优化ARDL模型用于零售销售预测与公平定价

# 面向零售销售预测与公平定价的ARDL模型优化
来源：https://arxiv.org/html/2607.09956
Sujay Uday Rittikar 温尼伯大学应用计算机科学系 加拿大曼尼托巴省温尼伯市 [email protected] [email protected]

###### 摘要

在平衡盈利能力与消费者福利的前提下对食品进行定价，是零售商面临的核心挑战。动态定价被广泛用于最大化收入，然而大多数定价模型仅优化商业目标，忽视了消费者的公平性。本文研究了加拿大动态食品定价中消费者可能遭受剥削的风险，并提出了一种将公平性约束直接嵌入零售销售预测的方法。我们使用对数-对数自回归分布滞后（ARDL）模型对零售贸易总销售额进行建模，其中产品价格的系数即为销售弹性，并将定价问题表述为：在价格上限锚定于消费者价格指数（CPI）的条件下，最大化预测销售额。我们分别采用线性规划（LP）和模拟退火（SA）算法在单产品和多产品配置下求解该问题。一个关键发现是，拟合的名义弹性为正。因此，无约束的销售最大化者会将每种价格推向其上界，而CPI上限正是防止这种情况发生的保障。模拟退火则倾向于选择保守的内部价格，在降低消费者成本的同时仍能达成销售目标。我们将预测精度与朴素法、季节性朴素法、ARIMA和SARIMA基线以及CPI平减后的重新设定模型进行对比，结果表明正的名义弹性很大程度上是由通胀驱动的人为现象。最终，我们得到了一个透明且具有公平意识的定价框架。

*关*键词零售销售预测·自回归分布滞后·消费者公平·价格弹性·线性规划·模拟退火·元启发式算法

## 1 引言

零售食品价格会根据影响企业收入和销售的因素进行调整，动态定价是优化利润的常见策略。这涉及随时间或在客户群体之间调整价格以实现收入最大化。虽然有效，但动态定价引发了关于公平性的担忧[12 (https://arxiv.org/html/2607.09956#bib.bib2)]。许多消费者并不了解复杂的定价策略，从而产生不公平感[2 (https://arxiv.org/html/2607.09956#bib.bib1),29 (https://arxiv.org/html/2607.09956#bib.bib22)]。平衡价格优化与公平性至关重要。然而，价格优化常常依赖于行为偏差而非消费者估值的真实差异[8 (https://arxiv.org/html/2607.09956#bib.bib3)]，当企业将利润置于公平之上时，可能导致不道德行为[23 (https://arxiv.org/html/2607.09956#bib.bib23)]。个性化定价可以提高效率，但如果价格差异与性别或种族等受保护特征挂钩，则可能引发反弹，使得区分合法偏好与不公平歧视变得困难。

零售商通常根据历史趋势调整价格以促进销售并提高盈利能力，这凸显了时间序列预测的挑战。该过程涉及在考虑价格随时间波动的情况下预测零售销售额[17 (https://arxiv.org/html/2607.09956#bib.bib4)]。随着机器学习的发展，出现了各种统计时间序列预测模型，其中最突出的之一便是自回归分布滞后（ARDL）模型。ARDL引入了外生变量进行预测，使其在长期预测中尤为有效[11 (https://arxiv.org/html/2607.09956#bib.bib5)]。该模型已广泛应用于解决经济问题，例如分析贸易开放度与经济增长的关系[10 (https://arxiv.org/html/2607.09956#bib.bib6)]。为了优化机器学习模型的性能，使其销售预测与实际零售额更接近，人们采用了多种策略。常见方法是组合多个预测模型：大规模M5零售预测竞赛发现，模型组合与集成（尤其是梯度提升树）在零售销售数据上表现最为强劲[14 (https://arxiv.org/html/2607.09956#bib.bib27)]；而堆叠（Stacking）则被用于利用不同预测技术的优势[19 (https://arxiv.org/html/2607.09956#bib.bib7)]。第二种策略嵌入线性规划等优化方法，引入约束条件以微调预测结果，使其与商业和公平目标保持一致[5 (https://arxiv.org/html/2607.09956#bib.bib8)]。最近，诸如时间序列变换器之类的高容量模型已被专门用于零售需求预测评估[18 (https://arxiv.org/html/2607.09956#bib.bib28)]。与此同时，研究人员越来越多地应用元启发式算法来优化时间序列预测，即使在复杂的多变量场景下也是如此[31 (https://arxiv.org/html/2607.09956#bib.bib10)]，使预测保持现实性并与市场约束一致。

零售销售预测本身已是一项复杂任务，确保消费者公平则增加了另一层责任。它要求优化价格以防止剥削，这一目标可以锚定于诸如加拿大消费者价格指数（CPI）等指标[4 (https://arxiv.org/html/2607.09956#bib.bib9)]。CPI追踪加拿大零售市场月度价格变化，反映通胀趋势，并按产品类别（如食品、医疗、交通等）进行划分。通过使价格调整与CPI趋势保持一致，企业可以使其战略与通胀对齐，确保公平与透明。经CPI调整后的价格也有助于满足消费者预期，在市场中培养信任与公平。本文提出一种预测零售销售的新方法，旨在最大化销售额的同时，使价格接近CPI调整后的零售价值。我们通过优化ARDL模型、增加额外约束条件，并在两种不同情境下解决该问题：一种是单一外生特征，另一种是多个外生特征。在此语境下，外生特征指某种食品的零售价格。为了解决这个复杂的多变量时间序列预测问题，我们使用线性规划和模拟退火元启发式算法来建模预测过程，同时优化目标。

## 2 相关工作

机器学习模型已广泛应用于时间序列预测，包括销售预测。Pavlyshenko[19 (https://arxiv.org/html/2607.09956#bib.bib7)]通过堆叠（Stacking）组合了多个模型的输出，提高了验证集和样本外数据的准确性，尤其适用于新产品。利用Kaggle上的Rossmann Store Sales数据[3 (https://arxiv.org/html/2607.09956#bib.bib12)]，该研究认为销售预测更适合作为回归问题来处理，因为面向回归的模型优于纯时间序列模型。然而，这一结论主要基于单变量设定，可能不适用于多变量情况。同一研究指出，仅依赖历史数据来捕捉季节性，同时缺乏外生变量，会产生噪音较大的预测，这突显了外部因素的价值。后续工作应用了更广泛的回归模型。Ganguly等人[5 (https://arxiv.org/html/2607.09956#bib.bib8)]指出了线性回归（LR）在具有季节性和外部影响的零售数据上的局限性，并在Favorita Store Sales数据集[1 (https://arxiv.org/html/2607.09956#bib.bib13)]上比较了随机森林（RF）、梯度提升（GB）、支持向量回归（SVR）和XGBoost（XGB）。超参数调优将RF的R-squared从0.915提升至0.945，高于LR的0.531，调优后的RF略优于表现相当的GB、XGB和SVR。与Pavlyshenko[19 (https://arxiv.org/html/2607.09956#bib.bib7)]一致，他们指出数据噪声和缺失外生变量是长期准确性的主要障碍。最近的零售研究强化了这一点：Hewage等人[7 (https://arxiv.org/html/2607.09956#bib.bib29)]量化了销售促销在整个需求生命周期中的影响，展示了此类外部信号对预测质量的强烈影响；而Mishra等人[16 (https://arxiv.org/html/2607.09956#bib.bib30)]提出的可解释梯度提升方法（如LightGBM-SHAP框架）将竞争性准确性与可解释的需求驱动因素相结合。另一个问题是，在验证数据上表现出色的模型一旦部署，可能因分布漂移、异常值和现实环境中的混乱而表现不一致。元启发式搜索提供了一种补救措施，通过构建受约束的人工环境，引导预测朝向现实（即使次优）的行为。Zito等人[31 (https://arxiv.org/html/2607.09956#bib.bib10)]提出了一种局部搜索元启发式算法，用于优化预测器的此类环境，嵌入约束和观察到的条件，使模型更好地反映现实世界动态。元启发式算法适用于非线性、高维数据，最近的混合方法扩展了这一思路：Zhao等人[30 (https://arxiv.org/html/2607.09956#bib.bib31)]应用改进的元启发式算法来调整深度时间序列模型，展示了元启发式优化与机器学习如何结合以实现零售销售和能源需求等领域的可扩展预测。

线性规划提供了另一种优化时间序列预测的途径。Selvam等人[24 (https://arxiv.org/html/2607.09956#bib.bib11)]提出了一种基于线性规划的双目标预测算法（BOFA），该算法在同时最小化平均绝对误差（MAE）和最大绝对误差（MaxAE）这两个目标下，拟合普通最小二乘（OLS）和神经网络回归模型。平衡这两个目标有助于抑制过度预测和欠预测，该方法在短期和长期预测区间上均报告了优于ARIMA和Holt-Winters等标准基线的表现。这些研究的一个反复出现的主题是，忽略外生变量会导致噪声大且不可靠的预测。自回归分布滞后（ARDL）模型[11 (https://arxiv.org/html/2607.09956#bib.bib5)]通过包含因变量和外生回归变量的滞后值直接解决了这一问题，滞后结构由Akaike或Bayesian Information Criterion（AIC/BIC）等准则选择。该框架还支持Pesaran等人[20 (https://arxiv.org/html/2607.09956#bib.bib20)]的边界检验程序，该程序检测变量之间可能以不同阶数整合的长期协整关系，使ARDL非常适合处理那些水平值并非均匀平稳的宏观经济序列。作为单方程模型，它捕捉了外生变量与目标变量之间的动态互动，提高了受外部因素影响数据的预测精度。作为一个应用实例，ARDL已被用于研究EU国家谷物行业中气候、技术和营销的影响[15 (https://arxiv.org/html/2607.09956#bib.bib14)]，展示了其处理非平稳数据和动态相互关系的能力。

除经典计量经济学模型外，深度学习还产生了一系列高容量预测器，包括Prophet[28 (https://arxiv.org/html/2607.09956#bib.bib24)]、DeepAR[21 (https://arxiv.org/html/2607.09956#bib.bib25)]和Temporal Fusion Transformer[13 (https://arxiv.org/html/2607.09956#bib.bib26)]，它们能够捕捉复杂的非线性和多水平动态。然而，这些模型数据需求量大且基本不透明，而我们的目标需要一个可解释、参数少的关系，即单个产品价格与总销售额之间的关系，并且该关系可以直接嵌入到优化程序中。因此，我们采用ARDL模型，以原始预测能力为代价，换取了透明度和经济可解释性——即用于讨论公平性所需的价格弹性。在公平性方面，感知到的价格（不）公平性长期以来一直是营销学研究的主题[29 (https://arxiv.org/html/2607.09956#bib.bib22)]，近期研究也描绘了动态和个性化定价引发的伦理担忧[23 (https://arxiv.org/html/2607.09956#bib.bib23),8 (https://arxiv.org/html/2607.09956#bib.bib3)]。这些文献激励使用外部、透明的定价参考点。我们采用CPI锚定的价格上限正是将这样的参考点付诸实践，将公平性文献与具体的预测与优化流程联系起来。

## 3 问题表述与方法论

该问题从零售商和消费者两个角度出发，旨在预测食品产品的最高零售销售额，同时确保价格不超过CPI调整后的水平。这些价格作为基准，防止通过动态定价进行剥削，并确保公平性。我们的方法采用自回归分布滞后（ARDL）模型，捕捉销售额与价格之间随时间变化的动态关系。这些模型通过线性规划（LP）和模拟退火元启发式算法进行优化，以获得可靠的预测。该方法平衡了销售最大化与公平定价，与经济目标和消费者福利保持一致。

### 3.1 数据集概览

我们的数据集使用加拿大统计局月度数据构建，包括消费者价格指数（CPI）[25 (https://arxiv.org/html/2607.09956#bib.bib15)]、按食品产品分类的零售价格[26 (https://arxiv.org/html/2607.09956#bib.bib16)]以及所有食品产品的零售贸易销售额[27 (https://arxiv.org/html/2607.09956#bib.bib17)]。数据时间跨度为2017年1月至2024年8月，覆盖加拿大所有省份。然而，在本研究中，我们分析的是全国汇总数据，不考虑省级划分。

加拿大消费者价格指数（CPI）是衡量产品价格随时间平均变化的广泛使用的标准。由于CPI按产品类型分类，我们特别关注食品产品CPI。基期CPI设定为100，基年为2002年。在我们的分析中，2017年1月的CPI值（141.5）被视为数据集的基期。月度零售价格数据提供了加拿大106种食品产品每月的平均零售价格（以加元计）。类似地，月度零售销售数据代表全国所有食品产品的总零售销售额（也以加元计）。通过考察单个食品产品零售价格与总零售销售额之间的关系，我们旨在了解产品层面定价如何影响全国的宏观经济零售销售趋势。

从106种食品产品中，我们聚焦于五种关键商品：苹果、鸡蛋、牛奶、白面包和烘焙咖啡粉。表1 (https://arxiv.org/html/2607.09956#S3.T1)提供了这些选定列的统计摘要，包括最小值、最大值、均值和标准差（SD）。

表1：数据统计摘要
### 3.2 数据划分与初步分析

我们按时间顺序将数据集划分为训练集（80%）和测试集（20%）。训练集涵盖2017年1月至2023年2月，测试期涵盖2023年3月至2024年8月的18个月，将本研究置于长期