地下非均质条件下地热换热器数值模拟的混合解析-PINN模型

# 非均匀地下地热换热器地下模拟的混合分析-PINN模型  
来源：https://arxiv.org/html/2607.12271  
Moke Rao, Thomas Hamacher, Smajil Halilovic  
慕尼黑工业大学，可再生能源与可持续能源系统教席，德国  

**摘要**  
本文提出了一种参数化的物理信息神经网络，用于解决以钻孔换热器（BHE）为奇异源的非均匀土壤热问题。该框架具有三个新颖特点：(i) 通过使用解析线源模型自然消除了奇异性；(ii) 利用热导率梯度的显式公式，实现了对含导热参数化的物理信息学习；(iii) 通过叠加原理将学习到的校正项作为高效的通用校正器。我们首先引入温度变化的分解，将整个非均匀响应的逼近转化为补偿修正——即实际解与理想均匀近似之间的差异。这样，δ函数奇异性被排除，体热传递被捕捉，从而促进神经网络的有效训练。然后将原始问题重新表述为一个受均匀初始条件约束的修正扩散或对流-扩散方程。采用线性变化的热导率来模拟土壤的非均匀性。我们提出了一种物理信息神经网络，用于逼近单个单位取热速率钻孔的通用校正器。因此，网络通过最小化物理信息和数据锚定的损失函数进行训练，该损失函数在自适应选择的训练点上对采样的热导率参数进行评估。此外，我们将关于源的定位指示函数作为网络的特征输入，发现这有助于网络处理局部信息。我们基于无限线源（ILS）、有限线源（FLS）和移动有限线源（MFLS）模型进行了数值测试，展示了所提方法的有效性。  

**关键词**：浅层地热能，钻孔换热器，物理信息神经网络，解析校正，非均匀介质  

## 1 引言

供暖和制冷的脱碳是向低碳能源系统转型的核心组成部分[7 (https://arxiv.org/html/2607.12271#bib.bib26),14 (https://arxiv.org/html/2607.12271#bib.bib29)]。浅层地热能通常通过地源热泵系统利用，为建筑热调节和地下热能储存提供了一种本地可用且季节性稳定的热资源[28 (https://arxiv.org/html/2607.12271#bib.bib28),13 (https://arxiv.org/html/2607.12271#bib.bib32),27 (https://arxiv.org/html/2607.12271#bib.bib27)]。在可用的地热换热器配置中，垂直钻孔换热器（BHE）特别有吸引力。BHE通过安装在垂直钻孔中的封闭管道循环载热流体，与周围土壤交换热量，而不直接抽取地下水[26 (https://arxiv.org/html/2607.12271#bib.bib25)]。其长期性能在很大程度上取决于地下的瞬态热响应以及相邻钻孔之间的热相互作用[3 (https://arxiv.org/html/2607.12271#bib.bib24),16 (https://arxiv.org/html/2607.12271#bib.bib35)]。因此，准确且可重复的地温场正演模拟对于BHE系统的设计和运行至关重要[31 (https://arxiv.org/html/2607.12271#bib.bib17),4 (https://arxiv.org/html/2607.12271#bib.bib18)]。

已有大量解析和半解析模型用于BHE模拟，包括无限线源、有限线源和移动有限线源模型[5 (https://arxiv.org/html/2607.12271#bib.bib3),30 (https://arxiv.org/html/2607.12271#bib.bib6),24 (https://arxiv.org/html/2607.12271#bib.bib7)]。它们将钻孔表示为线源，并提供径向瞬态响应的物理解释性描述。然而，其计算效率是以限制性假设为代价的，例如理想化的均匀无限大地域、简化的边界条件和空间均匀的地下水流速[12 (https://arxiv.org/html/2607.12271#bib.bib31)]。另一方面，数值方法提供了更大的灵活性，可以解决更复杂的土壤性质、几何形状和地下输运条件[1 (https://arxiv.org/html/2607.12271#bib.bib22),23 (https://arxiv.org/html/2607.12271#bib.bib23),10 (https://arxiv.org/html/2607.12271#bib.bib33)]。近几十年来，通过降维和混合公式，已经开发了多种专门的BHE数值求解器，包括TRNSYS[17 (https://arxiv.org/html/2607.12271#bib.bib19)]、OpenGeoSys[29 (https://arxiv.org/html/2607.12271#bib.bib21)]和FEFLOW[6 (https://arxiv.org/html/2607.12271#bib.bib20)]。然而，长期三维数值模拟在计算上仍然难以承受，尤其是在不同配置和运行条件下进行重复评估时[11 (https://arxiv.org/html/2607.12271#bib.bib30)]。

因此，应用深度神经网络进行重复的BHE和地下热模拟近年来引起了广泛关注。与数值模拟相比，经过训练的神经代理可以以更低的在线成本预测温度场，并且特别有利于需要大量模拟运行的程序。就训练机制而言，数据驱动和物理信息神经网络根据不同的信息源定义损失。训练样本的质量和数量在很大程度上决定了纯数据驱动模型的性能。相比之下，物理信息神经网络（PINNs）通过将控制偏微分方程（PDE）、初始条件和边界条件引入训练目标来增强学习过程[25 (https://arxiv.org/html/2607.12271#bib.bib16)]。因此，使用物理约束可以减少昂贵的数据生成负担，允许在时空域上进行可微逼近，并增强在采样参数范围之外的泛化能力。这些特性使PINNs成为非均匀介质中BHE系统的可重用热模拟器的有吸引力选择。然而，由于奇异（BHE）源的挑战性，它们在该领域的应用仍然缺乏[15 (https://arxiv.org/html/2607.12271#bib.bib34)]。

求解带有奇异源的PDE对于标准DNN和普通PINNs具有挑战性，因为它们缺乏有效逼近包含高度局部化奇异性解的表达能力。因此，针对PDE解的非光滑性，已经提出了几种物理信息神经求解器的发展。Gao等人[9 (https://arxiv.org/html/2607.12271#bib.bib9)]提出了一种基于失败信息的自适应采样策略，将额外的配点放在具有大残差失效概率的区域。这与重采样和子集模拟相结合，以改进对[8 (https://arxiv.org/html/2607.12271#bib.bib10)]中局部高误差区域的检测。自适应采样也适用于[21 (https://arxiv.org/html/2607.12271#bib.bib4)]，其中局部源用归一化高斯分布表示。而在近似点源方面，Huang等人[20 (https://arxiv.org/html/2607.12271#bib.bib12)]使用连续概率密度，并将这种正则化与基于不确定性的损失加权策略和实用的多尺度神经架构相结合。利用奇异性与网络逼近目标分离的思想，Hu等人[18 (https://arxiv.org/html/2607.12271#bib.bib11)]提出了一种奇异性分离的深度Ritz方法，将已知的奇异分量解析表示，并仅针对正则余量训练神经网络。此外，Hu等人[19 (https://arxiv.org/html/2607.12271#bib.bib13)]开发了一种奇异性增强的PINN，显式地纳入显式奇异基函数以解决泊松问题，从而构建更富有表达力的PINN逼近空间。后来该框架扩展到通过联合识别未知点源的位置和强度来解决逆问题。Lai等人[22 (https://arxiv.org/html/2607.12271#bib.bib15)]通过将变分问题公式化并使用水平集函数为网络提供关于界面的额外信息，处理了界面上的奇异源椭圆问题。

在本文中，采用通过解析解提取局部奇异性的思想，我们提出了一种参数化混合PINN方法，用于解决具有奇异线源（BHE）的土壤温度模拟问题。所提方法的贡献有三方面。首先，我们使用解析解作为基模型，排除了嵌入源项中的δ函数奇异性。其次，我们针对线性变化的热导率情况，允许使用物理信息损失训练网络并泛化到未见过的梯度热导率场景。第三，参数化神经网络在各种采样热导率条件下进行训练，以逼近由位于原点的单位热传递速率奇异钻孔引起的温度校正，这可以通过应用叠加原理作为计算高效的通用校正器。这有助于避免为不同BHE排列和源负荷分布训练不同的网络。此外，我们将控制方程重写为关于钻孔位置相对坐标的公式，然后网络仅考虑在一定热导率下与源的距离，在开放边界域中学习输出。因此，我们将与钻孔的距离作为网络输入特征，这有效提高了源附近的模拟精度。

本文其余部分组织如下。第2节 (https://arxiv.org/html/2607.12271#S2) 介绍了整体土壤温度模型问题的经典公式。第3节 (https://arxiv.org/html/2607.12271#S3) 提出了模拟模型的参数化混合PINN通用校正器方法。第4节 (https://arxiv.org/html/2607.12271#S4) 测试并比较了涉及ILS、FLS和MFLS解析模型的几个数值实例，随后在第5节 (https://arxiv.org/html/2607.12271#S5) 中给出本方法的结论和未来工作方向。

## 2 问题表述

考虑由BHE场引起的地下温度扰动的瞬态传播，我们将整体热问题视为BHE周围土壤温度场的演化。假设Ω_s表示土壤域，I=(0,T)是感兴趣的时间区间。在非均匀多孔介质中，土壤温度T(x,t)，x∈Ω_s, t∈I 受热扩散和地下水对流的综合作用控制。我们首先考虑以传导为主的情况

ρ_s C_s ∂T/∂t − ∇·(λ(x)∇T) = f(x,t),  (1)

其中ρ_s C_s是土壤的体积热容，λ(x)表示土壤的热导率。因此，相对于恒定未扰动地面状态T_u的温度变化T̃(x,t)=T(x,t)−T_u遵循相同的机制

ρ_s C_s ∂T̃/∂t − ∇·(λ(x)∇T̃) = f(x,t)。  (2)

考虑地下水流效应时，BHE引起的温度变化满足对流-扩散方程

ρC ∂T̃/∂t + ρ_f C_f v·∇T̃ − ∇·(λ(x)∇T̃) = f(x,t)，  (3)

其中ρC是固相和液相组合的体积热容，即ρC=ερ_f C_f+(1−ε)ρ_s C_s，ρ_f c_f是地下水的体积热容，v是地下水流达西速度。此外，f(x,t)表示由BHE运行引起的热源或热汇。对于K个垂直钻孔场，热源项可写为各钻孔源的叠加：

f(x,t)=∑_{k=1}^K f_k(x,t),

其中f_k表示与第k个钻孔相关的源项。设x^k=(x_BHE^k, y_BHE^k)为第k个钻孔在水平面上的位置，q_k(t)为单位长度的注热或取热速率。无限线源将钻孔理想化为无限长的垂直源，写为

f_k^{ILS}(x,t)=q_k(t) δ(x−x_BHE^k) δ(y−y_BHE^k)，  (4)

其中δ(·)是狄拉克δ分布。更实际的表示考虑了有限钻孔长度L。如果钻孔从深度z=D延伸到z=D+L，有限线源项为

f_k^{FLS}(x,t)=q_k(t) δ(x−x_BHE^k) δ(y−y_BHE^k) χ_{[D,D+L]}(z)，  (5)

其中χ_{[0,L]}(z)是沿钻孔深度的指示函数。温度场从未扰动状态初始化

T(x,0)=T_u, x∈Ω_s,

这里我们在∂Ω_s上对(1)施加恒定温度狄利克雷边界条件

T(x,t)=T_u, x∈∂Ω_s, t∈I。

等价地，对于温度变化T̃，这些条件被强制为

T̃(x,0)=0, x∈Ω_s,  (6)

并且对于(2)

T̃(x,t)=0, x∈∂Ω_s, t∈I。  (7)

在本工作中，我们关注非均匀环境，其中土壤热导率在水平面上建模为线性梯度场

λ(x)=λ_c+λ_x x+λ_y y,

其中λ_c表示水平坐标原点(x,y)=(0,0)