Actegories

# 作用范畴 来源：https://bartoszmilewski.com/2026/06/30/actegories/ 前文：双范畴中的Kan扩张（https://bartoszmilewski.com/2026/06/13/kan-extensions-in-double-categories/） 在编程中，作用范畴在光学（透镜、棱镜、遍历等）中扮演着核心角色。要理解作用范畴，我们先从幺半范畴的定义开始。 ## 幺半范畴 一个幺半范畴 \(\mathbf M\) 是装备了张量积的范畴。张量积是一个函子 \(\otimes \colon \mathbf M \times \mathbf M \to \mathbf M\)。我们假定这个乘积是结合的且具有单位——在同构意义下。这意味着存在一个可逆的结合子： \[\alpha_{a, b, c} \colon (a \otimes b) \otimes c \to a \otimes (b \otimes c)\] 关于所有三个参数自然。我们还有一个单位对象 \(1\) 和两个（可逆、自然）的单位子： \[\lambda_a \colon 1 \otimes a \to a\] \[\rho_a \colon a \otimes 1 \to a\] 为了更好地理解，我们尝试在 Haskell 中建模幺半范畴。我们通过张量积的类型 `ten` 进行参数化，我们希望它是一个 `Bifunctor`： ```haskell class (Bifunctor ten) => Monoidal ten where ``` 定义 Hask 的子范畴的标准方法是通过施加约束来限制对象的类型。这种限制具有特殊的种类，`Constraint`： ```haskell type Obj :: Type -> Constraint ``` 这种约束的一个常见例子是类型类。例如，`Monoid` 将范畴的对象限制为幺半群。（原则上，我们也应该限制箭头的类型，这里限制为幺半群同态。） 我们可以将幺半范畴的单位指定为关联类型（通过 `ten` 参数化）： ```haskell type Unit ten :: Type ``` 单位应该是范畴的对象，因此它应该满足约束。我们可以在定义中将其编码为先决条件：`obj (Unit ten)`。这会导致循环，我们可以使用语言编译指令 `UndecidableSuperClasses` 来克服： ```haskell class (Obj (Unit ten), Bifunctor ten) => Monoidal ten where type Unit ten :: Type unitObj :: Obj (Unit ten) associator :: (Obj a, Obj b, Obj c) => (a `ten` b) `ten` c -> a `ten` (b `ten` c) associatorInv :: (Obj a, Obj b, Obj c) => a `ten` (b `ten` c) -> (a `ten` b) `ten` c leftUnitor :: Obj a => Unit ten `ten` a -> a leftUnitorInv :: Obj a => a -> Unit ten `ten` a rightUnitor :: Obj a => a `ten` Unit ten -> a rightUnitorInv :: Obj a => a -> a `ten` Unit ten ``` 注意这些函数类型中的 `obj` 约束以及张量的中缀表示法。 让我们来看几个例子。最简单的是以笛卡尔积为张量的所有类型的范畴。我们使用一个空类来定义 `Hask`，并使所有对象成为其实例： ```haskell class Hask a instance Hask a ``` 类似地，我们可以定义以 `Either` 为张量积的幺半范畴，或以 `Monoid` 为对象约束的幺半范畴。 ## 作用范畴 作用范畴是支持幺半范畴作用的范畴。可以将其想象为用幺半范畴的对象“乘”或“缩放”该范畴的对象。（左）作用可以定义为从乘积范畴到 C 的函子： \[\triangleright \colon \mathbf M \times C \to C\] 或者，经过柯里化后，作为从 \(\mathbf M\) 到自函子范畴的函子： ![\triangleright \colon \mathbf M \to [C, C]](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Ctriangleright+%5Ccolon+%5Cmathbf+M+%5Cto+%5BC%2C+C%5D&bg=ffffff&fg=29303b&s=0&c=20201002) 一致性条件是连接作用 \(\triangleright\) 与张量积 \(\otimes\) 及其单位 \(1\) 的可逆自然变换： \[\alpha_{m n a} \colon (m \otimes n) \triangleright a \to m \triangleright (n \triangleright a)\] \[\lambda_{a} \colon 1 \triangleright a \to a\] 作用在两个参数上都是函子性的，因此为简单起见，我们的 Haskell 翻译将其固定为 `Bifunctor`。（`Profunctor` 作用也是可能的。从范畴论的角度看，它对应使用 \(\mathbf M^{op}\) 作为幺半范畴。） ```haskell class (Bifunctor act, Monoidal ten) => Actegory act ten | act -> ten where act :: act m a -> a ``` 另一个简化的假设是作用唯一标识张量积，这里编码为函数依赖 `act -> ten`。 作用范畴的最简单例子是笛卡尔积的自作用。这里，幺半范畴作用于自身： ```haskell instance Actegory (,) (,) where act = ... ``` ## 幺半函子 使用相同幺半范畴进行作用的范畴构成一个范畴。该范畴中的态射是（严格）幺半函子。这些函子将一个作用映射到另一个作用： \[f (m \triangleright_1 a) \cong m \triangleright_2 f a\] 在 Haskell 中，我们可以将其建模为： ```haskell class (Actegory act1 ten, Actegory act2 ten) => MonoidalFunctor f ten act1 act2 where ``` 事实上，作用范畴构成一个双范畴，其中保持作用的自然变换作用在幺半函子之间。 这里有一个有趣的例子，展示了非平凡作用范畴之间的幺半函子： ```haskell instance MonoidalFunctor (Map String) (,) (,) (,) where ``` Haskell 代码可见[此处](https://v15.next.forgejo.org/BartoszMilewski/Categories/src/branch/main/src/Actegory.hs)。