立方曲面上有多少条直线？（答案是27条。）这个已知近180年的陈述，最近获得了新的内涵和现实意义。

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新数学复兴几何学最古老的问题 | Quanta Magazine

来源：https://www.quantamagazine.org/new-math-revives-geometrys-oldest-problems-20250926/ 借助一个相对年轻的理论，一个数学家团队已经开始回答那些根植于数学起源的问题。

一位过去手持石板的古希腊男子，与一位现在手持同一石板新版本的女性相连

Kristina Armitage/Quanta Magazine

引言

公元前三世纪，佩尔加的阿波罗尼奥斯提出了一个问题：能画出多少个圆，每个圆都恰好与三个给定的圆相切？答案是八个，但证明这一点却花了1800年。

这类要求满足一组几何条件的解的数量的问题，深受古希腊人的喜爱。并且数千年来，它们一直吸引着数学家。立方曲面上有多少条直线？五次三维流形上有多少条二次曲线？（分别是27条和609,250条。）“这些是真正困难的问题，只是理解起来很容易，”伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校的数学家谢尔登·卡茨说。

随着数学的发展，数学家想要计数的对象变得越来越复杂。这逐渐成为一个独立的研究领域，称为计数几何。

数学家们能构想出的计数几何问题似乎无穷无尽。但到了20世纪中叶，数学家们开始失去兴趣。几何学家们超越了具体的计数问题，转而关注更一般的抽象概念和更深层的真理。除了在1990年代有过短暂的复兴，计数几何似乎已被永久搁置。

这种情况现在可能开始改变。一小群数学家已经弄清楚如何将一个已有数十年历史的理论应用于计数问题。研究人员不仅为原始问题提供了解决方案，还为这些问题在无限多的奇异数系中的版本提供了解决方案。“如果你只做一次，那是令人印象深刻的，”斯坦福大学的数学家拉维·瓦基尔说。“如果你一次又一次地做，那就是一个理论了。”

这个理论帮助复兴了计数几何领域，并将其与代数、拓扑学和数论等其他研究领域联系起来——赋予它新的深度和魅力。这项工作也让数学家们对各种重要的数系有了新的认识，远远超出了他们最熟悉的那些。

与此同时，这些结果提出的问题和它们解决的一样多。该理论给出了数学家寻求的数字，但也提供了额外的信息，这些信息他们仍在努力解读。

这个谜题激发了新一代人才加入。他们共同将计数带入21世纪。

向前计数

所有计数几何问题本质上都可以归结为空间中的物体计数。但即使是最简单的例子也可能很快变得复杂。

考虑纸上两个相隔一定距离的圆。你能画出多少条恰好与每个圆相切一次的直线？答案是四条：

Mark Belan/Quanta Magazine

你可以将这两个圆滑得更远，或者将其中一个缩小到一半大小，答案不会改变。但将一个圆移动，使其像维恩图一样与另一个圆相交，那么答案突然改变了——从四条变为两条。将较小的圆完全滑入较大的圆内，现在答案是零：你无法画出任何仅与每个圆相切一次的直线。

这种不一致性确实很麻烦。在这个例子中，只有三种不同的配置需要考虑，但通常问题过于复杂，研究人员无法研究每一种可能的情况。你可能找到了一种情况的答案，但当你移动物体时，你不知道答案会如何变化。

在实践中，数学家试图将问题的几何约束写成一组方程，然后找出有多少个解能同时满足所有这些方程。但尽管他们知道解的数量并非总是一致，但方程本身的性质并不能表明他们是否偶然遇到了会产生不同答案的新配置。

有一个例外——当问题用复数定义时。复数有两个部分：一个“实”部，是一个普通数字；一个“虚”部，是一个普通数字乘以负一的平方根（数学家称之为i）。

在上述圆和直线的例子中，如果你要求方程的复数解的数量，无论你观察哪种排列，答案总是四个。

大约到1900年，数学家已经发展出技术来解决复数域中的任何计数几何问题。这些技术不必考虑不同的配置：无论数学家得到什么答案，他们知道它对每种配置都必须是真实的。

Mark Belan/Quanta Magazine

但是，当数学家只想找到，比如，计数几何问题中方程的实数解数量，或整数解数量时，这些方法就不再有效了。如果他们在除复数以外的任何数系中提出计数几何问题，不一致性又会出现。在这些其他数系中，数学家无法系统地处理计数问题。

同时，数学家在局限于整数或实数时遇到的神秘、变化的答案，使得计数问题成为探测其他数系的好方法——以更好地理解它们之间的差异以及生活在其中的物体。数学家认为，开发处理这些环境的方法将开辟新的、更深层次的数学领域。

其中一位是伟大的数学家大卫·希尔伯特。当他撰写他认为20世纪最重要的未解决问题清单时，他包括了一个关于使解决计数几何问题的技术更严格的问题。

在20世纪60年代和70年代，亚历山大·格罗滕迪克和他的后继者开发了新的概念工具，帮助解决了希尔伯特的问题，并为现代代数几何领域奠定了基础。随着数学家追求对这些如此抽象以至于外行仍然无法理解的概念的理解，他们最终将计数几何抛在了身后。此外，当试图解决未解决的计数几何问题时，“我们的技术撞上了一堵墙，”卡茨说。计数几何从未成为希尔伯特想象中的灯塔；相反，其他研究方向照亮了数学家的道路。

计数几何不再感觉像一个核心、活跃的研究领域。卡茨回忆说，在20世纪80年代他还是个年轻教授时，他被警告不要研究这个课题，“因为这对我的职业发展没有好处。”

但几年后，弦理论的发展暂时给了计数几何第二次生命。弦理论中的许多问题都可以用计数来表述：弦理论家想要找到某种类型的不同曲线的数量，这些曲线代表弦的运动——他们相信是构成宇宙基础的十维空间中的一维物体。卡茨说，计数几何“再次变得非常流行”。

但这是短暂的。物理学家一旦回答了他们的问题，就转而研究其他问题了。数学家们仍然缺乏一个适用于其他数系的计数几何问题的一般框架，而且对此没什么兴趣。其他领域似乎更容易接近。

这种情况一直持续到数学家基尔斯滕·威克尔格伦和杰西·卡斯突然意识到：计数几何可能恰好能提供希尔伯特希望的那种深刻见解。

鸟瞰

卡斯和威克尔格伦在2000年代末相识，不久就成了定期合作者。在许多方面，他们的举止截然不同。威克尔格伦热情，但克制且深思熟虑。每当我请她确认我是否正确理解了某个陈述时，她都会停顿一下，然后坚定地回答“是的，请”——这是她表示“完全正确，你理解了！”的方式。另一方面，卡斯则紧张而充满热情。他很容易兴奋，说话速度很快。

年轻的棕色头发女子坐在书桌前看书。

基尔斯滕·威克尔格伦一直使用一套复杂的数学技术来探测数字的基本性质。

Joseph Rabinoff

但卡斯和威克尔格伦合作得很好，并且有许多共同的兴趣——包括热爱将几何学的触角延伸到其他领域。

2015年，卡斯途经威克尔格伦居住的亚特兰大，决定向他提出他最新的痴迷：他想重新审视受限数系中的计数问题，那个长期被抛弃的努力。

他带来了一堆零散的想法和似乎相关的旧论文。“我意识到这是一个有点异想天开的项目，”卡斯说。“她非常礼貌地向我解释，我所有的答案都是无意义的。”然后他提到了1977年的一项结果，突然“一个灯泡亮了”。

在那篇1977年的论文中，数学家哈罗德·莱文和戴维·艾森伯德在证明中涉及计数。他们最终得到一种特殊类型的表达式，称为二次型——一个简单的多项式，其中每个项的指数之和总是2，例如x²+y²，或z²−x²+ 3y²。

艾森伯德和莱文意识到，他们感兴趣的计数结果就隐藏在其中。答案就在这个二次型的“符号差”中：一旦以特定方式写出，正项的数量减去负项的数量。（例如，二次型z²−x²+ 3y²有两个正项，z²和3y²，以及一个负项，x²，所以它的符号差是2 − 1，即1。）

这就是威克尔格伦的灯泡时刻。在艾森伯德和莱文发表证明后的几十年里，数学家们发明了一个看似无关的框架，称为动机同伦论。这个框架将方程的解视为特殊的数学空间，并研究它们之间的关系，既复杂又强大。除了其他作用，它还为数学家提供了一种使用特定类型的二次型来描述这些关系的方法。

户外桌子旁看论文的男子。

杰西·卡斯在追求他所谓的“有点异想天开的项目”时，帮助复兴了人们对数学最古老类型问题之一的兴趣。

Caroyn Lagattuta

听到卡斯的介绍，威克尔格伦立刻意识到艾森伯德和莱文已经提出了这样一个二次型。这两位数学家一直在不知不觉中做着动机同伦论——而这给了他们一直在寻找的答案。

尽管艾森伯德和莱文研究的不是计数几何问题，但它在风格上足够相似——毕竟涉及计数——这让卡斯和威克尔格伦开始思考。也许他们也可以使用动机同伦论的框架来解决自己的计数问题。而且由于动机同伦论可以广泛应用于任何数系，也许它能揭示数学家在那些环境中长期以来无法解决的计数几何问题。

更深层的视角

记住，通常计数几何问题涉及找到满足一组方程的解的数量。卡斯和威克尔格伦的洞察力不在于尝试直接求解这些方程——除了在复数域中，这很少奏效。相反，这对搭档用方程空间以及描述这些空间之间关系的函数来重述给定的计数几何问题（在给定的数系中）。

通过这种方式重新表述问题，他们可以应用动机同伦论。这使他们能够计算一个二次型。现在他们必须弄清楚这个二次型包含关于他们原始问题的什么信息。

当他们在复数域中工作时，他们意识到，他们所要做的就是计算二次型中不同变量的数量。这个数字给出了他们计数几何问题的解的数量。当然，这对他们来说并不特别有趣：数学家们已经有很好的技术来获得这个答案。

于是他们转向其他数系。对于实数，情况变得有点棘手。一旦他们在这个设置中计算出二次型，他们就必须观察其符号差。而且符号差并没有给出精确的答案：它给出了答案可能的最小值。也就是说，对于任何涉及实数的计数几何问题，他们有一种方法来计算一个下界——一个良好的起点。

但最令人兴奋的是，当他们为其他更奇怪的数系计算二次型时，他们也能收集到重要信息。以一个由七个数字组成的循环系统为例，它运行在所谓的时钟算术上：在这种系统中，7 + 1等于1而不是8。在这个系统中，他们将二次型重写为称为矩阵的数字阵列。然后他们计算了一个称为行列式的量，并证明虽然它没有告诉他们解的总数，但它确实告诉了他们关于这些解中具有某些几何属性的比例。

2017年，卡斯和威克尔格伦用计数几何中最著名的定理之一展示了这一点：一个立方曲面最多包含27条直线。使用他们的新方法，他们证明了在复数域中答案确实是27。他们复制了已知的实数域的下界——并为每个有限数系提供了新的数值信息。所有这一切都包含在一个包里。

这是数学家们第一次能够对复数和实数域以外的数系的计数几何问题说出任何有意义的话。此外，尽管问题的答案可能因数系和其中形状的配置而异，但数学家们第一次找到了一个能够涵盖所有这些潜在不同答案的理论。

“这不仅仅是关于实数或复数，”威克尔格伦说。“它们只是适用于任何数系的一个结果的特例。”

而这仅仅是个开始。

新的开始

在随后的几年里，威克尔格伦、卡斯和其他人使用动机同伦论重新表述了许多其他计数问题，在各种数系中推导出了相关的二次型。

“所有几何构造过去都给出整数答案，”杜伊斯堡-埃森大学的数学家马克·莱文说，他一直在独立探索相同的想法。“现在你可以将[问题]输入……”