利用人工智能解决逆偏微分方程问题：过去、现在与展望

# 利用人工智能解决逆偏分方程问题：过去、现在与展望 来源：https://arxiv.org/html/2605.16966 Zhentao Tantanzhentao@zju\.edu\.cn (https://arxiv.org/html/2605.16966v1/mailto:[email protected])浙江大学人工智能协同创新中心 杭州 浙江 中国,Yuze Haoyuzehao@zju\.edu\.cn (https://arxiv.org/html/2605.16966v1/mailto:[email protected])浙江大学人工智能协同创新中心 杭州 浙江 中国,Boyi Zouboyizou@zju\.edu\.cn (https://arxiv.org/html/2605.16966v1/mailto:[email protected])浙江大学数学科学学院 杭州 浙江 中国,Mingsheng Longmingsheng@tsinghua\.edu\.cn (https://arxiv.org/html/2605.16966v1/mailto:[email protected])清华大学 北京 中国,Yi Yangyangyics@zju\.edu\.cn (https://arxiv.org/html/2605.16966v1/mailto:[email protected])浙江大学人工智能协同创新中心 杭州 浙江 中国,以及Gang Baobaog@zju\.edu\.cn (https://arxiv.org/html/2605.16966v1/mailto:[email protected])浙江大学数学科学学院跨学科应用数学中心 杭州 浙江 中国 \(2018\) ###### 摘要\. 解决逆偏微分方程（PDE）问题是科学研究中的一个基本课题，因其在广泛实际应用中的重要意义而备受关注。逆PDE问题出现在医学成像、地球物理学、材料科学和空气动力学等领域，其目标是推断隐藏原因、设计结构或控制物理状态。本文全面回顾了利用人工智能（AI）求解逆PDE问题的最新进展。我们首先介绍逆PDE问题的基本表述、关键挑战和传统数值基础，然后将其组织为三大类：逆问题、逆设计与控制问题。对于每个类别，我们进一步介绍方法论范式，并回顾近年来具有代表性的最先进方法。随后，我们总结了跨科学与工业领域的代表性应用，包括机械系统、气动问题、热系统、全波形反演、系统辨识和医学成像。最后，我们讨论了开放挑战与未来展望，如物理信息架构、有限真实数据、不确定性量化及逆基础模型。本综述旨在为AI求解逆PDE问题提供首个统一且系统的视角，展示现代基于学习的方法如何在PDE控制系统中重塑逆问题、逆设计与控制问题。 逆问题, 逆设计, 控制问题 ††copyright:acmlicensed††journalyear:2018††doi:XXXXXXX\.XXXXXXX††conference:; 2018年6月3–5日; 纽约州伍德斯托克††isbn:978\-1\-4503\-XXXX\-X/2018/06††ccs:综合与参考 综述与概览††ccs:计算方法 人工智能††ccs:计算方法 建模与仿真††ccs:计算方法 偏微分方程††ccs:应用计算 物理科学与工程## 1\.引言 偏微分方程（PDE）是建模物理、生物和工程系统的核心数学工具之一。它们描述了空间和时间变化的场如何在守恒律、本构关系和外部约束下演化。因此，PDE在广泛的学科领域中扮演基础性角色，包括流体动力学\(Ballaet al\.,2022 (https://arxiv.org/html/2605.16966#bib.bib232); Anandet al\.,2024 (https://arxiv.org/html/2605.16966#bib.bib234); Elrefaieet al\.,2024a (https://arxiv.org/html/2605.16966#bib.bib235),b (https://arxiv.org/html/2605.16966#bib.bib236); Glawset al\.,2022 (https://arxiv.org/html/2605.16966#bib.bib237); Dussaugeet al\.,2023 (https://arxiv.org/html/2605.16966#bib.bib238)\)、地球物理学\(Zhang and Lin,2020 (https://arxiv.org/html/2605.16966#bib.bib245); Tanget al\.,2021 (https://arxiv.org/html/2605.16966#bib.bib239); Kanget al\.,2026 (https://arxiv.org/html/2605.16966#bib.bib241); Zhanget al\.,2025a (https://arxiv.org/html/2605.16966#bib.bib240),2026a (https://arxiv.org/html/2605.16966#bib.bib242)\)、电磁学\(Denkeret al\.,2025 (https://arxiv.org/html/2605.16966#bib.bib249); de Hoopet al\.,2025 (https://arxiv.org/html/2605.16966#bib.bib247); Chenet al\.,2026 (https://arxiv.org/html/2605.16966#bib.bib246); Guoet al\.,2025 (https://arxiv.org/html/2605.16966#bib.bib248); Caoet al\.,2025 (https://arxiv.org/html/2605.16966#bib.bib250)\)、机械系统\(Haghighatet al\.,2021 (https://arxiv.org/html/2605.16966#bib.bib229); Senhoraet al\.,2022 (https://arxiv.org/html/2605.16966#bib.bib230); Denget al\.,2022 (https://arxiv.org/html/2605.16966#bib.bib231); Yanget al\.,2024 (https://arxiv.org/html/2605.16966#bib.bib233); Bastek and Kochmann,2023 (https://arxiv.org/html/2605.16966#bib.bib162)\)。在现代科学与工业实践中，基于PDE的模型不仅用于正演模拟，还被用作参数估计、系统设计和决策制定的计算基础——所有这些均可统一表述为逆PDE问题。同时，传感数据日益丰富\(Santoset al\.,2023 (https://arxiv.org/html/2605.16966#bib.bib205); Jean\-Michelet al\.,2021 (https://arxiv.org/html/2605.16966#bib.bib204); Jasak,2009 (https://arxiv.org/html/2605.16966#bib.bib203)\)、高性能计算的进步以及机器学习的快速发展，极大地拓展了PDE驱动建模的规模和范围，使得PDE系统的逆问题成为一个日益重要的研究方向。 与正演PDE问题（假设控制方程、参数、初边值条件已知，目标是求解系统状态）不同，逆PDE问题旨在从不完全观测或给定目标中恢复未知量。这些未知量可能对应物理系数、源项、初始或边界条件、潜在状态、控制变量以及结构设计。这类问题因其在现实应用中的广泛相关性而具有根本重要性：在医学成像中，人们试图从测量数据重建隐藏组织；在地球物理学中，从地震响应推断地下属性；在工程中，寻找满足所需物理行为的结构；在控制问题中，寻求操控PDE驱动系统达到目标状态的动作。 然而，逆PDE问题也比正演问题更具挑战性。它们通常是病态的，解可能不唯一、不稳定，或对稀疏且有噪声的观测高度敏感。此外，正算子往往是非线性的、高维的，且重复计算代价高昂，这使得经典迭代求解器难以扩展。 参见图注 图1\. 基于AI的逆PDE问题概览。**上排**展示了正演PDE过程，其中系统配置（包括初始条件、边界条件和物理参数）演化为系统状态。**中排**总结了三大逆任务：逆问题、逆设计与控制问题。**下排**展示了各类场景下的代表性下游应用。 随着AI在计算机视觉和自然语言处理等领域的快速发展，其应用于逆PDE问题已成为一个充满希望的研究方向。我们将逆PDE问题的AI方法分解为三大类：逆问题、逆设计与控制问题。尽管这些设定在表述和下游目标上有所不同，但它们共享一个共同原则：目标不仅仅是对PDE系统进行模拟，而是在PDE约束下推断、优化或决策隐藏变量。逆问题主要关注从部分观测中恢复未知物理量。相反，逆设计侧重于识别能够产生所需行为的结构、参数或配置。控制问题涉及随时间推移的决策，目标是为PDE驱动的动态系统确定控制策略或动作序列。这种三分法提供了一个统一的方式，用于比较那些原本出现在不同领域的方法，并突显了近期AI进展如何重塑从直接回归到优化、算子学习、生成建模和序列决策的逆推理。 \{forest\} 图2\. 基于AI的逆PDE方法分类，沿三个主轴组织：逆问题、逆设计与控制问题，并分别回顾代表性应用。 本文其余部分组织如下。第2节 (https://arxiv.org/html/2605.16966#S2) 介绍了PDE逆问题的基本表述，并简要回顾了相关逆问题的经典数值方法。第3节 (https://arxiv.org/html/2605.16966#S3) 综述了逆问题的AI方法，从一般数据驱动范式开始，包括*逆映射*、*PDE约束*和*基于代理模型*的方法。我们还涵盖了*逆动力学*方法和近期*基于生成模型*的方法。第4节 (https://arxiv.org/html/2605.16966#S4) 和第5节 (https://arxiv.org/html/2605.16966#S5) 分别回顾了逆设计和控制问题的AI方法。在方法论之外，我们还讨论了这两个设定中的任务特定考量。对于逆设计，我们强调*设计空间表示*，这是设计任务的核心。对于控制问题，我们突出*PDE控制问题的时间与反馈结构*，这对开发有效控制策略至关重要。最后，第6节 (https://arxiv.org/html/2605.16966#S6) 展示了具有代表性的科学与工业应用，说明这些AI驱动的逆PDE方法如何在实际中部署，并以概述若干开放挑战和未来展望作结。逆PDE问题的概览如图1 (https://arxiv.org/html/2605.16966#S1.F1) 所示。值得注意的是，近期的一些综述\(Wanget al\.,2024 (https://arxiv.org/html/2605.16966#bib.bib202); Zhanget al\.,2025c (https://arxiv.org/html/2605.16966#bib.bib94)\) 主要关注PDE的正演模拟。相比之下，我们的综述首次提供了专门针对逆PDE问题的全面回顾。 ## 2\. 预备知识 ### 2.1\. 偏微分方程 偏微分方程（PDE）描述了未知场如何随多个独立变量（如空间和时间）变化。它们为建模广泛的物理现象提供了基本框架，包括流体流动\(Liet al\.,2024b (https://arxiv.org/html/2605.16966#bib.bib131)\)、波传播\(Kanget al\.,2026 (https://arxiv.org/html/2605.16966#bib.bib241)\)、电磁学\(Denkeret al\.,2025 (https://arxiv.org/html/2605.16966#bib.bib249)\) 和弹性力学\(Baoet al\.,2018 (https://arxiv.org/html/2605.16966#bib.bib13)\)。一般来说，PDE可以写成 \(1\)F\(x,t,u,∇u,∇2u,∂tu,...,λp\)=0,\mathcal{F}\big\(x,t,u,\nabla u,\nabla^{2}u,\partial_{t}u,\ldots,\lambda_{p}\big\)=0,其中 \(x\in\Omega\subset\mathbb{R}^{n}\) 表示空间坐标， \(t\in[0,T]\) 表示时间， \(u=u(x,t)\) 表示解场， \(\lambda_{p}\in\Lambda_{p}\) 表示物理参数， \(\Lambda_{p}\) 为相应的参数空间。算子 \(\mathcal{F}\) 是一个微分算子，可能涉及空间导数、时间导数以及问题相关的系数或源项。典型的PDE系统配有初始条件和边界条件以确保适定性。这些约束通常写为 \(2\)B\[u\]\(x,t\)=0,\(x,t\)∈∂Ω×\[0,T\],\mathcal{B}\[u\]\(x,t\)=0,\quad\(x,t\)\in\partial\Omega\times[0,T],\(3\)u\(x,0\)=u0\(x\),x∈Ω,u\(x,0\)=u_{0}\(x\),\quad x\in\Omega,其中 \(\mathcal{B}\) 表示边界算子， \(u_{0}\) 是指定的初始条件。在科学计算中，求解PDE通常意味着估计满足控制方程及相应初边值条件的未知场 \(u\)。 ### 2.2\. 逆偏微分方程问题 对于逆PDE问题，我们将其大致分为逆问题、逆设计和控制问题。尽管这些设定在目标和表述上有所不同，但它们有一个共同的动机：通过PDE驱动系统进行反向推理，即在物理约束下推断隐藏原因、综合设计变量或确定控制动作。一些典型的PDE系统常被用作该领域的基准问题，包括达西流、泊松方程、亥姆霍兹方程、伯格斯方程以及具有各种初边值条件的纳维-斯托克斯方程\(Baoet al\.,2021 (https://arxiv.org/html/2605.16966#bib.bib17); Takamotoet al\.,2022 (https://arxiv.org/html/2605.16966#bib.bib129); Luet al\.,2021b (https://arxiv.org/html/2605.16966#bib.bib128)\)。这些例子涵盖了广泛的椭圆型、抛物型和双曲型PDE，并已成为开发和评估逆PDE求解器的标准基准。 除了上述常用基准方程外，还有更广泛的PDE系统出现在逆问题、逆设计和控制问题中。这些包括热方程\(Billahet al\.,2023 (https://arxiv.org/html/2605.16966#bib.bib127)\)、对流-扩散和反应-扩散系统\(Takamotoet al\.,2022 (https://arxiv.org/html/2605.16966#bib.bib129)\)、波动和声学方程\(Bao and Yun,2009 (https://arxiv.org/html/2605.16966#bib.bib16)\)、弹性力学方程\(Baoet al\.,2018 (https://arxiv.org/html/2605.16966#bib.bib13)\)、浅水方程\(Takamotoet al\.,2022 (https://arxiv.org/html/2605.16966#bib.bib129)\)、麦克斯韦方程组\(Bao and Li,2004 (https://arxiv.org/html/2605.16966#bib.bib12),2022 (https://arxiv.org/html/2605.16966#bib.bib18)\)、电阻抗断层成像中的电导率方程\(Augensteinet al\.,2023 (https://arxiv.org/html/2605.16966#bib.bib137)\)，以及生物和化学驱动的系统如Keller-Segel\(Hillen and Painter,2009 (https://arxiv.org/html/2605.16966#bib.bib112)\)、单域/双域\(Franzoneet al\.,2014 (https://arxiv.org/html/2605.16966#bib.bib111)\)和辐射传输方程\(Peraiah,2002 (https://arxiv.org/html/2605.16966#bib.bib110)\)。这些PDE共同覆盖了椭圆型、抛物型和双曲型系统的广泛谱系，反映了科学、工程和医学中现实应用的多样性。 ### 2.3\. 传统方法 求解正演问题的传统数值方法包括有限差分法、有限元法、有限体积法和谱方法。在现代数据驱动方法出现之前，逆PDE问题主要在非线性病态算子方程和PDE约束优化的框架下研究。在这种设定下，目标是从PDE解或传感器观测 \(u_{\mathrm{obs}}\) 中恢复未知的物理参数、初始条件或边界条件。一个标准表述是 \(4\)minλ12∥