基于二部图因果模型的因果推理

# 基于双部图因果模型的因果推理  
来源：https://arxiv.org/html/2608.19831  
[Joris M. Mooij](mailto:) 附属机构：Korteweg-De Vries 数学研究所，阿姆斯特丹大学，荷兰阿姆斯特丹  

###### 摘要  
因果贝叶斯网络（CBNs）和结构因果模型（SCMs）是图示因果推理的主流框架，但它们无法充分表示所有现实世界的因果系统。尤其是处于平衡状态的系统——反馈机制导致循环因果依赖——可能表现出与这些框架根本不兼容的因果语义：强制同一变量值的不同干预可能产生不同效果，使得标准的“完美干预” do⁡(X=x) 存在歧义。我们提出*双部图因果模型*（BGCMs），其中方程组结构通过包含变量节点和方程节点的双部图进行编码。在此框架中，硬干预 do(f_j:X_v=ξ_v) 明确指定了替换哪个方程、针对哪个变量、以及设定为何值——从而解决了标准概念的歧义性。通过详细分析一个物理系统案例，我们证明这种表示法自然对应于现实世界中不同的干预操作。我们基于新的图分离准则（BB-分离）表述了马尔可夫性质，该准则利用了方程固有的函数确定性，并将其扩展到非随机输入场景。我们展示了由此如何推导出处理领域不变性的do-演算。BGCMs在严格推广CBNs和SCMs的同时，保留了进行图示因果推理的能力。  

## 1 引言  
在众多科学领域——物理学、工程学、经济学、生物学——复杂系统通常由描述内生变量和外生变量关系的方程组自然表示。每个方程代表一个独立的机制或物理定律；外生变量代表外部输入或噪声。因果贝叶斯网络（CBNs）和结构因果模型（SCMs）能够表示许多此类系统，但并非全部。特别是处于平衡状态的系统——反馈机制导致循环因果依赖——可能表现出与这些框架根本不兼容的因果语义。一个典型例子（源于文献[18]）是处于平衡状态的浴缸：流入量、流出量、压力和深度之间的平衡关系构成一个方程组，其因果解释取决于干预改变了*哪个方程*。将相同变量设置为相同值的不同干预可能对其他变量产生不同影响，导致标准“完美干预”do⁡(X=x)的概念存在歧义。CBNs和SCMs都无法表达这种区别，因为它们将每个变量与唯一的结构方程或马尔可夫核相关联。  

我们方法背后的关键观察是：方程组的结构天然由*双部图*编码——包含两类节点（变量节点和方程节点），当变量出现在方程中时两者之间便有边连接。通过保留变量节点和方程节点作为一等公民，双部图保留了投影到仅含变量的有向图时会丢失的信息。基于Simon的因果排序算法（通过分析双部图推导变量的部分因果顺序），我们开发了一个完整的因果建模框架。这种方法与工程师推理因果性的方式密切相关——例如在基于方程的建模语言Modelica中，系统被指定为一组“非因果”方程，因果关系通过符号分析自动推导。特别是，双部图表示使得硬干预可以表示为do(f_j:X_v=ξ_v)——明确指定替换哪个方程f_j、针对哪个变量X_v、设定为何值ξ_v。虽然这种干预概念已被文献[21]提出，但它曾被视为特设方案，且其在多大程度上提供了现实世界干预的恰当自然数学抽象尚不明确。  

本文的贡献包括：  
1. 我们形式化定义了*双部图因果模型*（BGCMs），并展示它们如何严格扩展CBNs、无环SCMs、简单SCMs和一般SCMs。  
2. 通过对浴缸系统所有硬干预的完整分析，我们证明BGCM干预概念do(f_j:X_v=ξ_v)提供了现实世界干预的*自然且物理意义明确*的表示——每种干预对应一个具有不同因果效应的独特物理过程。  
3. 我们使用图分离准则（BB-分离）为BGCMs表述了*马尔可夫性质*，该准则将dd-分离推广到部分定向的双部图。通过将因果结构和条件独立结构编码在同一个部分定向的双部图中——而非文献[21]中分离的图——我们使因果与马尔可夫语义之间的联系变得透明。由于BB-分离利用了方程诱导的函数确定性，所得马尔可夫性质严格强于文献[21]通过马尔可夫排序图和dd-分离获得的性质。  
4. 我们针对将某些外生变量视为非随机输入的情况，建立了*扩展*马尔可夫性质，其表述基于过渡条件独立性。  
5. 我们利用这种联系为BGCMs发展了一种*do-演算*：马尔可夫性质产生了领域不变性——观测分布与干预分布之间的关系——这超出了Pearl的三条规则。  

## 2 背景  
### 2.1 循环因果关系建模  
动力系统中的反馈机制可能在平衡时诱导循环因果关系。快速的动力学相互作用会导致“瞬时”因果循环。这类例子广泛存在于多个学科：物理学中的耦合振荡器、经济学中的供需-价格反馈循环、生物学中的基因调控网络以及气候反馈机制。在许多此类应用中，模拟因果循环的能力至关重要，而无环模型并不足够。我们简要回顾一些现有的因果建模框架及其关系。  

*因果贝叶斯网络*（CBN）包含一个有向无环图（DAG）和一组马尔可夫核（每个变量对应一个给定DAG中父节点的马尔可夫核）。*无环结构因果模型*（无环SCM）包含一组形式为X_i:=f_i(pa⁡(X_i),U_i)的结构方程，其中pa⁡(X_i)表示X_i的父节点，U_i是外生噪声变量，以及一个无环因果图。SCM将其扩展为允许循环因果图，每个方程具有唯一的“因变量”。虽然一般SCM可能很复杂，但*简单SCM*子类允许（足够弱的）循环，并保留了无环SCM的大部分便捷数学性质。这些框架构成一个逐渐泛化的层次结构：  

CBNs⊂无环SCMs⊂简单SCMs⊂SCMs⊂BGCMs⊂CCMs  

其中BGCMs是本文引入的双部图因果模型，CCMs是因果约束模型。BGCMs在此层次中平衡了模型灵活性与进行因果推理的能力。  

Simon的*因果排序算法*从方程组的结构属性推导出因果解释。其核心思想是：给定带有指定外生变量的方程组，可以通过分析哪些方程子集可以求解哪些变量子集、以及按何种顺序，来确定内生变量的部分排序。原始算法需要求解NP困难的子问题，后来文献[14]提出了基于完美匹配的计算高效版本。文献[21]扩展了Simon的因果观，使用该算法从方程组构建两种图：*因果排序图*（表示某些干预因果效应的定向簇图）和*马尔可夫排序图*（通过解簇和边缘化方程节点得到的变量节点有向图，可通过dd-分离读取条件独立性）。  

## 3 双部图因果模型  
### 3.1 方程组与双部图  
我们考虑一个包含变量集X_V=(X_v)_{v∈V}的方程组，变量取值于标准博雷尔空间(𝒳_v)_{v∈V}，并划分为*内生*变量X_{V∖U}和*外生*变量X_U（其中U⊆V）。方程{f_j}_{j∈F}的形式为0=φ_j(X_{nb(f_j)})，其中φ_j是可测函数，nb(f_j)⊆V表示方程f_j中出现的变量集合。  

###### 定义1（方程组的双部图）  
方程组的*双部图*是无向双部图G=(V,F,E)，其中V是变量节点集，F是方程节点集，E⊆V×F包含边(v,f)当且仅当变量X_v出现在方程f中。  

我们用一个贯穿全文的例子来说明——文献[18]中浴缸系统的简化版本（图1）。  

###### 例2（平衡状态的浴缸）  
考虑一个平衡状态下持续注水的浴缸（图1）。内生变量为：X_O（通过排水口的水流）、X_D（水深）和X_P（排水口压力）。外生变量为：X_I（水龙头进水）、X_K（排水口面积）和X_g（重力加速度）。平衡由三个独立机制描述：  
f1: 0 = X_I - X_O  (1)  
f2: 0 = X_K√X_P - X_O  (2)  
f3: 0 = X_g X_D - X_P  (3)  
方程(1)表明平衡时流出量等于流入量。方程(2)是托里拆利定律：流出量与排水口面积和压力的平方根成正比。方程(3)是斯蒂文定律：压力与深度和重力加速度成正比。该系统的双部图包含变量节点{X_O, X_P, X_D, X_I, X_K, X_g}和方程节点{f1, f2, f3}，边连接每个方程与其包含的变量。我们用方块表示方程节点，圆圈表示内生节点，外生变量{X_I, X_K, X_g}则不画圆圈：  

### 3.2 因果排序与部分定向  
给定双部图G=(V,F,E)和外生变量集U⊆V，Simon的因果排序算法产生编码因果结构的G的部分定向。该算法首先找到子图G_{(V∖U)∪F}的*完美匹配*M——即边的子集，使得每个内生变量节点和每个方程节点恰好与M中的一条边关联。此匹配将每个方程与唯一的内生变量关联，可视为该方程“求解”的变量。文献[14]证明使用Hopcroft-Karp算法可以高效找到完美匹配。  

然后我们在G的节点上定义等价关系以识别属于同一簇的节点。  

###### 定义3（等价关系与簇）  
给定双部图G=(V,F,E)、子集U⊆V和G_{(V∖U)∪F}的完美匹配M，定义∼为V∪F上由以下条件生成的等价关系：a∼b当且仅当a--b∈M，或a和b位于一个闭合的M-交替路径上（即在匹配边和未匹配边之间交替并返回起点的路径）。节点a的等价类记为[a]，称为一个“簇”。  

###### 引理4  
等价关系∼仅依赖于双部图G和外生变量集U，与完美匹配M的选择无关。注意每个外生节点构成单元素簇。  

利用此等价关系，我们定义双部图的部分定向。  

###### 定义5（部分定向）  
G的*部分定向*⃗G通过定向每条边v--f∈E（v∈V, f∈F）如下获得：...