Tambara装备

# Tambara 装备 来源：https://bartoszmilewski.com/2026/07/11/tambara-equipment/ 我最初被范畴论吸引，是因为想理解 Haskell 的光学（optics）。van Laarhoven 的函子表示和 Kmett 对 Tambara 模的使用让我感到困惑。通过用 Yoneda 引理玩俄罗斯方块，我取得了一些进展，攻破了越来越深奥的主题。在牛津应用范畴论 Adjoint School（https://www.appliedcategorytheory.org/adjoint-school-act-2019/）的一群研究人员和学生的合作下，我们解决了遍历光学（traversal optics）的问题，并发表了一篇论文（https://compositionality.episciences.org/13530/pdf），总结了余函子光学（profunctor optics）的进展。 光学位于幺半群作用（monoidal actions）和 Tambara 模的交汇处。光学与 Tambara 表示之间存在对偶性。这与数学家所说的 Tannakian 重建有关，即从一个代数对象的所有表示中恢复出该对象本身。 难怪最近 Mateusz Stroiński 的文章《模范畴、内部双模与 Tambara 模》（https://arxiv.org/abs/2210.13443v1）引起了我的兴趣。原来 Tambara 模可以被视为双范畴中的水平箭头，而双范畴也是一种 Proarrow 装备。我将尝试勾勒这篇论文的内容，并用 Haskell 代码加以说明。 口号是：Tambara 模之于幺半群函子，正如余函子之于函子。 双范畴设定下的 Tambara 模的主要优势在于，它可以直接用于丰富范畴（enriched categories）。 ## 幺半群函子重述 为简单起见，我将使用一个简化版的严格幺半群函子（https://bartoszmilewski.com/2026/06/30/actegories/），它从幺半群范畴的定义中省略了对象约束： 这里，`alpha'` 是 `alpha` 的逆。 幺半群函子可以复合： 复合结果仍然是幺半群函子： 注意使用类型应用来帮助 Haskell 类型检查器。 ## Tambara 模 Tambara 模是一种与幺半群范畴的作用相容的余函子。如果将余函子解释为一种证明相关的二元关系，那么 Tambara 模具有这样的性质：当两个对象相关时，用同一个对象 `m` 对它们进行“乘法”后，它们仍然相关。这里的乘法指的是幺半群范畴 \mathbf M 的作用。换句话说，Tambara 模是一个配备了变换的余函子 J \colon A^{op} \times B \to \mathbf{Set}： \lambda_{m a b} \colon J a b \to J (m \triangleright_1 a) (m \triangleright_2 b) 该变换在 a 和 b 上是自然的，在 m 上是 dinatural 的。该作用与幺半群结构良好地交互： \lambda_{(m \otimes n) a b} = \lambda_{m (n \triangleright a) (n \triangleright b)} \circ \lambda_{n a b} \lambda_{1 a b} = id （需要一些结合子和单位子修正）。 我们可以在 Haskell 中将其表示为类型类： 我选择专注于作用范畴的*左作用*，但也可以轻松定义右作用或两者兼有。为简单起见，我对两个参数使用了相同的作用。在一般情况下，我们会有两个独立的作用范畴。 Tambara 模最简单的例子是 hom-余函子： 这里我使用了作用的双函子性质。 Tambara 模构成一个范畴，其中保持作用的自然变换作为态射。 使用余端（coend）的常见余函子复合也适用于 Tambara 模。 复合结果仍然是 Tambara 模： 综上所述，我们有一个双范畴 \mathbf{Tam}，其中作用范畴是 0-胞腔，带余端复合的 Tambara 模是 1-胞腔，它们之间的自然变换是 2-胞腔。 此外，内 Tambara 模（即在单一范畴内作用的 Tambara 模）构成一个*幺半群*双范畴，其中余函子复合充当张量积，hom-余函子充当单位元。 ## Tambara 装备 我们之前研究过一个双范畴 \mathbb{P}rof，其中范畴是 0-胞腔，余函子是水平箭头，函子是垂直箭头，自然变换是 2-胞腔。这个双范畴恰好是一种 Proarrow 装备（https://bartoszmilewski.com/2026/04/24/profunctor-equipment/），它以特定方式将函子与可表示的余函子联系起来。 事实证明，存在一种类似的构造，其中作用范畴是 0-胞腔，Tambara 模是水平 1-胞腔，幺半群函子是垂直 1-胞腔。为了形成 2-胞腔，我们首先需要能够沿着一对幺半群函子提升（或*限制*）一个 Tambara 模。我们将 J 的提升定义为余函子： \langle a, c \rangle \mapsto J(f a)(g c) 或者使用占位符，J(f -) (g =) 在 Haskell 中表示如下： Tambara 模的提升仍然是 Tambara 模，其结构映射定义为复合： J (f a) (g c) \xrightarrow{\lambda_{m (f a) (g c)}} J (m \triangleright_2 f a) (m \triangleright_2 g c) \xrightarrow {J \alpha^{-1} \alpha} J (f (m \triangleright_1 a)) (g (m \triangleright_1 c)) 第二个箭头将（可逆的）幺半群函子结构映射提升到 J： \alpha \colon m \triangleright_2 g c \to g (m \triangleright_1 c) 以下是 Haskell 中的相同实现： 我使用类型应用来选择对应于 `act2` 的正确左作用。 2-胞腔则是从 H 到 J 的提升的自然变换。 [](https://i0.wp.com/bartoszmilewski.com/wp-content/uploads/2026/04/Screenshot-2026-04-18-at-16.48.46.png?ssl=1) 或者，在 Haskell 中： 同伴（companion）和共轭（conjoint）是可表示的余函子，只要 `f` 是幺半群函子（`Identity` 函子平凡地是幺半群的），它们自动是 Tambara 模： 同伴和共轭的单位元和余单位元胞腔相对容易定义（参见链接的代码）。 ## 自由 Tambara 与光学 存在一个明显的遗忘函子从 \mathbf{Tamb} 到 \mathbf{Prof}（它忘记作用）。这个函子有一个左伴随。对于任何余函子 J，它生成一个自由 Tambara 模，由以下余端给出： (\Phi J) \, s t = \int^m \int^{x y} C(s, m \triangleright x) \times J x y \times C(m \triangleright y, t) 在 Haskell 中，我们将其建模为存在数据类型： 结果确实是 Tambara 模： 巧合的是，光学可以被定义为作用在可表示余函子 \Theta_{a b} x y = C(x, a) \times C(b, y) 上的自由 Tambara 模。实际上，应用 Yoneda 归约，我们得到： O\, s t a b = \int^{m} C(s, m \triangleright a) \times C(m \triangleright b, t) 在 Haskell 中： 给出： 经过 Yoneda 归约，它同构于： ## 内化幺半群作用 幺半群作用，作为函子 ![\mathbf M \to [C, C]](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cmathbf+M+%5Cto+%5BC%2C+C%5D&bg=ffffff&fg=29303b&s=0&c=20201002)，如果它有右伴随，则可以在 M 中内化： C(m \triangleright a, t) \cong \mathbf M (m, \{a, t \} ) 如果你把作用看作“乘法”，那么这个伴随关系类似于柯里化，而右伴随则扮演了“内部 hom”的角色。 在 Haskell 中，我们定义一个类型类： 我们可以利用这个伴随关系来简化乘法光学： \int^{m} C(s, m \triangleright a) \times C(m \triangleright b, t) \cong \int^{m} C(s, m \triangleright a) \times \mathbf M (m, \{b, t \}) 使用 Yoneda 归约（即对 m 进行“积分”），这等价于： O \, s t a b \cong C(s, \{b, t \} \triangleright a ) 对于加法光学，我们使用余积的右伴随，在乘积范畴中产生 hom 集。 这两种技巧都用于简化遍历（traversals），它们是由多项式函子生成的光学： ![\int^{c \colon [\mathbb N , Set]}} C(s, \sum_n c_n \times a^n) \times C (\sum_m c_m \times b^m, t)](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cint%5E%7Bc+%5Ccolon+%5B%5Cmathbb+N+%2C+Set%5D%7D+C%28s%2C+%5Csum_n+c_n+%5Ctimes+a%5En%29+%5Ctimes+C+%28%5Csum_m+c_m+%5Ctimes+b%5Em%2C+t%29&bg=ffffff&fg=29303b&s=0&c=20201002) 这里，c 是一个自然数索引的对象族，具有由卷积给出的幺半群结构；a^n 和 b^n 是幂。 我们首先使用余积伴随： C (\sum_m c_m \times b^m, t) \cong \prod_m C(c_m \times b^m, t) 然后跟随柯里化伴随。我们得到遍历的公式： T \, s t a b \cong Set(s, \sum_n Set(b^n, t) \times a^n) 结果可以在 Haskell 中通过将幂替换为列表来说明： ## 内部幺半群 内 hom\{a, a\} 自动是 \mathbf M 中的幺半群。实际上，我们可以定义幺半群乘法为： \mathbf M(\{a, a\} \otimes \{a, a\}, \{a, a\}) \cong C\big((\{a, a\} \otimes \{a, a\}) \triangleright a, a\big) 右侧可以通过双重应用伴随的余单位元来实现： \epsilon_{a a} = \{a, a\} \triangleright a \to a 在 Haskell 中，我们首先在幺半群范畴内部定义一个幺半群： 然后证明 `hom a a` 是它的一个实例： 其中伴随的余单位元是 `eval` 函数： 本文的 Haskell 代码可在此处（https://v15.next.forgejo.org/BartoszMilewski/Categories/src/branch/main/src/Tambara.hs）获取。