@jerryjliu0: 这太棒了。今天早上没工作，我花了一些时间温习数学，给出一个粗略的概述…

这太棒了。今天早上我没有做工作，而是花时间复习了一下数学，给其他像我一样没有数学背景、生疏了的人提供一个粗略的概述：

从远处看，这个猜想基本上是说，如果一个 n 维多项式函数（例如 F(x, y, z) 映射到某个输出 (x’, y’, z’)）满足一些特殊条件，那么 1) 它是可逆的，并且 2) 逆函数是多项式的。

反驳这个猜想需要找到一个满足这些特殊条件的 n 维多项式函数，但它要么 1) 完全不可逆，要么 2) 可逆但不是多项式。(2) 实际上因为其他数学定理是不可能的——如果存在逆函数，那么逆函数必须是多项式的。

可逆性仅仅意味着函数可以在每个输入点被“撤销”——如果输入 (x1, y1, z1) 映射到输出 (x2, y2, z2)，那么输出 (x2, y2, z2) 可以映射回输入 (x1, y1, z1)。如果有多个输入点 (x, y, z) 映射到同一个输出 (x, y, z)，那么函数就不可逆。

在这里，Fable 5 大概进行了一些搜索，发现了一个不可逆的函数。

那个函数是这样的：
F(x, y, z) = ( z(1+xy)^3 + y^2(1+xy)(4+3xy), y+3x(1+xy)^2z + 3xy^2(4+3xy), 2x-3x^2y-x^3z )

这个函数满足特殊条件（雅可比行列式在每个点都是非零常数），但有多个输入点映射到同一个输出：

输入： (0, 0, -1/4), (1, -3/2, 13/2) 和 (-1, 3/2, 13/2) 都映射到同一个输出： (-1/4, 0, 0)

雅可比矩阵是导数的多变量版本，所以它是特定输入点的函数。当雅可比行列式在某个特定输入点非零时，该点附近存在局部可逆性。这个猜想更强：如果它是非零的（而且是常数，因为是在复数域上，我不太理解，也没时间弄明白），那么函数是全局可逆的。

有趣的是，寻找反例似乎是智能体模型擅长的数学工作。这涉及生成和遍历大型搜索空间，利用先验知识缩小范围，再加上一点蛮力和原始计算能力。机器能比人类更快地处理大量可能性，这有助于寻找反例。

levent (@alpoge): 大家好，雅可比猜想是假的，感谢我的好朋友 akhil 问到它，以及我的另一个好朋友 fable 在世界杯决赛期间工作

((1+xy)^3 z + y^2 (1+xy) (4+3xy), y + 3 x (1+xy)^2 z + 3 x y^2 (4+3xy), 2 x - 3 x^2 y - x^3 z): \C^3\to \C^3,