泥孩子谜题的历史

# 泥娃娃谜题的历史 来源：https://arxiv.org/html/2606.13703 ###### 摘要 泥娃娃谜题是一个关于知识与无知的谜题，它对认知逻辑的发展具有启发意义。那么，究竟是谁最先提出这个谜题的呢？这一点尚不清楚。我们通过过去两个世纪的逻辑和文学出版物追溯泥娃娃谜题的起源。这个谜题激发了众多变体，例如涉及数字或彩色帽子的谜题。我们还提出了一个涉及自我指涉的新型帽子谜题。¹¹¹这篇小文谨献给乔·哈尔彭（Joe Halpern）的回忆，他极大地推动了泥娃娃谜题的普及并使其成为认知逻辑研究的焦点。在他与约拉姆·摩西（Yoram Moses）和丹尼·多列夫（Danny Dolev）合著的众多出版物中，尤以《欺骗的丈夫与其他故事》[35 (https://arxiv.org/html/2606.13703#bib.bib1263)]，以及与罗纳德·费金（Ronald Fagin）、约拉姆·摩西和摩西·瓦尔迪（Moshe Vardi）合著的《关于知识的推理》[15 (https://arxiv.org/html/2606.13703#bib.bib1171)] 最为著名。我在本文中的表述是非形式化的，但力求精确。当然，这本身就是一个挑战，因为随手抛出公式要容易得多。在这种表述风格上，乔·哈尔彭也给了我启发，他是一位无可争议的大师，这在[35 (https://arxiv.org/html/2606.13703#bib.bib1263)]中再次得到证实。²²²我非常希望更多了解1940年代之前泥娃娃谜题或相关认知谜题的历史，特别是1920年代和1930年代的具体证据，例如涉及阿隆佐·丘奇（Alonzo Church）的。请务必联系我！ ## 1 引言 泥娃娃谜题的一个典型版本如下。 > 一群孩子在户外玩耍后，被父亲叫回屋里。孩子们围拢在他身边。可以想象，其中一些孩子玩耍时弄脏了。具体来说：他们脸上可能沾了泥巴。孩子们只能看到其他孩子是否脏了，而看不到自己脸上是否有泥。这都是众所周知的，而且，孩子们显然都是完美的逻辑学家。父亲现在说道：“你们当中至少有一个是脏的。”然后说：“知道自己是否脏了的人，请向前一步。”如果没人上前，父亲就重复这个要求。到了某个阶段，所有脏孩子都会上前。如果总共 \(k\) 个孩子中有 \(m\) 个是脏的，那么这一幕何时会发生，为什么？[46 (https://arxiv.org/html/2606.13703#bib.bib471)] 众所周知，在父亲第 \(m\) 次提出要求后，那 \(m\) 个脏孩子会走上前；在第 \(m+1\) 次提出要求时，那 \(k-m\) 个（如果有的话）干净孩子会走上前。干净孩子上前的那一轮在分析中常被省略，这也取决于谜题的表述方式：如果要求是“如果你知道自己脏了就上前一步”，那么在 \(m\) 轮中只有那 \(m\) 个脏孩子会上前。 我们可以通过归纳法证明这个答案的正确性。归纳的基础是 \(1\)，而不是 \(0\)，因为至少有一个脏孩子。最初，并不确定是所有孩子都干净，还是只有这一个脏孩子。在父亲宣布“你们当中至少有一个是脏的”之后，这种不确定性就被消除了，因为它看到没有其他脏孩子，因此在第 \(1\) 轮就会上前。其他所有人会在第 \(2\) 轮上前。 现在假设 \(k\) 个脏孩子会在第 \(k\) 轮上前，并且假设现在有 \(k+1\) 个脏孩子。一个脏孩子现在看到 \(k\) 个脏孩子，因此不确定究竟只有 \(k\) 个脏孩子（那样的话它就是干净的），还是有 \(k+1\) 个脏孩子（那样的话它就是脏的）。由于在第 \(k\) 轮没人上前，这种不确定性就被消除了，因此它一定是脏的，并会在第 \(k+1\) 轮上前。所以，所有 \(k+1\) 个脏孩子都会在前。干净孩子不会上前，因为他们在 \(k+1\) 和 \(k+2\) 个脏孩子这两种可能性之间不确定。但是一旦脏孩子上前了，这种不确定性也被消除了，他们就会在第 \(k+2\) 轮上前。 ## 2 泥娃娃谜题的历史 由于逻辑谜题不被视为科学，它们的出处通常不予注明。而且，由于各个国家在数学娱乐和谜题书籍方面都有自己的传统，这些谜题也以英语以外的多种语言出现，并且在传播过程中常常跨越语言障碍。我们在过去两个世纪中找到了泥娃娃谜题及相关谜题的各种来源——但在1830年代到1930年代之间存在一个奇怪的空白期，我们未能填补。 ### 2.1 1900年之前 关于它们的起源要从哪里开始讲起，完全取决于你仍然称为什么是谜题。对于泥娃娃谜题最古老来源的一个合理主张，是1823年[14 (https://arxiv.org/html/2606.13703#bib.bib90)] 对弗朗索瓦·拉伯雷（François Rabelais）[39 (https://arxiv.org/html/2606.13703#bib.bib89),40 (https://arxiv.org/html/2606.13703#bib.bib88)] 16世纪法国文学经典《巨人传》的注释版本。高康大（Gargantua）是个大块头，食量惊人，也玩得很开心，比如玩很多游戏，并期待着他那紧张的巴黎主人能娱乐他，而这些主人并不想自己被吃掉。编者查尔斯·埃斯芒加（Charles Esmangart）和埃洛伊·若阿诺（Éloi Johanneau）为这个1823年的版本添加了详尽的脚注，解释和描述了众多其他游戏（如双陆棋）中的“我掐你，你不许笑”（je te pince sans rire）这个游戏，见图1 (https://arxiv.org/html/2606.13703#S2.F1)。³³³我不知道是否有更早的版本带有同样的脚注。我只查阅了部分而非全部旧版本。16世纪的原始版本也提到了游戏，但没有提及“不许笑”（pince-sans-rire），也没有脚注。参见标题 > 每个人都去掐右边邻居的鼻子或下巴。如果他笑了，他就得交出一个抵押品。这个游戏的诀窍在于，公司里有两个人事先商量好，用一块烧焦的软木塞来涂黑他们的手指。他们掐的那些人的脸就会被抹黑，因此更容易发笑，因为每个人都相信自己是在嘲笑另一个人。[14 (https://arxiv.org/html/2606.13703#bib.bib90)] 图 1：拉伯雷作品1823年版第一卷[14 (https://arxiv.org/html/2606.13703#bib.bib90)]第413页注释68的复制品，附有我的英文翻译“不许笑”的游戏是“揪胡子”（Barbichette）游戏的一个更古老版本。两者都涉及掐对方（或者如果是男人，则拔胡子）的鼻子、下巴或胡子。这当然极其荒谬！而这正是关键所在：忍不住笑的人输给保持面无表情的人。（这会让人怀疑它与英国的‘不动声色’是否有关系。也许这是几代英国人和法国人玩“揪胡子”的结果。） 在“不许笑”游戏中，有一组玩家，游戏的每一轮由其中两人面对面，而该组中第一个笑的人将成为下一个被掐的受害者。而“揪胡子”只涉及两个玩家面对面，轮流掐对方。⁴⁴⁴在《高卢英雄传》系列的第一卷中，主角阿斯泰利克斯（Asterix）与罗马士兵玩“揪胡子”[21 (https://arxiv.org/html/2606.13703#bib.bib84), p. 15 & 41](https://archive.org/details/asterix-t-01-asterix-le-gaulois/page/n15/mode/2up)。罗马士兵剃须，而很酷的高卢部落成员不剃。首先，在第15页，阿斯泰利克斯扯下了一名伪装成高卢人的间谍的假胡子，从而揭露他是罗马人；后来，在第41页，阿斯泰利克斯现在确信一个罗马士兵的胡子是假的，会再次脱落。只是这个罗马士兵的胡子是真的，并且是在喝了魔法药水后瞬间长出来的…… 这个1823年的法文版本是由汉斯·罗特（Hans Rott）发现的，当时我与他讨论我的历史发现。有了一点小帮助，因为我知道稍晚一些的1832年由戈特洛布·雷吉斯（Gottlob Regis）翻译的[14 (https://arxiv.org/html/2606.13703#bib.bib90)] 德文译本[42 (https://arxiv.org/html/2606.13703#bib.bib689)]。它包含了相同的德文脚注，游戏名称被译为“ungelacht pfetz ich dich”，是字面翻译（尽管“ungelacht”在德语词典中查不到）。赫尔肯斯（Hurkens）、伯恩（Born）和沃金格（Woeginger）在[9 (https://arxiv.org/html/2606.13703#bib.bib970)] 中对其进行了介绍和讨论。多年前我曾问已故的格哈德·沃金格（Gerhard Woeginger）他究竟是怎么找到这个来源的，他不动声色地回答：“只要在谷歌上输入‘ungelacht pfetz ich dich’，搜索出来的第一个结果就是。” “不许笑”游戏中用烧焦软木塞涂黑的下巴或鼻子，与泥娃娃谜题中沾满泥浆的额头之间显然存在关联：你自己看不到自己脸上的情况，但能看到别人脸上的。但不太清楚这些更古老的来源如何不仅仅是游戏，而且还是认知谜题。人们需要按照“不许笑”和“揪胡子”游戏的规则，对已出版的文本进行一些解读。如果我弄脏了你的脸，而你的脸脏了之后看起来更可笑，那么我就更容易笑。那么我就输了游戏。至少在“揪胡子”游戏中是这样。但是，难道我不想赢吗？“不许笑”似乎是一个更合适的设定，在其中，比如爱丽丝（Alice）面对邻居鲍勃（Bob），鲍勃在掐她鼻子的同时涂黑它，而其他旁观玩家（包括笑个不停的凯丝）在场。如果凯丝在上一轮中被涂黑了，她可能就在那一刻意识到，这就是为什么爱丽丝在上一轮笑的原因，从而导致爱丽丝现在被掐。“我的鼻子一定也被涂黑了！”凯丝得出结论。也可以想象两个玩家面对面，同时弄脏对方的脸，然后同时笑起来，那将是一个平局！“每个人都相信自己是在嘲笑另一个人”暗示了这样一种解释。但这与之前的“公司里有两个人事先商量好，用一块烧焦的软木塞来涂黑他们的手指”有些矛盾，因为这两人事先知道会发生什么，所以同时嘲笑对方的惊喜感就消失了。我们肯定是对字面文本解读过度了…… 与脏孩子不同，16世纪“不许笑”游戏的玩家不是完美的逻辑学家。额头上的泥巴或鼻子/下巴上的木炭似乎不是什么大不了的事。可以想象，在19世纪和20世纪剩余的时间里，这个谜题逐渐演变成更像认知谜题的表述形式，通过文学和杂志的谜题专栏，或者口述历史传播开来。这难道不是一个典型的刘易斯·卡罗尔（Lewis Carroll）谜题吗？但并不是。我查过了。难道它不会是19世纪末出现的众多谜题集中一个典型的脑筋急转弯吗？我查阅了数十本，涵盖我能掌握的所有语言，都没有找到。（日本金泽JAIST画廊NOB谜题收藏中大量的文献部分帮了很大的忙。）这种谜题书里反而堆满了国际象棋问题！我在1830年代到1930年代之间没有找到任何类似泥娃娃谜题的来源。“不许笑”和“揪胡子”在此期间一直被玩，直到近期（以及手机和社交媒体的出现）。我有一位同事年轻时还玩过“揪胡子”。想起来，最近我在一辆开往图卢兹的拥挤火车上看到一些人在玩这个，边笑边打对方的脸。非常接近了。他们玩得很开心。因此，我可以想象某位20世纪的研究者或解题者（比如格哈德·沃金格）看到了这种联系，并且很难找到比1823年更早的、以这种方式解释“不许笑”的参考文献。 ### 2.2 1900年之后 泥娃娃谜题似乎从1930年代开始（重新）出现，同时或可能稍晚于其他认知谜题的（有记录的）出现，例如，威廉姆斯（Williams）和萨维奇（Savage）在《困惑》（*Perplexities*）杂志（他们在《斯特兰德杂志》（Strand Magazine）上的谜题专栏）中关于年龄或门牌号无知的谜题，这些谜题于1935年单独出版[54 (https://arxiv.org/html/2606.13703#bib.bib72)]，稍后于1940年收录在他们的《企鹅问题集》[55 (https://arxiv.org/html/2606.13703#bib.bib1050)]中。在[47 (https://arxiv.org/html/2606.13703#bib.bib1159)]中可以找到关于这些谜题的详细讨论。 有一个未经证实的传言说，阿隆佐·丘奇在1930年代早期写过关于泥娃娃谜题的文章。我无法在普林斯顿大学保存的丘奇档案或其他任何地方找到踪迹。 据我所知，目前已知的20世纪最早来源是日本的。这是由佐野胜彦（Katsuhiko Sano）告诉我的。物理学家保罗·狄拉克（Paul Dirac）在1929年⁵⁵⁵佐野胜彦也提出了1938年这个年份。我无法从他的传记中确认这次后来的访问，传记中只提到了1929年的那次访问（与维尔纳·海森堡一起），除了更晚的1950年代的一次访问。更早的访问会更加有趣，因为即使是1938年，对于这类认知谜题来说，也属于20世纪早期的间接参考资料了。访日期间，他向日本听众介绍了泥娃娃谜题，这在间接上得到了证实，因为在日本，泥娃娃谜题被称为“狄拉克谜题”。也有直接证据：推理小说作家木木高太郎（Takataro Kigi）写了一部以狄拉克谜题为灵感来源的侦探小说《临海之窗》（Window with a view of the sea），于1941年出版[28 (https://arxiv.org/html/2606.13703#bib.bib73)]。参见标题图 2：《临海之窗》中的插图，展示了狄拉克问题[28 (https://arxiv.org/html/2606.13703#bib.bib73), p. 7]一部由泥娃娃谜题启发的侦探小说仍然算是间接证据。在其出版后不久，我们所知的最早的20世纪直接参考文献来自1942年，发表在克赖奇克（Kraitchik）的《数学娱乐》（Mathematical Recreations）[31 (https://arxiv.org/html/2606.13703#bib.bib74), p. 15]中，见图3 (https://arxiv.org/html/2606.13703#S2.F3)。这里需要注意的是，我们也查阅了这本谜题书更早的1930年法文版[30 (https://arxiv.org/html/2606.13703#bib.bib75)]。在那个更早的版本中并没有出现泥娃娃谜题。这位（犹太）数学家莫里斯·克赖奇克（Maurice Kraitchik）在白俄罗斯明斯克长大，他的职业生涯就像一个持续流亡者的写照。作为一个犹太人，无法在俄罗斯学习，他去了比利时接受高等教育。在那里建立职业生涯后（并用法语发表作品），他在第二次世界大战开始时离开前往美国，从那时起开始用英语发表作品。著名的“两个信封问题”也首次出现在《数学娱乐》[31 (https://arxiv.org/html/2606.13703#bib.bib74)]中。参见标题图 3：泥娃娃谜题的一个化身，针对三位哲学家。第1章，没有数字的数学[31 (https://arxiv.org/html/2606.13703#bib.bib74), p. 15]另一个较为早期的20世纪中叶泥娃娃谜题原始版本，涉及三位满脸脏污的女士，与克赖奇克的版本非常相似，出现在利特尔伍德（Littlewood）的《一个数学家的杂录》（A Mathematician’s Miscellany）[33 (https://arxiv.org/html/2606.13703#bib.bib722)] 的开头部分。（这本书也是“连续数字谜题”的原始来源。）内容如下： > 三位女士，A、B、C，在火车车厢里，她们全都脸很脏，而且都在笑。A 突然灵光一现：为什么 B 没有意识到 C 在笑她呢？——天哪，我一定是可笑的。（形式上：如果，我，A，并不可笑，那么 B 就会想：如果，我，B，并不可笑，那么 C 就没有什么可笑的。既然 B 没有这样推理，那么我，A，一定是可笑的。）[33 (https://arxiv.org/html/2606.13703#bib.bib722), p.