数学末日

# 数学末日 来源：https://scottyaronson.blog/?p=10169 > ……然后他们来对付Navier–Stokes方程了，我没有发声，因为我从未研究过Navier–Stokes。但当他们来对付RL vs. L时，我意识到事情严重了。 ——博客友人Omer Reingold (https://omereingold.wordpress.com/)（经授权分享） --- 昨晚，我9岁的儿子这样嘲弄我妻子、复杂性理论家Dana Moshkovitz (https://www.cs.utexas.edu/~danama/)："妈妈，我听说你被*烤糊*了！我听说一个*机器人*解决了你研究了一辈子的数学问题！哎哟喂！" 虽然我儿子是个小捣蛋鬼，但他也没说错。无论你对此感到兴奋、沮丧、愤怒还是其他什么，昨天无疑是数学史上最重大的日子之一。是的，在OpenAI昨天发布的372项重大成果 (https://openai.com/index/sharing-ai-progress-in-mathematics/) 中——这些建议来自其由Timothy Gowers、Edward Witten和其他杰出数学家组成的顾问委员会 (https://agmai.org/)——就包括一份Subhash Khot的唯一博弈猜想（UGC）(https://en.wikipedia.org/wiki/Unique_games_conjecture) 的*证明* (https://github.com/openai/math/blob/main/preprints/The-Unique-Games-Theorem-September-23-2026/paper.pdf)，这是我妻子自从我认识她以来一直在努力证明的命题。（UGC意味着一大批优化问题确实是NP难的，即使你只是想要一个比半定规划松弛——这是我们最主要的工具之一——给出的结果好一点点的近似。） 或者至少，我们相当确定这是一份证明！有一份Lean证明证书 (https://github.com/openai/math/blob/main/lean/docs/102.md)，昨天发布的其他一些突破性成果也有（并非全部）。但看起来似乎还没有任何人类真正理解了这些证明中的*任何*一个；理解证明的竞赛才刚刚开始。如果你想了解这场竞赛实际会是什么样子，以下是Dana昨晚发给我的一些感受： > 感觉就像一个嗑了迷幻药的人写的东西。太多地方不清楚、说不通。大量引用前人的工作，却根本不讨论为什么在有不可能性结果的情况下这些工作仍然可以用。基本上这篇论文写得烂到不借助AI的帮助根本读不了。我让Astra给出噪声装置的合理完备性和可靠性声明，它是通过从论文各处拼凑声明来回答的。他们还有针对UGC的主要应用（Max Cut和所有CSP）的直接最优NP难近似性证明，绕过了UGC。UGC的证明发明了一种全新的、古怪的编码，带有一个噪声测试。那是一个疯狂的递归构造。既不是long code，也不是short code——某种外星人的疯狂玩意。我仍然认为可能还存在一个使用half space code（这是很自然的）的证明。参考文献常常是不相关的、令人困惑的。一种可能的未来是：如果你有愿景和创造性想法，AI可以帮助检查和实现，那将是一个天堂般的数学世界。当然，我们还有很多要向这些"外星人"学习的。 如果你好奇Dana此刻的感受——嗯，大概*所有*感受都有吧！即使毕生的事业追求被机器人击败，对她来说至少有两个缓解因素。首先，她可以感到欣慰的是UGC终究是*真的*，这是她从未怀疑过的，尽管许多同事曾怀疑过！其次，我们所有从事数学、理论计算机科学和数学物理的人——至少是那些关心解决清晰表述的问题的人——如今都在同一条船上了。 --- 除了唯一博弈猜想之外，以下是阿拉丁宝库中的一些宝藏，可能是我未来几周最关注的： - **L=BPL** (https://github.com/openai/math/blob/main/preprints/Exact-Derandomization-of-Logarithmic-Space-L-equals-RL-equals-BPL-September-23-2026/paper.pdf)（即概率对数空间和确定性对数空间是等价的），这是仅次于P=BPP的伟大去随机化猜想之一。虽然其真实性从未受到严重质疑，但曾有一个完整的子领域专门致力于证明它。 - **傅里叶变换** (https://github.com/openai/math/blob/main/preprints/An-explicit-power-saving-for-the-exact-discrete-Fourier-transform-September-25-2026/main.pdf) 和 **整数乘法** (https://github.com/openai/math/blob/main/preprints/Integer-multiplication-below-n-log-n-September-23-2026/paper.pdf) 可以在少于O(n log n)的时间内完成，打破了自1960年代以来一直屹立不倒的壁垒。如果你好奇的话，新的运行时间是O(n log^0.9999999999999 n)，差不多是0.999……的9，看你要数几个。 - **酉合成问题的正面解答** (https://github.com/openai/math/blob/main/preprints/Polynomial-Time-Unitary-Synthesis-from-a-Boolean-Oracle-October-5-2026/paper.pdf)，这个问题是Greg Kuperberg和我于2007年提出的 (https://arxiv.org/abs/quant-ph/0604056)。对于每一个n量子比特酉变换U，存在一个经典预言机A，使得U可以在量子多项式时间内通过访问A来实现。这与我们大多数人的预期相反，可能对例如从黑洞中解码霍金辐射的计算问题以及量子复杂性理论中的许多其他问题产生影响——*前提*是我们有一种高效的方法来构造预言机A，而这篇论文并未给出。（**补充：** 这里有一篇精美的博客文章 (https://dakshitakhurana.substack.com/classical-at-heart)，来自朋友和同事Dakshita Khurana，讲述了她花费多年研究这个问题的经历——与我和大多数人不同，她正确地相信答案是正面的——以及她目前在研读AI证明时的感受。） - **奇偶性不在QAC⁰中** (https://github.com/openai/math/blob/main/preprints/Product-projection-localization-and-the-QAC0-parity-lower-bound-September-24-2026/paper.pdf)，这是自1999年以来量子复杂性理论中的伟大问题之一，我的许多同事一直在逐步逼近它。 - **随机化与量子查询复杂度在全布尔函数上近似4次方的分离** (https://github.com/openai/math/blob/main/preprints/A-Nearly-Quartic-Separation-Between-Randomized-and-Quantum-Query-Complexity-October-5-2026/quartic-query-separation.pdf)。这是我自1998年以来（！）一直钟爱的问题，当时我们只知道最优分离指数在2和6之间。过去几年里，我们知道它在3和4之间。所以，这个故事终于画上了句号。 - **敏感度与块敏感度之间的超二次方分离** (https://github.com/openai/math/blob/main/preprints/A-superquadratic-separation-between-sensitivity-and-block-sensitivity-September-25-2026/paper.pdf)。 - **二维有能隙哈密顿量的面积定律** (https://github.com/openai/math/blob/main/preprints/A-two-dimensional-area-law-from-a-global-spectral-gap-September-24-2026/paper.pdf)。哈密顿量复杂性理论的主要未解决问题之一。 - **矩阵乘法可在O(n^9/4)时间内完成** (https://github.com/openai/math/blob/main/preprints/Matrix-Multiplication-Nine-Fourths-October-2-2026/paper.pdf)——这回是一个*有理数*指数（！），而且是通过与O(n^2.373)等完全不同的方法实现的。 - **永久式行列式复杂度的Ω(n³)下界** (https://github.com/openai/math/blob/main/plots/../preprints/A-cubic-lower-bound-for-border-determinantal-complexity-of-the-permanent-September-24-2026/A-cubic-lower-bound-for-border-determinantal-complexity-of-the-permanent-September-24-2026.pdf)，改进了此前的最佳二次方下界。 - 一个**随机化多项式时间算法** (https://github.com/openai/math/blob/main/preprints/A-Fully-Polynomial-Randomized-Approximation-Scheme-for-Perfect-Matchings-in-General-Graphs-September-23-2026/main.pdf) 可以近似计数一般图中的完美匹配数目，还有一个**随机化近线性时间算法** (https://github.com/openai/math/blob/main/preprints/Almost-Linear-Time-Maximum-Cardinality-Matching-in-Sparse-General-Graphs-September-24-2026/main.pdf) 可以在一般图中*找到*最大匹配。 - **有理数上求解多项式方程的不可计算性** (https://github.com/openai/math/blob/main/preprints/Hilberts-tenth-problem-over-the-rational-numbers-September-24-2026/main.pdf)——这可以说是可计算性理论中最大的未解决问题（注意，*整数*上求解丢番图方程即多项式方程的不可计算性在1970年代就已被证明，对希尔伯特第十问题给出了否定答案）。 上述任何一项，单独拿出来都很容易成为某个领域（在某些情况下，如唯一博弈猜想和L=BPL，则是整个计算机科学理论领域）的"年度成果"。而且我还有很多没提到——欢迎在评论区分享让*你*惊掉下巴的成果！在数论、组合数学、代数几何、分析学以及几乎其他每一个数学领域中，都有同样令人震惊的奇迹，其中大部分我永远不会理解，但我会指出，其中包括朝**黎曼猜想** (https://github.com/openai/math/blob/main/preprints/The-Quasi-Riemann-Hypothesis-September-30-2026/paper.pdf) 和 **霍奇猜想** (https://github.com/openai/math/blob/main/preprints/The-rational-Hodge-conjecture-for-products-of-K3-surfaces-October-4-2026/hodge-conjecture-products-k3.pdf) 以及 **Birch–Swinnerton-Dyer猜想** (https://github.com/openai/math/blob/main/preprints/Exact-Birch-Swinnerton-Dyer-Formula-from-Low-Selmer-Corank-October-3-2026/exact-bsd-low-selmer-corank.pdf)（即剩余千禧年难题中的大部分）迈进的部分进展。 我们可以从名单上缺席的项目中得到一些安慰。P≠NP不在其中，P=BPP或NEXP⊄P/poly也不在其中，当然不是因为没有尝试。显然，理论计算机科学中最伟大的未解决问题确实相当困难！ --- 哦，差点忘了：在OpenAI发布*之前*一天，也就是周一晚上，Virginia Williams和Josh Alman在arXiv上发布了一份预印本 (https://arxiv.org/abs/2610.06783)，将3SUM问题的求解时间缩短到了O(n^1.9992)，将全对最短路径问题的求解时间缩短到了O(n^2.9995)，推翻了分别认为正确答案是n^(2-o(1))和n^(3-o(1))的已有半个世纪历史的猜想。在这个案例中，提供关键思路的不是OpenAI的模型，而是Anthropic的模型！但Anthropic采取了与OpenAI不同的方式：它没有将未经消化的解决方案直接发布给世界，而是给了Virginia和Josh机会，在获得报酬的同时撰写并发布一个经过消化的版本。 这已经成为传达AI数学突破的两种主要模式，各有优劣。"OpenAI模式"在人类中引发了一场疯狂的竞赛，去消化和解释一份凌乱的AI证明（这项工作很可能是吃力不讨好、几乎得不到认可、充满竞争且并不愉快的某种组合），而"Anthropic模式"则让一家私营公司处于挑选哪些人类数学家可以充当AI使者的地位。不知道你们怎么看？ --- 对于那些好奇的人：显然，创造了所有这些奇迹的AI模型*不是*那种烧掉数百万美元算力、由一万个代理组成的专用架构——比如用于构造Navier–Stokes方程有限时间爆破的那种。相反，它只是OpenAI最新的内部模型——根据OpenAI安全委员会的建议，可能会在几个月内向付费ChatGPT客户发布！（我9岁的儿子："哦，他们*绝对*不该发布这个。如果它能解决所有那些数学问题，它就*不可能*是安全的。"）显然，他们平均每解决一个问题大约使用了3小时GPT-Pro级别的算力。 另外，如果你也好奇的话：显然他们在一个大约8000个问题上测试了这个模型。所以，它目前*仅仅*解决了约5%的它被问到的长期未解决的数学问题——那些整个学术共同体花了多年时间研究的问题——每次只尝试一次，每次尝试3小时。 --- 我很高兴看到计算机科学理论界正在积极应对。在伯克利的Simons研究所、在我们UT Austin这里、在其他地方，我听到研究者们争先恐后地研读论文，*理解它们并解释它们*——因为不然我们还能做什么呢？我们还能如何继续这门我们奉献了大半生心血的技艺？ 如果你想感受一下现在数学界的氛围，想象一个狩猎采集者，他一辈子都在学习如何在一片无情的雨林深处生存，然后一座带停机坪、恒温泳池和AirBnB的巨大度假酒店在他旁边拔地而起，而这位狩猎采集者面不改色地说："好吧，行，那我新的工作就是给游客搞野外求生体验营之类的了。" 在《Quanta》杂志中，Jordana Cepelewicz尝试了另一种比喻 (https://www.quantamagazine.org/is-ai-the-end-of-math-as-we-know-it-20261005/)： > 就好像你被传送到了一座高山的峰顶。被浓雾笼罩，你不知道自己在哪里，也不知道周围有什么。你不知道你的山峰与其他山峰是如何相连的，你没有任何设备帮助你探索，也没有办法帮助其他人加入你。如果你是自己攀登这座山的，你会亲身体验人类的身体如何适应高海拔和氧气含量的变化。你可能不得不发明导航工具、攀登陡峭的悬崖、或建造避难所。你可能遇到另一位探险者，在一个隐秘的山谷中一起迷路，然后发现一种可以制成救命药物的植物。 > > 而现在你却被抛在了峰顶，身处黑暗之中，而传送装置的制造者告诉你，它探索荒野的能力比任何人类都强。 对于这些山峰中的任何一座，如果我们足够在意，我仍然乐观地认为我们可以一如既往地做到：拨开浓雾，找出上山的路——只不过现在是借助传送装置来帮我们指引方向。更大的挑战在于如何培养一个社群，在这个有机器存在的世界里，仍然*关心*攀登这些山峰的英雄壮举。（哦，我认为这个比喻的一个破绽在于，我们仍然拥有彼此，一如既往！） --- 经验表明，*即使到了现在*，仍会有人用居高临下的语气解释说，这一切都不是真的，一切都不算数。如果这样的人能被经验世界中发生的*任何*事情所打动，能根据*任何*事情更新认知，他们早在几年前就已经被打动了、已经更新了认知了——远在事情发展到真正的数学末日之前。 所以他们会说，也许那些所谓的解决方案根本不是解决方案，只不过是"AI垃圾"。或者也许昨天被解决的372个著名未解决问题都不是*真正的*数学问题，它们全都只是包装华丽的竞赛谜题和无聊琐事。（毕竟，黎曼猜想还没有被解决呢！）或者也许整个拥有4000年历史的数学学科都应该被扔进垃圾桶：事实证明，数学*从来*都只是解谜和无聊琐事；唯一的区别是现在无聊的面纱被揭开了。无论如何，真正重要的是人类创造力的*真正*圣殿没有被攻破——大概永远不会被攻破——另外，Sam Altman和Dario Amodei都是可鄙的小书呆子。 如果你仍然支持那个注定失败的世界观，仍然在那艘正在下沉的船上，我以最强烈的措辞鼓励你去阅读昨天*另一篇*关于AI话语的重要贡献——除了OpenAI数学末日大发布之外——那就是：Scott Alexander给Steven Pinker的公开信 (https://www.as