OpenAI模型解决困扰人类80年的著名数学难题

# OpenAI模型解决了一个困扰人类80年的著名数学难题 来源：https://arstechnica.com/ai/2026/06/openais-math-breakthrough-played-to-ais-strengths/ 我试图比OpenAI自己更清晰地解释OpenAI的解法。 [](https://cdn.arstechnica.net/wp-content/uploads/2026/05/getty-string-pins.jpg) 5月中旬，OpenAI[宣布](https://openai.com/index/model-disproves-discrete-geometry-conjecture/)其内部一个AI模型否定了埃尔德什单位距离猜想（Erdős unit distance conjecture）。这是离散几何中的一个著名问题，已经困扰人类数学家长达80年。 OpenAI让几位数学家提前看到了这一结果，并[发布了他们的反应](https://cdn.openai.com/pdf/74c24085-19b0-4534-9c90-465b8e29ad73/unit-distance-remarks.pdf)。菲尔兹奖（数学界最高荣誉）得主Tim Gowers写道，“毫无疑问，单位距离问题的解决是AI数学领域的一个里程碑。” 多伦多大学教授Daniel Litt写道，“这是第一个由AI自主产生的结果，让我本身就感到兴奋，而不仅仅是作为一个领先指标。” 这可以说是AI系统首次解决一个主要开放猜想。这一点令人印象深刻，但我并不认为这是AI在数学方面进步轨迹的激进突破。 三年前，LLM还在努力解决算术问题。直到去年，LLM才开始[在高中数学竞赛中取得优异成绩](https://xenaproject.wordpress.com/2025/08/03/ai-at-imo-2025-a-round-up/)。 今年1月我参加了全球最大的年度数学会议——联合数学会议（Joint Mathematics Meetings），了解到AI系统开始为数学研究做出贡献，但仅限于受限环境。要将AI的输出转化为可发表的定理，需要大量的人类解读。 OpenAI的新结果是这一进程的下一步。该AI模型巧妙地应用了来自数学几个子领域的现有思想，构建了一个完整的证明。但它并没有开创任何真正全新的技术。此后，人类数学家[对该结果进行了整理](https://cdn.openai.com/pdf/74c24085-19b0-4534-9c90-465b8e29ad73/unit-distance-remarks.pdf)和[扩展](https://arxiv.org/pdf/2605.20579)。 这表明在中期未来，人类数学家和AI模型将相互补充：AI对过去工作的了解比任何在世的人类都更广泛，并且更有意愿去穷尽那些可能行不通的繁琐证明策略。但人类仍然能够对任何一个问题进行更深入的思考，并提出更有趣的问题。 这种情况可能不会持续太久。AI系统在数学上的进步如此迅速，以至于十年后人类数学家是否还有角色、扮演什么角色，目前还不清楚。 Paul Erdős是历史上最高产的数学家之一。他一生写了超过1500篇论文，数量最多。他最大的才能之一是提出那些表述简单但根基深厚的问题。 1946年，他提出了*单位距离问题*。假设你在二维平面上有一些点，并测量每对点之间的距离： 一个有五个连接点的图表。(https://cdn.arstechnica.net/wp-content/uploads/2026/05/ce71afac-4cdd-4648-a9f3-56880b3e0fe2_987x453.webp) 来源：Kai Williams / Understanding AI 在这个图中，有五个点和十对点。恰好有三对点距离为1单位：AD、BE和CE。 我们能否重新排列这些点，使得更多点对恰好相距1单位？ 是的。例如，我们可以将点A和D移到更靠近B、C、E簇的位置。再多花些功夫，我们可以进一步重新排列这些点，使得有7对点距离恰好为1单位。但这就是我们能做到的最大值了。 我们可以对6个点、7个点等等进行同样的分析。但随着点数的增加，问题很快就会变得过于复杂，无法找到确切答案。 显示5-9个点最优排列的图表。(https://cdn.arstechnica.net/wp-content/uploads/2026/05/5c3b3625-dcf3-4c51-a6b7-de29623000b2_1192x876.webp) 使恰好相距1单位的点对数量最多的五种点数（5、6、7、8、9）的排列方式。图来自Boris Alexeev, Dustin G. Mixon和Hans Parshall的论文《The Erdős unit distance problem for small point sets》附录，显示了5到9个点的最优排列。Alexeev等人给出了最多21个点的最优解；之后的问题尚未解决。 来源：Boris Alexeev等人。(https://arxiv.org/abs/2412.11914v2) 因此，埃尔德什没有直接问给定点数下可能有多少个单位距离，而是尝试计算n个点情况下长度为1的线条数量的上界和下界，假设n是一个很大的数。 为了帮助计算下界，埃尔德什假设这些点排列成一个网格。这可能不是最优布局，但如果他能证明网格中的点有一定数量的单位距离对，那么最优排列至少必须有这么多对。 三个显示不同直径圆及其整数网格交点的图。(https://cdn.arstechnica.net/wp-content/uploads/2026/05/ec03f2b9-a8ec-4b42-aa16-6feccff08e85_1658x554-1.webp) 如果我们让网格变小，就可以让单位圆与更多的网格点相交。这会产生更多单位距离。 来源：Kai Williams / Understanding AI 最简单的选择是将网格间距设为1，使每个点与其正上方、正下方、正左、正右的邻居距离为1。然而，埃尔德什注意到，如果考虑对角线，你可以做得更好。如果你让网格间距更小，每个点可以与更多邻居相距1。在上图中，如果网格间距为1，则每个点与4个邻居距离为1（左图）。相反，如果网格间距为1/5（如右图所示），则每个点与12个邻居距离为1： 一个动画，在网格上添加九个圆形和对角线。(https://cdn.arstechnica.net/wp-content/uploads/2026/05/478bbcbb-6fff-4025-9ed8-de6482859215_671x663.gif) 一个13×13网格中九个中心点的距离为1的邻居动画。你可以为网格中其他点绘制类似的圆来获得剩余的距离为1的点对，但圆上的一些点不会落在网格点上。 来源：Kai Williams / Understanding AI OpenAI在其新结果的说明中，包含了一个令人困惑的图，显示网格中的点以及连接它们的许多线条。如果我们叠加上这样一个圆，这个图就更容易理解了： 在16x16网格上放置一个圆。(https://cdn.arstechnica.net/wp-content/uploads/2026/05/bf39a41e-7b58-4f72-8d87-b15bfc255a54_2347x1645-1.gif) OpenAI宣布AI否定单位距离猜想的图中，我叠加了一个圆，显示一个点的距离为1的邻居。这里的网格间距为1/√65，产生的单位圆与网格上的16个点相交（如果网格更大一些的话）。 来源：Kai Williams / Understanding AI 这是因为毕达哥拉斯定理：如果一个点位于另一个点右侧a个单位、上方b个单位，则两点之间的直线距离c满足a² + b² = c²。技巧在于选择一个c²，使得有大量整数对(a, b)满足a² + b² = c²。然后，如果将网格缩放，使得每个点与邻居距离为1/c，就会产生大量单位距离。 例如，如果选择c² = 25，则毕达哥拉斯方程可以由0²+5²=25或3²+4²=25满足。这对应我之前展示的12个网格点的圆，点位于(0,5)、(3,4)、(4,3)、(5,0)、(-4,3)、(-3,4)等处（严格来说，这些长度都应除以5——例如(3/5, 4/5)——但为了清晰，我省略了分母）。 OpenAI的图基于选择c² = 65，可以由1²+8²=65或4²+7²=65满足。这意味着如果网格间距为1/√65，每个点将与其他16个点距离为1：(1,8)、(4,7)、(7,4)、(8,1)、(-1,8)、(-4,7)等。更大的c²——如果选择得当——可以产生更多整数对角线，从而产生更多单位距离对。 然而，如果c²相对于网格中的点数太大，那么许多潜在的距离为1的邻居将落于网格之外。 简而言之，我们希望选择一个够大但又不至于太大的c²。利用数论中的见解，包括雅可比二平方定理，埃尔德什能够证明，一个最优尺寸的圆将使单位距离对的数量增长速度快于点数，但只是略快。 问题变成了“你能做得更好吗？”为了找到上界，埃尔德什使用了来自一个完全不同数学领域——图论——的论证，证明单位距离只能有这么多。但他的上界增长速度远快于他能够构造的最佳下界。 埃尔德什的猜想是，实际最优值更接近下界而非上界。他预测（但无法证明）单位距离对的最大数量只能略快于点数的增长速度。 更精确地说，埃尔德什猜想单位距离的数量为n^(1+o(1))。换句话说，对于足够大的n，最大单位距离数将小于n^(1+ε)，对于任何ε > 0。这可能会比他的下界构造（其形式为n^(1 + C/(log log n))，其中C为常数）增长得稍快，但大致在同一个范围内。 证明他的猜测后来被称为单位距离问题。在接下来的80年里，看起来埃尔德什是对的。 然后，一个OpenAI模型证明他错了。 埃尔德什的猜想假设，至少在点数很大时，一个方形网格能够产生与用其他方式组织点大致相同的单位距离对数量。OpenAI的AI通过证明存在另一种更复杂的组织n个点的方式，允许更多点对恰好相距1单位，从而证明了这是错误的。 正是由于这种新的点模式更复杂，所以很难简洁地解释。但你可以将其视为对埃尔德什网格的巧妙修改。 AI在高维空间中构建了一个网格，然后将这个更复杂的结构投影到二维中。并且，AI构造使用的不是像(1,3)或(-3,6)这样的整数网格，而是使用了一种叫做代数整数（algebraic integers）的东西来构建这个更复杂的网格。事实证明，这种高维网格具有更丰富的结构，使AI能够在相同点数内打包更多的单位距离。 很难说明这种替代的点排列方式，因为它只有在点数非常大时才显示出优势。但这里有一个以类似方式构建的更简单的点排列方式。你可以[点击这里](https://chatgpt.com/canvas/shared/6a15da73c5b08191a2dc34c3ac6ceca6)亲自操作这个图示。 它有1345个点，只产生了5916个单位距离，少于使用埃尔德什技术的方形1296点网格产生的7632个单位距离。但我认为它让人感受到一种非网格模式如何能比方形网格产生更多单位距离。 一个非网格状的点模式图，红色线指向中心，显示单位距离。(https://cdn.arstechnica.net/wp-content/uploads/2026/05/2b5a14b9-b332-4687-9dcc-1b0e3e3bd0d0_1887x1879.webp) AI模型排列方式的简化可视化。从中心发出的12条红色线段长度均为1。单击交互式链接来摆弄这个可视化。图像在ChatGPT帮助下创建，基于Will Sawin（参与该工作的数学家之一）的一个想法。 来源：Kai Williams / Understanding AI 更复杂的模式会带来回报。虽然OpenAI模型的证明没有明确说明n个点可能有多少单位距离对，但人类数学家Will Sawin能够[证明](https://arxiv.org/pdf/2605.20579)其至少以n^1.014的速率增长。这看起来很小，但随着*n*变得非常大，这个数字将远大于埃尔德什方法产生的计数。 尽管如此，AI的结果并没有完全解决这个问题。我们对于单位距离数量的最优上界大约是n^1.333。还需要更多工作来缩小这个差距。 如果在两周前——OpenAI宣布之前——你问我LLM对数学最创新的贡献是什么，我可能会提到Google DeepMind的[AlphaEvolve](https://en.wikipedia.org/wiki/AlphaEvolve)系统。 AlphaEvolve利用LLM作为优化过程的引擎。如果你能把一个数学问题转化为一段待优化的代码（通常可以做到），LLM可能会为某些类型的问题找到比人类更好的解决方案。11月，四位数学家（包括Terence Tao）发布了一篇[论文](https://arxiv.org/pdf/2511.02864v1)，分析了AlphaEvolve在数学文献中67个优化问题上的表现。他们发现，在某些情况下，AlphaEvolve能够改进现有的文献成果。 这比以往LLM的贡献（如文献综述）在自主性上更进一步，但仍然需要人类将其框定为优化问题，并将AI的输出转化为可用的数学。而且，只有某些类型的问题适合这种方法。更多概念性问题则