedia.org/wiki/Ted_Kaczynski)。[2](https://davidbessis.substack.com/p/the-fall-of-the-theorem-economy#footnote-2) 我们中没有谁聪明和智慧到足以从理智上弄明白这一切。数学的产物是清晰与理解，而非定理本身。比如说，即使是像费马大定理或庞加莱猜想这样著名的结果，它们真的有什么重要理由吗？它们的真正重要性不在于其具体陈述，而在于它们挑战了我们的理解，提出了挑战，导致了加深我们理解的数学发展……数学只存在于一个由数学家组成的活生生的共同体中，这个共同体传播理解，为旧思想和新思想注入生命。数学的真正满足感来自向他人学习和与他人分享。我们每个人对少数事物有清晰的理解，对更多事物只有模糊的概念。需要澄清的想法永远不会枯竭…… 这里我们需要短暂地做一个形而上学的停顿，因为太容易把瑟斯顿的话当作“感觉良好”或“政治正确”而一笔带过。 在我的第一篇 Substack 文章中，我（半开玩笑地）宣称 [2300 年来我们对数学的看法一直是错误的](https://davidbessis.substack.com/p/weve-been-wrong-about-math-for-2300)，我们陷入了一个虚假的两难境地：形式主义（“数学是一场无意义的形式符号游戏”）与柏拉图主义（“数学捕捉了生活于完美理念世界中的实际实体的属性”）之间。 我提出的 *概念主义* 解决方案是对瑟斯顿观点的重新表述：数学确实依赖于一场无意义的形式符号游戏，但我们玩这个游戏只是因为我们赋予了它意义。 意义是一种认知现象——我们神经架构的产物——而不是对超验的直接通道。 当我们“做数学”时，我们操作形式表达式，并逐渐发展出对它们所代表的内容的直觉感受，就像它们是指向柏拉图意义上“存在”的对象的指针。柏拉图主义者将这种神经可塑性的副作用当作表面价值。形式主义者则视之为附属品。像我这样的概念主义者则将数学视为人类物种的一项关键认知基础设施。 一个自然的问题是，为什么概念主义的解决方案花了这么久才出现。一个原因是，它 [违背了主流的精神主义世界观，后者拒绝物理主义对数学的解释](https://davidbessis.substack.com/p/the-real-mathematics-is-the-one-that)。 它也与数学家的荣誉准则相悖。哈代的诅咒如此强大，甚至连瑟斯顿也难以克服。当多位 MathOverflow 用户感谢他的观点时，他在回复中指出： > 感谢评论。我试图写下看起来真实的东西。如今，我已经没有理由担心自己会被如何评判，这让我轻松了很多。当我的现实对他人有意义时，我感到欣慰。 但那么，这种有毒的荣誉准则如何能存在如此之久？ 答案很简单。荣誉准则对作为一门学术学科的数学是有用的。它帮助数学保持异常健康和任人唯贤，正如我书中的后记所述： > 这个体系自有其优点。它减少了随意性，帮助数学家防止自满和裙带关系。当一门学科涉及永恒真理时，它提供了一种评估职业生涯的整洁方式。 荣誉准则也指导着研究者自身，在评价新想法和新研究方向时。概念构建与问题解决，数学的两个侧面，处于共生关系中，正如 2018 年菲尔兹奖得主 [彼得·舒尔茨](https://en.wikipedia.org/wiki/Peter_Scholze) 所说： > 我最关心的是定义。一方面，人类通过语言描述数学，而一如既往地，我们需要精确的词语来清晰地表达我们的思想……不幸的是，仅凭纯粹思考无法找到正确的定义；我们需要发现正确的问题，在这些问题中，进展将需要隔离出一个新的关键概念。[3](https://davidbessis.substack.com/p/the-fall-of-the-theorem-economy#footnote-3) 这就是几千年来系统的运作方式。数学家通过引入新概念创造价值，但规则是只有定理才能带来实质收益。这种安排之所以可行，是因为这两个方面几乎总是携手并进。那个声称对 Kπ1 猜想有功的社会寄生虫 David，与创造了定义 2.4 和 9.3 的 David 是同一个人。 解决一个重大猜想，是证明你提出了真正概念创新的密码学证据。 我使用过去时，是因为情况已不再如此。数学家的荣誉准则存在结构性漏洞，而 AI 已经开始系统地利用它。 触发这篇文章的缘由是 [Geoff Hinton 的一次演讲](https://x.com/davidbessis/status/2008546537798770714)，它让我措手不及： > 我同意 DeepMind 的领导者 Demis Hassabis 多年来一直说的观点：AI 将在推动科学进步方面非常重要……有一个领域特别容易，那就是数学，因为数学是一个封闭系统……我认为 AI 会在数学上变得比人强得多，可能在接下来 10 年左右。而在数学内部，这很像围棋或象棋，即……