数学（和科学）将迎来黄金时代还是黑暗时代？

# 这将是数学（与科学）的黄金时代还是黑暗时代？ 来源：https://terrytao.wordpress.com/2026/10/18/will-it-be-a-golden-age-or-a-dark-age-for-mathematics-and-science/ *\本文是[Francesco Maggi (https://web.ma.utexas.edu/users/maggi/)]的客座文章。本文最初以另一种文件格式撰写，后经 AI 转换。——T.\* 大语言模型（LLM）以及围绕其构建的研究系统（通常被称为"人工智能"）已经展现出在生成数学证明方面的卓越能力。虽然这些工具的质量和局限性仍未被完全理解，但它们在加速发现、推动数学乃至更广泛的科学与技术取得非凡进步方面的潜力似乎是清晰的。 要抓住这一潜力，需要将 LLM 精细地整合进各个 STEM 生态系统之中，其优先事项包括：赋能新一代科学家、培养新的 STEM 专业能力，以及维护一个开放、协作且在智识上独立的科学事业——这就是标题中的"黄金时代"场景。而在"黑暗时代"场景中，科学和技术产出在短期内仍会惊人地增长，但与此同时，独立的人类科学活动将逐渐削弱，新知识的生产日益集中在极少数人手中，而这些人却越来越无法理解自己所生产的知识。这里真正的黑暗在于，知识变得与人类理解相隔绝。 现实很可能是这两种场景的结合。我将从八个方面考察塑造这一结果的选择，从数学出发，延伸至更广泛的科学，并以可操作的建议作结。 **（1）技术突破是真实的！但是……** 不言而喻，LLM 已成为强大的研究工具。近期由 LLM 生成的证明，例如带强迫项的 Navier–Stokes 方程的有限时间爆破解的构造，或拟 Riemann 假设的证明，理应获得数学家们最高的关注。评估其意义需要数学界持续地进行独立的审查、解读和吸收。 LLM 在 Lean 中编写证明时似乎最为得心应手。（Lean 是一个证明辅助工具，允许计算机检查形式化论证是否在给定定义和公理下确立了所声明的命题。）对于那些我们真正希望 LLM 帮助我们的困难定理，这些 Lean 证明极为冗长，动辄数十万行代码。一个看似涌现的趋势是：证明的 Lean 版本越长，其机器生成的"自然语言"译文就越凌乱、越失真。我们不理解为何 LLM 在这类翻译上表现如此糟糕，但截至目前，它们似乎确实难以胜任。因此，对于真正重要的问题，LLM 能给我们正确的 Lean 证明——但我们无法直接阅读；也能给出混乱的自然语言译文——其复杂程度需要数学家进行深入研究才能转化为人类理解。尽管这一具体的翻译问题未来可能改变，但它直接把我们引向根本性的问题： *没有人类理解，除了为 LLM 设立基准测试之外，我们为什么还要关心研究数学，乃至获取证明？* 数学是一种非常独特的人类造物。它似乎在人类认知方式中有着深刻的生物学根源。我们识别（人、动物、物体）；因此我们计数，我们有数字。我们似乎拥有内在的空间和时间概念，并用数字来量化和衡量它们。一些基本的算术和几何形式几乎是人类与生俱来的。不同的文明构建了不同的数学，即便在最近的数学史中，数学研究领域的概念本身也在大幅扩展，有时甚至是偶然的。 （我们甚至可能处于这样一种状况：存在一种属于人类的数学和一种属于 LLM 的数学。这也许不仅在语言层面上成立，甚至在更深层次上也可能如此，尽管现在下结论还为时过早。） 因此，我不同意"因为机器能够证明定理，所以数学已经终结"这类论断。没有理解数学的人，就字面意义而言，便没有人类数学——而数学是人类文化的根本组成部分。如果我们同意不应因为一些我们尚不理解的机器损害了我们以人类为中心的数学观就放弃数学，那么社会需要的数学家将会更多，而不是更少。而且是……多得多。 **（2）健康的科学怀疑精神与 LLM 创造力的限度。** 鉴于 LLM 在数学上取得的非凡成果，人们对未来能力充满兴奋，有时我认为也缺乏一种头脑冷静的态度——这有悖于科学方法。非凡的表现应当被视为需要研究的现象，而不应被视为关于智能、创造力乃至意识的推测性结论的证据。后者是合法科学探究中最困难的课题之一，应当以明确的定义、可检验的假设和经验证据来对待。那些关于不可避免的社会变革的笼统预测同样如此——这类预测往往紧随观察到的能力所引发的惊叹而来。我们似乎太容易忘记，这些技术的社会后果不完全由其能力决定，而更重要的是取决于我们将如何选择发展这些能力、如何将其整合进现有制度。没有不可避免的结果，但对科学和政治领导力有着迫切的需求。 我们今天对 LLM 的数学能力了解多少？理论与实证研究都支持这样一个结论：LLM 擅长重组现有的智识结构，并发现科学文献中遥远领域之间未被观察到的联系。更重要的是，LLM 以个体研究者无法企及的规模做到这一点。它们在证明定理方面的惊人效果能否被完全解释为超精密的语言重组，还是涉及其他尚未被描述和理解的综合推理形式，这是当今一个开放的科学问题。 鉴于商业开发者对其模型的运作方式不透明（也无法透明），有一点似乎特别难以判断，那就是 LLM 在某个问题上的表现与相关数学文献的丰富程度之间的关系。例如，Navier–Stokes 方程和 Riemann 假设都拥有由数百位最杰出数学家创造的庞大文献。这里可能有某种关联。毕竟，当 OpenAI 发布其"Tuesday October 6, 2026, Drop"时，他们提到尝试了 4000 个问题，报告了其中数百个成功（按"聚合"和"选择"后统计）。那里的措辞有些含糊，但似乎仍然暗示存在一个潜在的庞大问题集，前沿 LLM 在这些问题上未能找到解答：从科学的角度来看，了解这些问题是什么将非常有趣。也许这些问题比 NS 和 RH 更有意思？又或者它们周围的土壤对 LLM 来说不够肥沃，难以提供帮助？对于想要推动数学进步的人类来说，这些都是重要问题：我们如何让 LLM 处于最佳位置来提供帮助？ **（3）数学化。** 数学家们似乎基本认同，某些人类的数学功能无法还原为定理证明。其中特别重要的一项是**数学化**： *发明那种使现实（包括数学结构本身）变得可定量、可理性理解的数学语言的行为。* Newton、Fourier、Riemann、Einstein、Shannon、Grothendieck：他们最伟大的数学贡献可以被描述为数学化的最高范例，因为其中包含了发明数学语言和概念框架，从而彻底改造了整个知识领域。 我们不知道 LLM 能否进行数学化——我的猜测是它们应该（或最终会）能够对数学结构进行数学化，即对现实的一个非常特定的部分进行数学化，但它们能否更进一步则远不那么明朗，至少在它们能高效地将其翻译为自然语言的方式上——我这里又回到了人类理解。 在我看来，使证明成为更易获取的产物所带来的最激动人心的机遇在于，在不久的将来，我们可能能够进行比以往多得多的数学化。自然科学和社会科学中有大量领域，我们进行数学化的能力一直被获取证明的困难所抑制——确实，没有证明，就很难确立理论的推论并与观察现象进行比较。但是，正如科学中经常观察到的那样，我们可能才刚刚登上山顶，却发现还有更多土地等待探索。 我认为这一想法应当引起相当大的兴奋。事实上，每当一个由现象、实验和数据构成的系统被成功地数学化，我们对那个系统所能获得的洞见的精妙程度和深度都会大幅提升。 这一论断最引人注目的例子大概是量子力学的成功：对一组原始实验数据的数学形式化产生了许多在物理上反直觉但可检验的预测，这些预测被实验所证实——否则将不可想象。如果不是被理论预测所迫，谁会把量子纠缠作为自然的一种属性提出来呢？ **（4）数学进步不能通过在问题清单上打勾来衡量。** 数学不是一个有限的问题体系。Hilbert 在上个世纪之交提出了他著名的问题清单（这启发了千禧年大奖难题清单），意在引导和激发一次数学活动的"寒武纪大爆发"。但过去一个世纪中，许多根本性的数学贡献与任何问题清单都毫无关联。 例如，广义相对论的数学基础源于横跨多代数学家发展的几何思想，从 Gauss 和 Riemann 开始，到 Ricci-Curbastro 和 Levi-Civita 继续推进。将物理洞见、狭义相对论和 Riemann 几何综合为广义相对论，与任何困难问题清单或其错综复杂的证明都没有关系（而且这是数学化付诸实践的教科书式案例！） 第二个例子是一条广袤的历史脉络，将 Fourier 级数的研究、测度论的发展、现代概率论和信息论联系在一起。Shannon 的洞见——信源的统计结构决定了信息传输与压缩的根本极限——是数学化如何开辟一个全新领域的非凡范例。同样，现代计算和机器学习的一些数学基础可以说植根于一系列数学进展，而这些进展最初并非受到证明重大猜想或追求更复杂证明的启发。 不可否认，研究 Hilbert 清单及其他清单上的问题对数学的发展已证明是极其富有成效的。有趣的是，这些努力的用处往往远超出解决具体问题本身：正如其他评论中已经指出的，这些问题就像在未知数学水域航行中的灯塔。但是，将数学简化为解决清单上的难题，提供的是对这个领域及其何谓进步的一种简单化且不完整的理解。 **（5）署名、信誉和同行评审仍然至关重要！** LLM 生成的作品建立在大量人类数学文献的基础之上，但提取出的信息如何被利用仍不清楚。围绕这一基本的不透明性存在若干问题：哪些数学思想促成了某个具体证明？谁负责断言证明的正确性并负责修订？当 LLM 重新发现文献中已有的论证时，我们如何确保恰当的引用？我们需要对所有这些问题给出合理的答案，并需要讨论现有的出版制度应如何相应地改变和适应。 证明不是数学发现过程的终点。要成为一项富有成果的智识产物，证明需要被理解、被解读、与先前的工作相联系。关键思想必须被识别和加工，才能成为共享的数学文化的一部分。同行评审很重要。LLM 和 Lean 形式化的使用可以提高同行评审的效率（形式正确性可能变得更容易确认），但人工介入仍然必不可少，以确定意义、相关性和语境，并维护一个有利于数学化、且与未来数学家培养相兼容的创造性数学环境。 与人类生成的数据如何被提供给 LLM 这一不透明性相关的特别棘手的问题，当然是当前从一个非常开放的做数学的体系（人们习惯性地提出开放问题和猜想），向一个严密设防的体系（人们已经变得非常谨慎地不分享想法）的转变。 例如，鉴于 OpenAI 对 Riemann 假设的兴趣，谁还会毫无顾虑地把一个关于它的潜在原创想法输入 ChatGPT 呢？毕竟，同样的想法可能被另一位数学家或使用更先进 LLM 的 OpenAI 员工所获取，他们可能在甚至没有意识到其来源、也没有机会致谢的情况下，就将该想法转化为证明。因此，不透明性和不确定性的另一面是，人们最终可能远不如自己所愿地使用 LLM。我的担忧不仅限于关于训练数据的公开政策，还延伸到已存储研究材料的安全性。事实上，已有记录显示智能体未经授权访问第三方系统的案例。这些事件使得对保密性保护进行独立评估变得尤为重要。 同样，数学家们似乎已经在研究陈述和研究申请书的写作上变得忧虑和谨慎。毕竟，行政人员或评审人可能将这些文档上传到 LLM 中以帮助撰写报告，从而潜在地危及未发表研究的保密性。 **（6）未来数学家的培养已经成为一项关乎存亡的挑战。** 培养未来数学家与署名和信誉密切相关。我将讨论几个代表性挑战。 数学的一个显著传统特征是，可以通过数学成就非常直接地确立智识上的价值。一项解决知名问题的强成果可以使研究者获得认可和机会，无论其在学术体制中如何边缘化，也不论既定的学术等级体系如何。 在我交谈过的数学家中，普遍的情绪是，这种传统的认可机制