Claude 找到了雅可比猜想的一个反例

# Claude Fable 找到了雅可比猜想的一个反例 来源：https://news.ycombinator.com/item?id=48973869 https://news.ycombinator.com/vote?id=48975195&how=up&goto=item%3Fid%3D48973869 大约十年前，我记得遇到一位博士后，他相信自己找到了接近雅可比猜想反例的东西。他和另一个人正在暴力搜索大约16个变量的多项式，每个多项式有80到700项，用二叉树来映射系数。 当时他们猜测，反例 (P, Q) 的 max(deg(P), deg(Q)) 的下界会达到 200。 想到 Claude Fable 竟然在次数为7的情况下就找到了一个反例，这让我感到难以置信。我们确实进入了一个新时代。 https://news.ycombinator.com/vote?id=48976123&how=up&goto=item%3Fid%3D48973869 除非他们公开完整的 LLM 聊天记录，否则我会认为这只是一个营销噱头，AI 在实际证明中只起了很小的作用，甚至没有起作用。他们不公开 LLM 对话记录还能有什么其他理由呢？ https://news.ycombinator.com/vote?id=48975286&how=up&goto=item%3Fid%3D48973869 他们当时考虑的是16个变量，每个变量的次数大约为10。这个搜索空间对于单纯的暴力搜索来说太大了。所以他们做了某种过滤，将搜索空间缩小到一个包含“可能反例”的池子里。 还有一篇论文给出了该特定框架下可能反例的下界约为100。后来这个下界在 https://arxiv.org/abs/2204.14178 中被提高到108。 我不太记得细节了，因为那是在2015年，而且我当时并没有真正参与这项研究。请把这看作是2015年我听到的内容和我现在记忆之间的一种“传话游戏”。 https://news.ycombinator.com/vote?id=48974718&how=up&goto=item%3Fid%3D48973869 这是一个罕见的例子，将这种突破性的信息输入 LLM 反而让它们“精神错乱”。我把这个喂给 Claude Code，看着它用7种不同的方式验证结果以确保100%正确，它简直惊呆了。相当引人注目。 https://news.ycombinator.com/vote?id=48976087&how=up&goto=item%3Fid%3D48973869 我把这个映射输入给 ChatGPT，没有任何其他上下文，只说“告诉我这个函数是干什么的”。它做了一些工作，找到了雅可比矩阵等，最终弄清楚了它看到的内容的含义。然后它检查了四次算术，之后决定使用一个临时的符号检查器进行手动验证，以防它的 SymPy 被篡改过。 https://news.ycombinator.com/vote?id=48974870&how=up&goto=item%3Fid%3D48973869 我听说过数学家也有类似的经历，当他们从某个奇怪来源或自己那里得到一个奇怪的证明，而这个证明最终是正确的。 这很合理，他们经常收到业余爱好者提出的古怪证明，而且极有可能存在一些主要的致命缺陷，是业余爱好者没有看到的。或者就他们自己而言，存在某种盲目性，使得批判性地评估自己的跳跃变得更加困难。在这两种情况下，其表现方式就是反复多次、用多种方式检查，每次都更加确信自己错过了什么，直到最终崩溃。只有在那之后，你才会公开开始暗示这个新跳跃可能确实有道理。 https://news.ycombinator.com/vote?id=48974831&how=up&goto=item%3Fid%3D48973869 \> 所以，这个经受住了 Keller、Abhyankar、Moh 的次数100验证以及五个以上已发表的错误证明的猜想，似乎是在世界杯决赛期间通过一条推文死去的。 https://news.ycombinator.com/vote?id=48974939&how=up&goto=item%3Fid%3D48973869 我喜欢它先是震惊、不相信，然后接受，接着意识到你不仅是从推特上偷来的，而且这实际上是它自己的证明，笑死我了。 https://news.ycombinator.com/vote?id=48974729&how=up&goto=item%3Fid%3D48973869 我读了某人在 X 上发布的一些思考轨迹，确实，近乎精神错乱，因为它拒绝相信如此简单的解决方案竟然之前没有被发现。 https://news.ycombinator.com/vote?id=48974801&how=up&goto=item%3Fid%3D48973869 有趣的是，即使是 Qwen 3.6 27B 也能够验证这个解决方案，但我没有因为发现它而得到任何“吹捧”。相反，它认为一个名叫 Shestakov 的人早在2004年就已经找到了一个反例。 GLM 5.2 搞砸了，它坚称这个反例无效。 VibeThinker 3B 也识别出这个反例是有效的。但它一次又一次地试图说服自己这不是真的，因为这是一个“未解决的问题”。最终它只回答了“-2”。 https://news.ycombinator.com/vote?id=48975904&how=up&goto=item%3Fid%3D48973869 当前的 LLM 在处理未解决问题时表现非常适得其反，尤其是当它们了解到人类认为这些问题很困难时。这导致许多模型直接阻止自己尝试*任何事情*…… https://news.ycombinator.com/vote?id=48975424&how=up&goto=item%3Fid%3D48973869 \> 匹配！这太奇怪了。一个雅可比反例就藏在这里的提示中？等等……这个映射是不是文献中已知的“假”反例？许多数学家尝试过但失败了。这个特定的映射可能来自一篇论文或一个论坛，在那里它被提出然后被驳倒了。或者……它实际上是正确的？ Gemma 也很难接受它。一个解决方案？在这个季节？在这个时间？在这个国家？完全局限在我自己的提示里？ https://news.ycombinator.com/vote?id=48974823&how=up&goto=item%3Fid%3D48973869 \> 一个名叫 Shestakov 的人早在2004年就已经找到了一个反例。 Qwen 有研究生那种精神。 https://news.ycombinator.com/vote?id=48975581&how=up&goto=item%3Fid%3D48973869 考虑到这个反例如此之小……这感觉是一个很好的例子，说明许多有趣的结果将会被发现：不是因为它们超级困难，而是因为智力没有规模化，而且在计算机能够为我们做这些之前，认真研究过许多这类问题的人数很少。 我对这种效应在科学、医学以及其他学科中的影响感到非常兴奋。 https://news.ycombinator.com/vote?id=48975450&how=up&goto=item%3Fid%3D48973869 我有一个问题，令我惊讶的是没有人问：Fable 是如何找到这个的？是猜测了一大类多项式，然后求解这些类中的可能解吗？是巧妙的搜索？还是其他方法？ https://news.ycombinator.com/vote?id=48975530&how=up&goto=item%3Fid%3D48973869 我通过将所有逻辑步骤编译到 Lean（形式验证）中来这样做，AI 文本和 Lean 验证错误与警告之间的快速反馈循环确保了逻辑上的一致性。 剩下的问题有两个：确保证明的思想确实是你想要证明的东西，以及对你得到的结果的解释。但除此之外，内核检查代码内部的所有内容在逻辑上都是一致的。 https://news.ycombinator.com/vote?id=48975639&how=up&goto=item%3Fid%3D48973869 根据我的经验，Lean 会证明它是正确的，但这不会失去导致该结果的数学直觉吗？就我的经验而言，这很难在 Lean 本身中进行编码。 我们能否从这里的 LLM 轨迹中获取更多关于问题的信息？ https://news.ycombinator.com/vote?id=48975768&how=up&goto=item%3Fid%3D48973869 随着证明变得越来越复杂，我们将需要两条 AI 流水线：一条用于生成 Lean 证明，另一条用于从 Lean 证明中为数学家提取有用的经验教训。 https://news.ycombinator.com/vote?id=48974311&how=up&goto=item%3Fid%3D48973869 这种数学清理操作的好处在于，没有人会再浪费时间试图证明它是正确的了。如果有什么的话，那也算是一种胜利。 如果 LLM 接下来能解决考拉兹猜想那就太好了，天知道有多少不怀疑的受害者在那上面浪费了多少人年。 https://news.ycombinator.com/vote?id=48974338&how=up&goto=item%3Fid%3D48973869 这之所以“容易”，是因为这个猜想被证明是错误的。如果考拉兹猜想成立（大多数数学家似乎认为它会成立），那么证明它将比一般的 Erdos 问题难得多。 https://news.ycombinator.com/vote?id=48974363&how=up&goto=item%3Fid%3D48973869 我认为楼主的意思是，每个错误的猜想都可能耗费大量时间用于徒劳的肯定性证明。所以如果我们“清理”掉一堆错误的猜想，那么更多的精力就可以花在其他猜想的趣味证明上。（这可能是一种相当天真的关于猜想价值的观点，但我只是提供对该评论的另一种解读。） https://news.ycombinator.com/vote?id=48975237&how=up&goto=item%3Fid%3D48973869 相反的观点是，解决这些问题的希望在于过程中会揭示其他有趣的数学知识。找到一个反例几乎肯定意味着这种情况永远不会发生。 https://news.ycombinator.com/vote?id=48976071&how=up&goto=item%3Fid%3D48973869 不，这开启了一系列全新的问题。现在我们可以问，例如：结果成立需要什么条件？它在哪些维度成立？还有更多…… https://news.ycombinator.com/vote?id=48975950&how=up&goto=item%3Fid%3D48973869 我曾在世纪之交当过一段时间的年轻数学家…… “浪费时间试图证明它”是 MBA 式的思维方式，你应该产出结果和文章。 在 MBA 思维模式之外，攻克难题，即使是不成功的，也是获得对各种结果和工具更深刻见解的方式，这些见解以后可以应用到其他问题上，也就是说，根本没有浪费时间，除非你走向极端（比如在单一问题上花费多年且不做其他任何事情）。 https://news.ycombinator.com/vote?id=48974894&how=up&goto=item%3Fid%3D48973869 这太不合理了！正如 @\_\_alpoge\_\_ 本人所指出的，这属于经典的“疯子墓地”领域，然而这个反例是一个1997年的研究生用大约3天的计算机搜索就能找到的东西。太疯狂了！ https://news.ycombinator.com/vote?id=48976152&how=up&goto=item%3Fid%3D48973869 \> 然而这个反例是一个1997年的研究生用大约3天的计算机搜索就能找到的东西。 这是真的吗？即使将 f(x,y,z) 限制在系数和幂次在 1 ≤ x ≤ 10 的范围内，也有大量的多项式需要检查，而检查需要计算雅可比行列式，并且如果它是一个非零常数，则需要找到两个使多项式产生相同值的点。 或者有没有办法生成所有具有非零雅可比行列式的多项式，这能加快速度吗？（我的直觉说不会，因为我猜那些行列式为零的多项式很少见。） https://news.ycombinator.com/vote?id=48974551&how=up&goto=item%3Fid%3D48973869 维基百科就是维基百科。除非对雅可比猜想本身存在实质性的争论，否则这里确实没有任何未解决的问题。这不是一个复杂的证明；这是一个可以直接检查的解决方案证书。 https://news.ycombinator.com/vote?id=48975032&how=up&goto=item%3Fid%3D48973869 这很繁琐，但你甚至完全可以手工完成。我很确定我在高中参加数学竞赛时做过更糟糕的坐标暴力计算。 https://news.ycombinator.com/vote?id=48974662&how=up&goto=item%3Fid%3D48973869 这毫无道理：映射的 properness 等价于它是同构的（快速证明：雅可比可逆意味着映射是 etale 的，而 properness 意味着它是有限 etale 的，但仿射空间不允许非平凡的有限 etale 覆盖），所以缺乏 properness 只是验证这确实是一个反例的另一种方式。 https://news.ycombinator.com/vote?id=48975064&how=up&goto=item%3Fid%3D48973869 当然可以？仿射线的两个副本？（我猜没有伽罗瓦群，也没有连通的有限 etale 的东西） https://news.ycombinator.com/vote?id=48974422&how=up&goto=item%3Fid%3D48973869 作者拥有剑桥大学的数学博士学位。如果这最终被证明是一个虚假的主张，那将成为关于 AI 的谄媚行为导致即使专家也放松警惕并犯错误的有趣案例研究。 https://news.ycombinator.com/vote?id=48974519&how=up&goto=item%3Fid%3D48973869 你指的是谁？推文的作者是 Levent Alpöge，他并没有剑桥大学的数学博士学位……但他确实有普林斯顿大学的数学博士学位。他的导师是菲尔兹奖得主 Manjul Bhargava。 而且，这个反例不可能是错误的。你可以很容易地自己检查它。（我检查了，不知道为什么，显然 Levent 不会在这上面出错，但我想我大概是震惊了。） https://news.ycombinator.com/vote?id=48974521&how=up&goto=item%3Fid%3D48973869 这是一种已知的行为。我注意到我合作的许多团队干脆把他们可能拥有的任何智能都交给了 AI。 我去查了一下，想看看这是否只是我们的情况，但确实有几篇关于这个的研究论文。这是我知道的最新的一篇。 https://arxiv.org/pdf/2603.10025 https://news.ycombinator.com/vote?id=48974611&how=up&goto=item%3Fid%3D48973869 我不知道你为什么这么说，因为这根本不是谄媚，而是 Claude Fable 找到了一个真实反例的实际例子。如果这位数学家发布了一些不真实或古怪的东西，我会理解，但他发布的是真实的东西。 在过去的几个月里，前沿模型已经解决了数学中的几个主要未解决问题，所以这不应该是一个巨大的冲击。“反 AI 精神病”可能会在今年年底前增长到超过“AI 精神病”。 https://news.ycombinator.com/vote?id=48974952&how=up&goto=item%3Fid%3D48973869 \>*“反 AI 精神病”可能会在今年年底前增长到超过“AI 精神病”。* 每个人都有自己的经历，很难判断什么样的态度是普遍的。 从我遇到的情况来看，反 AI 的人更常见，也更直接地吓人。 我听到过一些支持 AI 的人群的想法，并对自己说“嗯，那不会很快发生”，热情导致了过度乐观。他们中的很多人会失望的。 反 AI 的人群，我将其与那些希望 AI 以负责任、可持续和尽可能安全的方式发展的人群区分开来。这里确实存在对真实问题的真正批评。我看到的反 AI 人群似乎想把世界上的 AI 都抹去，他们阻碍任何负责任的实施，因为那将意味着接受 AI。 那些人让我害怕，他们将一切都视为其现实证明的恶意解读的恶毒言辞，带有真正信徒的道德正义感。对暴力行为的直接认可让我担心该群体中更激进或情绪不稳定的人会造成严重伤害。造成暴行的并不是激进运动的主体，参与其中的大多数人只是创造了一种使有毒态度正常化的环境。这种环境可以孵化出少数采取行动的个人，无论是出于心理原因、地位原因，还是仅仅因为缺乏同理心或无法考虑后果。 https://news.ycombinator.com/vote?id=48975112&how=up&goto=item%3Fid%3D48973869 我见过很多视频，显示当地居民因表现出反 AI 情绪而被强行带离市政厅。我认为用这些例子来污名化整个支持 AI 的阵营是不公平的。你评论中客观性和主观性交织的方式非常精彩，有没有考虑过从事宣传事业？ https://news.ycombinator.com/vote?id=48975338&how=up&goto=item%3Fid%3D48973869 你有这些视频的链接吗？ 你评论说