OpenAI大量新证明中最令人兴奋的主张

# OpenAI 大量新证明中最令人兴奋的成果 来源：https://www.scientificamerican.com/article/the-most-exciting-claims-from-openais-heap-of-new-proofs/ 周二下午，OpenAI 发布了超过700篇论文（https://www.scientificamerican.com/article/openai-unleashes-hundreds-more-math-results-upon-a-field-already-in-shock/），报告了在理论研究领域372个开放问题上取得的证明、解答和进展。 数学家们需要时间来逐一审阅所有人工智能生成的结果。目前还没有任何人——甚至OpenAI自己的研究人员——能够把所有内容读完。并非所有证明都通过了自动逻辑验证平台 Lean 的认证——事实上，一些论文在外来科学家发现错误后已被撤回。OpenAI 也没有提供完整的提示词或其智能体发现这些证明的运行时间细节，其官员在一篇关于这些结果的博客文章中承认（https://openai.com/index/sharing-ai-progress-in-mathematics/），引用和文字描述在未来的发布中可以改进。 **延伸阅读：****数学家们对OpenAI的新成果既惊叹又抱怨**（https://www.scientificamerican.com/article/mathematicians-marvel-and-grumble-at-openais-trove-of-new-results/） --- ## 关于支持科学新闻 如果你喜欢这篇文章，请考虑订阅以支持我们屡获殊荣的新闻报道（https://www.scientificamerican.com/getsciam/）。通过订阅，你帮助确保关于当今塑造世界的新发现和新思想的深度报道能够持续发展。 --- 尽管存在这些问题，专家们表示这些结果令人瞠目结舌。这些论文涵盖了数学、理论计算机科学、物理学等多个领域。其中一些发现，若是一年前由人类作者完成，足以轻松获得顶级研究奖项。 以下是根据专家意见，OpenAI 声称已解决的一些最重要的问题。 **数学** ## **迈向黎曼猜想** 黎曼猜想是数学中最令人恐惧的开放问题（https://www.scientificamerican.com/article/the-riemann-hypothesis-is-a-million-dollar-math-problem-hardly-anyone-is-trying-to-solve/）——专家们今年早些时候告诉《科学美国人》，他们几乎不去想它，因为他们甚至不知道该从何处着手。这种情况可能刚刚发生了改变。 该猜想围绕一个特殊的复杂函数——黎曼Zeta函数展开——具体而言，就是哪些数代入该函数会使结果为零。如果你能神奇地知道所有这些特殊的输入值，你就基本上知道了所有素数——数学家们最钟爱的对象，也是整个数轴的基石。 OpenAI 的发布包含两个关于这些"零点"的重要成果。其中一个证明了"拟黎曼猜想"，这是迈向证明完整猜想这一圣杯的巨大一步。智利天主教大学的数学家 Hector Pasten 说："黎曼猜想的许多应用并不需要完整的黎曼猜想。拟黎曼猜想对许多应用来说已经绰绰有余。"例如，数学家们现在对素数在数轴上分布位置的估计比以往任何时候都要好。 至于这个证明是否是解决完整猜想的路径，目前还言之过早。Pasten 说："有些人认为这是朝着黎曼猜想的进展；另一些人则说不是。通常'进展'这个词只有在事后回顾时才有意义——当你看到问题最终是如何被解决的时候。" 第二个成果表明，Zeta函数及其许多被称为"Dirichlet L-函数"的推广形式都不具有"Siegel零点"——这是一种特别棘手的零点，如果存在将与猜想相矛盾。Pasten 说："这不仅仅是关于 Siegel 零点的进展——它彻底解决了这个问题。这太了不起了。" ## **希尔伯特第十问题** 希尔伯特第十问题探讨的是哪些数学真理是可知的，哪些是不可知的。它问的是：是否有可能构建一种算法，将所有简单的代数问题分成两堆。一堆是有整数解的方程，例如 *y*²= 2*x*（其中 *x*= 2 和 *y*= 2 是一个解）。另一堆是没有整数解的方程，例如 *y*² + *x*²= –1。 1970年，数学家 Yuri Matiyasevich 证明了这样的算法是不可能存在的。没有任何计算机能告诉你一个方程是否有整数解。但自那以后，数学家们一直在努力扩展这一成果，追问当允许变量取更广泛的值（如分数、平方根或虚数）时，计算机是否能对方程进行分类。OpenAI 的模型证明了即使允许变量取任何有理数——整数或分数——数学世界仍然是不可分类的。 新证明使用了 Pasten 来自看似不同数学领域的两个想法——连他自己都没有意识到它们可以这样结合。Pasten 说："它们竟然能联系在一起，这让我非常惊讶。他们的总体策略是原创的。" ## **挂谷猜想** 挂谷猜想可以被想象成在平板上滑动和旋转一支粉笔，使其指向各个方向，同时用粉笔覆盖的面积尽可能小。数学家王宏（Hong Wang）今年夏天因与数学家 Joshua Zahl 共同解决该问题的三维版本而获得菲尔兹奖。在那个版本中，粉笔在空中旋转——展示旋转所能占据的最小三维空间。现在，OpenAI 的模型已经解决了四维版本的问题。 ## **Artin 猜想、Erdős 猜想等** 其他重要的数论成果包括 Artin 关于原根的猜想（https://en.wikipedia.org/wiki/Artin's_conjecture_on_primitive_roots），涉及在某个最大数处停止的特殊数系，以及对以出题闻名的传奇数学家 Paul Erdős 或许最著名的猜想（https://en.wikipedia.org/wiki/Erd%C5%91s_conjecture_on_arithmetic_progressions）的证明，还有一项与朗兰兹纲领相关的进展——朗兰兹纲领是一系列宏大的猜想，有时被称为"数学的大统一理论"（https://www.scientificamerican.com/article/the-evolving-quest-for-a-grand-unified-theory-of-mathematics/）。 **物理学** ## **婴儿版杨-米尔斯理论** 表面上看，"非线性Sigma模型"似乎与粒子物理学毫无关系。在网格的每个点上，你放置一个指向不同方向的箭头，以表示相互作用的、自旋的原子。目标是证明在一个地方的箭头旋转不会在远处被检测到。但这一目标与"杨-米尔斯存在性和质量间隙问题"（https://www.claymath.org/millennium/yang-mills-the-maths-gap/）有着惊人的隐藏相似性——后者是剩余五个千禧年大奖难题之一，旨在用严格的数学为粒子物理学的"标准模型"奠定基础。哈佛大学数学物理学家 Michael Douglas 说："这可以追溯到50年前，和杨-米尔斯问题类似，被广泛认为是杨-米尔斯的'热身'。" OpenAI 的仓库包含多篇论文，声称完全解决了这一更简单模型中等价于杨-米尔斯的问题。纽约大学数学家 Roland Bauerschmidt 表示，其中第一篇论文既具有开创性又易于理解。他说："我还没有完全消化它，也没有理解所有细节，但它看起来非常合理。"他说，与这个问题相关的其余论文则是难以理解的垃圾，连人类专家都难以验证。Bauerschmidt 说："第二篇论文糟糕透了。如果这些成果是一个无名之辈发给我的，我早就删掉那封邮件了。" ## **爱因斯坦的"婴儿"** 物理学家知道一种叫做"玻色-爱因斯坦凝聚体"的奇异物质状态是可能存在的，因为研究人员已经在实验室中制造出了它——为此他们获得了2001年诺贝尔物理学奖。在这种材料中，气体中的所有原子占据完全相同的量子状态，在不寻常的宏观尺度上产生奇异的量子效应。Albert Einstein 最初是在基于物理学家 Satyendra Nath Bose 1924年论文的研究中预测了它的存在，但他只证明了这种状态在一种不现实的气体（其中没有任何两个原子相互作用）中是数学上可能的。OpenAI 的模型将这一预测扩展到了有相互作用的情况。它使用类似的技术证明了一个关于铁磁学数学的重要猜想——这个猜想由著名数学物理学家 Freeman Dyson 与其两位合作者在1976年错误地声称已证明。 **计算机科学** ## **更快的矩阵乘法** 任何上过线性代数课程的人都能证明，矩阵——排列在二维数组中的数字集合——是许多不同计算机科学领域的基础。快速地操纵和执行矩阵运算对于计算机图形学、复杂模拟和机器学习本身都很重要。研究这一问题的麻省理工学院计算机科学教授 Virginia Vassilevska Williams 说："矩阵乘法无处不在。而且，它的复杂性是计算机科学中最伟大的谜团之一。"两个矩阵相乘需要大量繁琐的计算。 完成矩阵乘法所需的数学运算次数与矩阵长度的立方成正比。科学家们一直在寻找缩小指数的方法。如果所需的运算次数少于长度的立方，就可能带来指数级的时间节省。几年前，Vassilevska Williams 和她的同事们已将该指数从3降至约2.37，这是有史以来的最低值。[问题107](https://github.com/openai/math/blob/main/preprints/Matrix-Multiplication-Nine-Fourths-October-2-2026/paper.pdf)声称了一个新的最低上界 9/4，即2.25。论文109据说使用类似方法找到了（https://github.com/openai/math/blob/main/preprints/Integer-multiplication-below-n-log-n-September-23-2026/paper.pdf）新的、更快的整数乘法方式。Vassilevska Williams 说："也许从某种略带诡异的角度来说，矩阵乘法上的进展可以被看作大语言模型试图加速自身的一种尝试。" ## **L = RL = BPL** 如果说算法研究关注的是解决问题的最佳方式，那么复杂性理论问的则恰恰相反：找到最佳解决方案——那些无法被超越的理想算法——有多难？这一挑战涉及思考计算机拥有哪些类型的资源，以及哪些资源让人能解决更多问题。关于计算机可解决问题的一个经典难题——P与NP问题——很可能是千禧年大奖难题中最难的之一，也是最著名的复杂性问题。 算法和复杂性理论的一个关键都在于追问解决方案或问题如何随输入规模而变化。例如，在乘法的案例中，研究人员不仅想知道两个100位数相乘的最佳方法，还想知道乘法所需时间如何随数字位数变化。 L，也称为 LOGSPACE，是那些只需极少空间——与问题描述规模成对数关系——就能解决的问题的复杂性类。而 RL 和 BPL 则是 LOGSPACE 的随机化版本，计算机可以在其中利用随机性，只需大部分时候得出正确答案即可。正如[问题103](https://github.com/openai/math/blob/main/preprints/Exact-Derandomization-of-Logarithmic-Space-L-equals-RL-equals-BPL-September-23-2026/paper.pdf)所声称的那样，证明 L = RL = BPL 表明每一个可以用随机性解决的此类问题也可以不用随机性来解决，这就是所谓的去随机化。 在实践中，计算机程序无时无刻不在使用随机性，但许多研究人员认为随机性可能并不能加速算法。普林斯顿大学复杂性理论家 Ran Raz（https://engineering.princeton.edu/faculty/ran-raz）说："我们有充分的理由相信这一点，但我们不知道如何证明。"虽然曾有证据（https://eccc.weizmann.ac.il/eccc-reports/2005/TR05-022/）表明 L = RL 很可能成立，但直到现在，直接证明它一直难以实现。Raz 说："（在那之前）我没有看到任何有希望的方向。" ## **唯一博弈问题** 唯一博弈猜想也属于复杂性理论的范畴。该猜想最早于2002年提出（https://dl.acm.org/doi/epdf/10.1145/509907.510017），它隐含地询问：在给定一组约束条件的情况下，满足其中一部分约束有多难。这里被审视的资源是"近似"——也就是说，计算机不需要得到完全正确的答案，只需接近正确答案即可。虽然唯一博弈问题并不直接涉及近似，但证明它很难就意味着找到许多问题的近似答案与直接找到答案一样困难。 [问题102](https://github.com/openai/math/blob/main/preprints/The-Unique-Games-Theorem-September-23-2026/paper.pdf)声称做到了这一点，证明了唯一博弈问题是困难的。这一成果引发了一些争议。其他研究者在得知 OpenAI 正在研究该问题后，急忙赶在被 AI 抢先之前发布了自己的部分进展（https://www.reddit.com/r/math/comments/1wge5jj/progress_towards_proving_the_unique_games/）。 ## **幺正综合** 在量子计算领域，[问题283](https://github.com/openai/math/blob/main/preprints/Polynomial-Time-Unitary-Synthesis-from-a-Boolean-Oracle-October-5-2026/paper.pdf)可能让我们更好地理解真正的量子问题有多难。科学家们理解经典计算机中比特的工作方式并能对其进行操控，但他们对量子计算中经典比特的对应物——量子比特——的掌握还不够深入。 幺正综合问题最早由 Scott Aaronson 和 Greg Kuperberg 两位研究人员于2006年提出（https://arxiv.org/abs/quant-ph/0604056）。它试图将处理量子比特与处理经典比特联系起来。在这一案例中，OpenAI 表明，对于量子比特量子态的任何一种操作——称为幺正变换——他们都能构建一个量子电路和一个仅涉及经典比特的问题，使得该电路和问题可以用来计算这些操作，即可以"综合"出那个幺正变换。重要的是，这一成果提供了一些证据，表明困难的量子问题可能并不比困难的经典问题难多少——这是一个令人惊讶的结果，该领域的研究者此前并不清楚（https://eprint.iacr.org/2023/1602.pdf）这一点。 ## **快速傅里叶变换** 快速傅里叶变换是一种算法，其发现可追溯至1965年（https://research.ibm.com/blog/the-fast-fourier-transform-how-and-why-it-works），对互联网和其他数字通信形式至关重要。在许多应用中，包括网络和医学扫描，它将从信号中接收到的信息转换为机器可用的实际频率数据。该变换通过对一堆信号求和并将每个信号乘以一个特殊的指数因子来工作。虽然暴力执行这些乘法需要二次时间（时间与信号数量的平方成正比），但"快速"协议大约只需要 *n* log *n* 的时间（其中 *n* 是接收到的信号数量），这对于互联网等应用来说已经足够快了。 论文130声称将这一 *n* log *n* 的时间缩减为