通过神经算子和因果注意力学习材料的本构行为：塑性与损伤案例研究

# 通过神经算子与因果注意力学习材料本构行为：塑性与损伤案例研究  
来源：https://arxiv.org/html/2609.02194  
Rishabh Arora1,∗, Lisa Scheunemann1, Tim Brepols1, Shahed Rezaei2,∗  
地址：1应用力学研究所，RWTH亚琛工业大学，Mies-van-der-Rohe-Str. 1, D-52074 亚琛，德国  
地址：2ACCESS e.V.，Intzestr. 5, D-52072 亚琛，德国  
地址：∗通讯作者：[email protected], [email protected]  

###### 摘要  
经典路径依赖非弹性材料的本构建模依赖于内部状态变量，其演化方程需基于领域知识假设并通过实验数据标定。然而在许多实际场景中，相关内部变量通常无法通过实验测量，因此本构响应必须完全从测量的应变-应力数据中推断，无需任何材料内部状态的先验知识。我们提出了一种基于材料算子概念的数据驱动本构建模框架，将变形材料视为从其完整应变历史到相应应力响应的泛函映射。与传统自回归或递归公式不同，该模型直接以完整加载路径作为函数到函数映射进行训练，在单次并行前向传播中预测完整的应力轨迹。通过嵌入算子内部的因果掩码注意力机制强制实现时间路径依赖性，该机制将模型注意力限制在过去的材料状态同时保持计算并行性。谱卷积在频域中提供离散化不变的表示，而因果注意力则捕捉高度自适应的非局部历史依赖性。此外，使用正弦激活函数来解决非弹性区域固有的强非线性转变。该框架在表现出复杂现象的多维速率无关材料模型中进行评估，重点关注非线性塑性和延性损伤累积。结果表明，该框架能准确鲁棒地预测不可逆变形机制，同时实现分辨率不变性和出色的并行效率。  

###### 关键词  
本构关系，非线性材料行为，路径依赖材料模型，神经算子，塑性，损伤，数据驱动建模  

## 符号说明  
## 1 引言  
本构模型是所有计算固体力学模拟的核心。它们定义了每个时间步每个积分点处评估的变形与应力之间的关系，因此有限元分析的保真度强烈依赖于其所采用本构定律的精度。对于表现出弹塑性、损伤及塑性-损伤耦合行为的路径依赖非弹性材料，构建这样的定律仍然是计算固体力学中的一个核心挑战。这些材料的决定性特征是记忆性，这意味着任何时刻的应力不仅取决于当前应变，还取决于整个先前的变形历史。这种历史依赖性无法通过单一的代数应力-应变关系捕捉，通常通过内部状态变量的演化来编码材料内部的不可逆过程[1 (https://arxiv.org/html/2609.02194#bib.bib39),2 (https://arxiv.org/html/2609.02194#bib.bib8),3 (https://arxiv.org/html/2609.02194#bib.bib50)]。经典现象学模型通过这些内部状态变量描述此类行为，这些变量由演化方程及合适的屈服面和损伤面的构建共同控制[4 (https://arxiv.org/html/2609.02194#bib.bib1)]。该框架功能强大且物理意义透明，但构建特定模型要求很高。当多个内部机制同时活跃时，任务变得更加困难。塑性硬化、损伤增长及其相互耦合以难以预料的方式相互作用。例如，损伤可能降低驱动塑性流动的有效刚度，而塑性变形反过来又会驱动为损伤提供能量的能量释放。这两个机制可能在包含任意加载、卸载和反向加载序列的加载路径下共同演化[5 (https://arxiv.org/html/2609.02194#bib.bib51)]。  

这些困难推动了数据驱动本构建模的发展，旨在直接从实验或仿真数据中学习应力-应变响应，无需预先指定本构定律的函数形式。使用神经网络表示材料行为可以追溯到[Ghaboussi等人[6]](https://arxiv.org/html/2609.02194#bib.bib17)、[Ghaboussi等人[7]](https://arxiv.org/html/2609.02194#bib.bib16)的开创性工作，他们首次提出使用多层感知器（MLP）直接从数据中学习本构关系，利用了前馈网络的万能逼近特性[8 (https://arxiv.org/html/2609.02194#bib.bib18)]。这一思想迅速被应用于各种材料类别，此后已发展成为一个规模庞大且国际化的研究领域。[Furukawa和Yagawa[9]](https://arxiv.org/html/2609.02194#bib.bib58)开发了一种隐式神经粘塑性模型，其中网络预测粘塑性应变和内部变量的速率，将该方法扩展到速率相关行为。[Fernández等人[10]](https://arxiv.org/html/2609.02194#bib.bib28)将人工神经网络作为晶界界面力学的直接数据驱动代理，从数据中学习晶界的本构行为，而非从预设的物理模型推导。[Zhang和Mohr[11]](https://arxiv.org/html/2609.02194#bib.bib59)证明了神经网络通过建模具有各向同性硬化的von Mises塑性来有效捕捉路径依赖材料行为的能力。为了在不使用显式窗口的情况下捕捉加载历史，[Huang等人[12]](https://arxiv.org/html/2609.02194#bib.bib9)开发了一种机器学习驱动的材料建模框架，其中塑性通过本征正交分解表示，累积绝对应变作为驱动降阶塑性响应的历史变量。[Fernández等人[13]](https://arxiv.org/html/2609.02194#bib.bib52)将材料理论与数据驱动校准相结合，构建了用于有限变形的各向异性超弹性本构模型，并将该方法应用于立方晶格超材料。[Mianroodi等人[14]](https://arxiv.org/html/2609.02194#bib.bib45)训练了一个卷积网络，将纳米多孔微观结构的图像直接映射到通过分子静力学计算的弹性张量。利用卷积神经网络，[Frankel等人[15]](https://arxiv.org/html/2609.02194#bib.bib10)基于初始微观结构特征和施加的外部加载条件成功预测了应力场的时空演化。为了加速计算昂贵的晶体塑性有限元模拟，[Ali等人[16]](https://arxiv.org/html/2609.02194#bib.bib30)开发了基于前馈神经网络（FFNN）的代理模型，重点捕捉代表性体积单元（RVE）的均质化响应。该领域的进一步工作在[17 (https://arxiv.org/html/2609.02194#bib.bib21),18 (https://arxiv.org/html/2609.02194#bib.bib53),19 (https://arxiv.org/html/2609.02194#bib.bib15),20 (https://arxiv.org/html/2609.02194#bib.bib6)]中有详细综述。  

这些贡献确立了该领域的核心前提，即一个足够表达能力的网络可以编码一个无需预设函数形式的应力-应变关系，并构成了许多后续工作的基础。尽管这些模型影响深远，但它们共享几个局限性，这些局限性塑造了之后的研究方向。它们对前面固定时间步窗口的依赖将学习到的响应绑定到训练数据的特定时间采样上，导致当模型在不同时间步长下使用时精度下降。  

一个根本不同的策略是无模型的数据驱动计算范式，它完全放弃本构模型，而不是通过神经网络学习它。[Kirchdoerfer和Ortiz[21]](https://arxiv.org/html/2609.02194#bib.bib19)和[Eggersmann等人[22]](https://arxiv.org/html/2609.02194#bib.bib27)分别为线性弹性和非弹性材料引入了这种方法。该研究考察了具有记忆（使用完整变形历史）的材料、微分材料（仅使用短暂的近期历史）和历史变量（使用临时辅助变量）。每种表示都涉及一个自然的权衡，这持续激励着进一步的发展。完整历史表示提供了最完整的记忆描述，但增加了数据集的维度，有利于短至中等时间范围的问题；而历史变量表示更具可扩展性，但留下了如何系统地选择或优化此类变量的问题。  

此后，大量工作试图通过直接将已知结构嵌入学习模型中来恢复非弹性材料的物理一致性。一个方向通过构造强制执行热力学定律（如Masi等人[23 (https://arxiv.org/html/2609.02194#bib.bib13),24 (https://arxiv.org/html/2609.02194#bib.bib26)]的TANN），使预测响应在设计上就是可接受的，而不仅仅在训练期间。另一条由[Vlassis和Sun[25]](https://arxiv.org/html/2609.02194#bib.bib2)提出的工作则将热力学一致性构建到热力学信息神经网络中。该方法使用深度网络预测来演化如屈服面和塑性流动规则等可解释的组件，这些组件依赖于内部变量。为了解决特定材料的微分方程，[Haghighat等人[26]](https://arxiv.org/html/2609.02194#bib.bib14)详细描述了一种替代方法，该方法使用物理信息神经网络（PINN）[27 (https://arxiv.org/html/2609.02194#bib.bib25)]作为其基础框架。通过训练神经网络预测切线刚度矩阵的Cholesky因子，[Xu等人[28]](https://arxiv.org/html/2609.02194#bib.bib31)建立了一种应力预测的替代方法。最终，这种构造通过弱强制应变能凸性提高了有限元模拟的数值稳定性。[Kalina等人[29]](https://arxiv.org/html/2609.02194#bib.bib12)引入了一种利用物理约束神经网络的数据驱动多尺度方法来建模有限应变超弹性。[Klein等人[30]](https://arxiv.org/html/2609.02194#bib.bib11)的相关研究也探索了使用多凸神经网络开发本构模型。[Rezaei等人[31]](https://arxiv.org/html/2609.02194#bib.bib40)引入了COMM-PINN，一种物理信息神经网络，它能即时求解材料的非线性、路径依赖本构方程，并在训练期间满足热力学约束，无需依赖初始训练数据。[Rosenkranz等人[32]](https://arxiv.org/html/2609.02194#bib.bib60)的工作提出了一种用于非线性粘弹性材料的物理增强神经网络模型，该模型在构造上是热力学一致的（基于广义标准材料通过自由能和耗散势构建）。[Aldakheel等人[33]](https://arxiv.org/html/2609.02194#bib.bib3)将弹粘塑性材料中脆性和延性断裂的控制方程直接嵌入前馈网络架构中，通过构造强制执行热力学一致性。[As’ad和Farhat[34]](https://arxiv.org/html/2609.02194#bib.bib5)提出了一种力学信息的训练程序，约束学习模型以满足动力学和材料稳定性，而[Roy等人[35]](https://arxiv.org/html/2609.02194#bib.bib4)将von Mises塑性的控制方程直接嵌入到用于平面应变边值问题的物理信息网络中。  

第二个方向寻求的不是黑盒代理，而是可解释的方法。例如，通过候选项库上的稀疏回归方法直接发现控制方程[36 (https://arxiv.org/html/2609.02194#bib.bib20)]，这一想法最近通过将多种稀疏回归算法与模型选择标准相结合以自动化本构模型发现而得以扩展[37 (https://arxiv.org/html/2609.02194#bib.bib64)]。[Linka等人[38]](https://arxiv.org/html/2609.02194#bib.bib46)和[Linka与Kuhl[39]](https://arxiv.org/html/2609.02194#bib.bib47)的本构人工神经网络（CANN）框架构建网络结构，使其架构嵌入运动学和热力学约束，且权重具有直接的物理意义，将模型选择转变为自动化模型发现。这些想法后来被扩展到非弹性行为[40 (https://arxiv.org/html/2609.02194#bib.bib48)]和各向异性有限应变粘弹性[41 (https://arxiv.org/html/2609.02194#bib.bib49)]。  

尽管这些物理结构化模型准确、可解释且数据高效，但它们也带来权衡。它们需要重新引入纯粹数据驱动方法试图避免的确切领域假设，例如特定的自由能形式、选定的不变量集或假设的内部变量族。当内部状态变量通过[Masi和Stefanou[42]](https://arxiv.org/html/2609.02194#bib.bib54)工作中所述的编码器-解码器构造被自动发现时，用户仍然必须规定一个潜在的热力学势和耗散格式。因此，这些方法在底层物理结构至少部分已知时最为有效。  

在没有规定此类结构的情况下，当本构响应（包括其内部记忆）必须仅从测量的应变-历史历史中推断时，精确建模路径依赖行为仍然是一个具有挑战性且基本未解决的问题，也是本文所探讨的背景。  

与物理嵌入方法的发展并行，长期以来针对路径依赖材料的纯数据驱动策略一直依赖序列建模架构来捕捉历史依赖性，而无需显式内部状态变量。具有显式历史窗口的FFNN[6 (https://arxiv.org/html/2609.02194#bib.bib17),43 (https://arxiv.org/html/2609.02194#bib.bib22)]以自回归方式将过去有限窗口的应变-应力对映射到下一个应力增量：在每个时间步，网络首先基于最近的k个应变-应力观测值和新的应变增量预测新应力σ_{n+1}，然后将预测反馈回历史缓冲区，并重复该过程。循环神经网络（RNN）及其门控变体通过将加载记忆编码在演化的隐藏状态h_t中来避免显式输入窗口，该状态在消耗应变轨迹时逐序更新；[Cho等人[44]](https://arxiv.org/html/2609.02194#bib.bib23)]的门控机制...