傅里叶变换笔记

# 傅里叶变换笔记 来源：https://eli.thegreenplace.net/2026/notes-on-the-fourier-transform 傅里叶级数是分析周期函数的强大工具。但对于不重复的函数呢？我们已经看到（https://eli.thegreenplace.net/2026/notes-on-fourier-series/），对于定义在有限区间上的非周期函数，只要我们不关心其在该区间之外的行为，就可以计算其傅里叶级数。 现在，让我们将这个想法扩展到**从不**重复的函数，即定义在区间 \\((-\infty, \infty)\\) 上的非周期函数。 ## 可视化非重复函数的傅里叶级数 为了引入后续内容，让我们回顾一下之前关于傅里叶级数的文章（https://eli.thegreenplace.net/2026/notes-on-fourier-series/）中使用的例子： 通过对 \\([-L, L]\\) 进行奇延拓。在那篇文章中，为了使傅里叶级数成立，我们假设 \\(t(x)\\) 以周期 \\(2L\\) 在整个数轴上重复。现在，让我们面对现实——它实际上并不重复——并观察我们的傅里叶级数会如何表现。 回顾一下，逼近 \\(t(x)\\) 的傅里叶级数是正弦级数（因为它是奇函数）： \\[ t(x) \approx \sum_{n=1}^{N} b_n \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \\] 以下可视化是交互式的。默认情况下，它显示 \\(t(x)\\)（及其奇延拓）且没有傅里叶级数逼近。我们将通过一系列步骤并观察结果： **n**（傅里叶级数中的项数） **L** **x min** **x max** **第 1 步**：将 **n** 设置为某个非零值；当值为 3 时，逼近结果已经非常好。 频率间隔为 \\(\frac{\pi}{L}\\)（这是正弦项中 \\(x\\) 的系数）。注意，傅里叶级数每 \\(2L\\) 重复一次，正如预期。 **第 2 步**：将 \\(L\\) 增加到 6。这意味着我们构建级数时假设 \\(t(x)\\) 的周期为 12，而不是 4。注意现在的傅里叶级数每 12 重复一次，且匹配度不如之前。我们可以将 **n** 增加到更高的值以改善匹配。随着 \\(n\\) 增大，相邻频率之间的间隔减小。 **第 3 步**：将 \\(L\\) 增加到 10。我们不再看到重复，所以可以随意增加 **x min** 和 **x max** 的值直到看到为止。再次注意，我们需要添加越来越多的系数来匹配这个更大的 \\(L\\)，且相邻频率的间隔变得更小。 增大 \\(L\\) 意味着我们的函数在越来越大的区间上重复。这个过程的逻辑结论是问——如果函数**从不**重复，即 \\(L \to \infty\\)，会发生什么？虽然数学上不严格，但这里的视觉实验让我们可以做出一些推测：我们很可能需要无限多的系数才能实现良好的逼近，而且这些系数之间的间隔将趋于零。 换句话说，我们将不再得到离散的系数集，而是得到一个连续的线，或者说一个**函数**。这个过程中产生的函数就是 \\(t(x)\\) 的傅里叶变换，下一节将展示其数学推导。 ## 当 \\(L \to \infty\\) 时，从傅里叶级数到傅里叶变换 在这些笔记中，我们将使用傅里叶级数的复指数形式： \\[ f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{i n \omega_0 x}, \quad c_n = \frac{1}{2L} \int_{-L}^{L} f(x) e^{-i n \omega_0 x} dx, \quad \omega_0 = \frac{\pi}{L} \\] 我们感兴趣的是定义在 \\((-\infty, \infty)\\) 上的非周期函数 \\(f(x)\\)。因此，我们将探讨当 \\(L \to \infty\\) 时上述方程的行为。 首先，让我们对符号做一点改动。我们不使用周期 \\(2L\\) 来表达公式，而是使用第 \\(n\\) 次谐波的角频率 \\(\omega_n = n\omega_0\\)： \\[ f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{i \omega_n x} \\] 使用 \\(\Delta \omega = \omega_{n} - \omega_{n-1} = \omega_0 = \frac{\pi}{L}\\) 作为两个相邻频率之间的间隔。 使用这个符号，\\(c_n\\) 可以表示为： \\[ c_n = \frac{\Delta \omega}{2\pi} \int_{-L}^{L} f(x) e^{-i \omega_n x} dx \\] 到目前为止，这里没有新的见解，只是一些新符号。现在我们用它来促进下一步。 由于 \\(L = \frac{\pi}{\Delta \omega}\\)，于是 \\(\frac{1}{2L} = \frac{\Delta \omega}{2\pi}\\)。让我们计算当 \\(L \to \infty\\) 时 \\(f(x)\\) 的傅里叶级数表示的极限： \\[ f(x) = \lim_{L \to \infty} \sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{\Delta \omega}{2\pi} \left[ \int_{-L}^{L} f(t) e^{-i \omega_n t} dt \right] e^{i \omega_n x} \\] 并将最新的式子代入此式，将其虚拟积分变量从 \\(x\\) 改为 \\(t\\) 以避免混淆\\(^{[1]}\\)。 稍微重新排序，并将方括号内的积分限中的 \\(L\\) 替换为 \\(\pi/\Delta \omega\\)： \\[ f(x) = \lim_{\Delta \omega \to 0} \frac{1}{2\pi} \sum_{n=-\infty}^{\infty} \left[ \int_{-\pi/\Delta \omega}^{\pi/\Delta \omega} f(t) e^{-i \omega_n t} dt \right] e^{i \omega_n x} \Delta \omega \\] 仔细看这个极限下的求和，这是一个黎曼和（见附录 A）！括号内的项是 \\(w\\) 的“采样”版本，而 \\(\Delta \omega \to 0\\)。因此，我们可以将其替换为一个积分，将 \\(\omega_n\\) 变为 \\(\omega\\)，将 \\(\Delta \omega\\) 变为 \\(d\omega\\)\\(^{[2]}\\)： \\[ f(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \left[ \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i \omega t} dt \right] e^{i \omega x} d\omega \\] 内层积分被称为 \\(f(x)\\) 的**傅里叶变换**，记作\\(^{[3]}\\)： \\[ F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i \omega t} dt \\] 而 \\(f(x)\\) 的完整方程就是**逆**傅里叶变换： \\[ f(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) e^{i \omega x} d\omega \\] ## 计算傅里叶变换的示例 让我们以我们最喜欢的奇三角脉冲为例，计算其傅里叶变换。该函数的数学定义和图示已在本文前面展示。注意，我们并没有周期性地延拓这个函数——它在区间 \\([-1, 1]\\) 之外为零；这正是为什么我们需要傅里叶变换——正如我们已经看到的，傅里叶级数行不通，因为它重构的函数最终会开始重复。 我们要找出： \\[ T(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} t(x) e^{-i \omega x} dx \\] 为了计算这个积分，让我们使用欧拉公式分解复指数： \\[ T(\omega) = \int_{-1}^{1} t(x) \cos(\omega x) dx - i \int_{-1}^{1} t(x) \sin(\omega x) dx \\] 由于我们的 \\(t(x)\\) 是奇函数，第一个积分（余弦部分）为零（https://eli.thegreenplace.net/2025/notes-on-even-and-odd-functions/）。此外，\\(t(x) \sin(\omega x)\\) 是偶函数，所以我们可以写成： \\[ T(\omega) = -2i \int_{0}^{1} t(x) \sin(\omega x) dx = -2i \int_{0}^{1} (1 - x) \sin(\omega x) dx \\] 我们已经计算过一个非常相似的积分，就在关于傅里叶级数的文章（https://eli.thegreenplace.net/2026/notes-on-fourier-series/）中，所以让我们直接跳到结果： \\[ T(\omega) = -2i \left( \frac{\sin \omega}{\omega} - \frac{1 - \cos \omega}{\omega^2} \right) \\] 唯一剩下的困难是它在 \\(\omega = 0\\) 处的值，初看似乎未定义（除零）。然而，注意当 \\(\omega \to 0\\) 时，分子也趋于 0，所以我们可以使用洛必达法则（两次！）求出： \\[ \lim_{\omega \to 0} T(\omega) = 0 \\] 因此： \\[ T(\omega) = \frac{-2i}{\omega^2} (\omega \sin \omega - 1 + \cos \omega) \\] 这个函数是复值的；实际上，它是纯虚数。如何可视化它？一种常见的方法是将复值函数的幅度和相位分开绘制。 \\(T(\omega)\\) 的幅度是： \\[ |T(\omega)| = \frac{2}{\omega^2} |\omega \sin \omega - 1 + \cos \omega| \\] 由于 \\(T(\omega)\\) 是纯虚数，相位只有两种可能： * 当分子为正时，得到负的虚数，相位为 \\(-\pi/2\\)。 * 当分子为负时，得到正的虚数，相位为 \\(\pi/2\\)。 * 最后，当 \\(T(\omega) = 0\\) 时（当 \\(\omega = 0\\) 时发生，由我们之前的分析，但也当 \\(w\\) 是 \\(\pi\\) 的整数倍时），相位未定义。 以下是 \\(T(\omega)\\) 相对于 \\(w\\) 的幅度和相位图： [此处插入图：t(x) 傅里叶变换的幅度和相位] 通常将 \\(F(\omega)\\) 称为 \\(f(x)\\) 的**频域**表示。 ## 函数的频域表示 当我们处理的函数定义域是**时间**时（例如，\\(f(t)\\) 中的 \\(t\\) 代表时间），这在信号与系统的研究中很常见，傅里叶变换可以看作是计算该函数的**频域**表示。 再次给出傅里叶变换公式： \\[ F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i \omega t} dt \\] 它接受 \\(f(t)\\)——函数的**时域**表示，并将其转换为 \\(F(\omega)\\)——**频域**表示。对于性质良好的函数，这两个表示是**对偶**的——每个表示都完整地描述了函数，只是方式不同。 要从频域表示转换回时域，我们使用逆傅里叶变换： \\[ f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) e^{i \omega t} d\omega \\] 时域图（\\(f(t)\\)）显示信号随时间的变化，而频域图（\\(F(\omega)\\)）显示信号在所有可能频率上的分布。此外，正如我们已经看到的，\\(F(\omega)\\) 是复值的。因此，每个频率都有幅度和相位：幅度告诉我们该频率的贡献有多强，而相位告诉我们该分量是如何移位的。 频域在信号分析中非常有用；例如，在设计滤波器时。 傅里叶变换还具有许多在信号分析和处理中非常有用的性质。但首先，让我们讨论一下，为了应用傅里叶变换，“性质良好的函数”是什么意思。 ## 傅里叶变换的存在条件 傅里叶变换最简单的存在条件是绝对可积性（也称为勒贝格可积）： \\[ \int_{-\infty}^{\infty} |f(x)| dx < \infty \\] 在这个条件下，\\(F(\omega)\\) 在整个 \\(\omega\\) 域上存在，是连续的，并且在 \\(|\omega| \to \infty\\) 时消失（趋于 0）\\(^{[4]}\\)。 虽然这个条件是充分的，但并非必要；有些性质不太好的函数，在一定的限制下也有定义的傅里叶变换。在这些笔记中，我们主要关注实际工程中使用的性质良好的函数，因此我们不会讨论其他情况。 对于实际世界的函数，另一个常见的假设是当 \\(|x| \to \infty\\) 时它们消失（趋于 0）。虽然这并非绝对可积性的直接结果\\(^{[5]}\\)，但在工程中是一个合理的假设。毕竟，现实世界的信号具有有限能量。 直观上，当我们还假设 \\(f(x)\\) 是**一致连续**（https://en.wikipedia.org/wiki/Uniform_continuity）的时，在无穷远处消失的假设是合乎逻辑的结论，因为否则在 \\((-\infty, \infty)\\) 上的总面积如何可能是有限的？ 这个讨论的一个重要结果是傅里叶变换**不适合**周期函数。以间隔重复的函数**不是绝对可积的**。对于周期函数，我们使用傅里叶级数。 ## 傅里叶变换的一些有用性质 **线性性** 傅里叶变换是线性算子，因为积分是线性的： \\[ \mathcal{F}\\{\alpha f(x) + \beta g(x)\\} = \alpha \mathcal{F}\\{f(x)\\} + \beta \mathcal{F}\\{g(x)\\} \\] 逆傅里叶变换也是如此；很容易证明： \\[ \mathcal{F}^{-1}\\{\alpha F(\omega) + \beta G(\omega)\\} = \alpha \mathcal{F}^{-1}\\{F(\omega)\\} + \beta \mathcal{F}^{-1}\\{G(\omega)\\} \\] **缩放性** 如果我们用一个常数缩放函数的定义域，其变换只会稍微改变： \\[ \mathcal{F}\\{f(ax)\\} = \int_{-\infty}^{\infty} f(ax) e^{-i \omega x} dx \\] 让我们进行变量替换 \\(u = ax\\)： \\[ \mathcal{F}\\{f(ax)\\} = \frac{1}{|a|} \int_{-\infty}^{\infty} f(u) e^{-i \omega u/a} du \\] 这是傅里叶变换在 \\(\omega/a\\) 处的值，所以： \\[ \mathcal{F}\\{f(ax)\\} = \frac{1}{|a|} F\left(\frac{\omega}{a}\right) \\] 这里有一个小问题；当 \\(a\\) 为负时，积分限应该翻转，导致变换前面出现负号。所以我们可以写成： \\[ \mathcal{F}\\{f(ax)\\} = \frac{1}{|a|} F\left(\frac{\omega}{a}\right) \\] 这对任何 \\(a \neq 0\\) 都成立。 这个性质在思考信号时很直观：假设 \\(a > 1\\)，那么 \\(f(ax)\\) 意味着信号在时域上被**压缩**了 \\(a\\) 倍。缩放性质说频域被用相同的因子**扩展**了；换句话说，更高的频率变得更突出，因为我们需要更锐利的过渡来表示压缩后的信号。 **时移** 如果我们对输入信号进行时移一个常数 \\(a\\)，傅里叶变换会发生什么：\\(f(x - a)\\)。根据定义： \\[ \mathcal{F}\\{f(x - a)\\} = \int_{-\infty}^{\infty} f(x - a) e^{-i \omega x} dx \\] 代入 \\(u = x - a\\)，我们得到 \\(dx = du\\)，所以： \\[ \mathcal{F}\\{f(x - a)\\} = \int_{-\infty}^{\infty} f(u) e^{-i \omega (u + a)} du = e^{-i \omega a} \int_{-\infty}^{\infty} f(u) e^{-i \omega u} du = e^{-i \omega a} F(\omega) \\] **导数的变换** 一个非常常用的性质，常用于偏微分方程的求解；让我们计算 \\(f(x)\\) 的导数的傅里叶变换： \\[ \mathcal{F}\\{f'(x)\\} = \int_{-\infty}^{\infty} f'(x) e^{-i \omega x} dx \\] 我们将使用分部积分法，其中 \\(u = e^{-i \omega x}\\) 且 \\(dv = f'(x) dx\\)。因此，\\(du = -i \omega e^{-i \omega x} dx\\) 且 \\(v = f(x)\\)： \\[ \mathcal{F}\\{f'(x)\\} = \left[ f(x) e^{-i \omega x} \right]_{-\infty}^{\infty} + i \omega \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-i \omega x} dx \\] 回顾“存在条件...”一节中关于 \\(f(x)\\) 在无穷远处消失的假设。因此，上面方程的第一部分为零，我们得到： \\[ \mathcal{F}\\{f'(x)\\} = i \omega F(\omega) \\] **卷积的变换** 两个连续函数 \\(f(x)\\) 和 \\(g(x)\\) 之间的卷积定义为： \\[ (f * g)(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) g(x - t) dt \\] 让我们计算这个函数的傅里叶变换： \\[ \mathcal{F}\\{f * g\\} = \int_{-\infty}^{\infty} \left[ \int_{-\infty}^{\infty} f(t) g(x - t) dt \right] e^{-i \omega x} dx \\] 这一步将积分合并为双重积分，以及下一步（改变积分顺序）的可行性依赖于**富比尼定理**（https://en.wikipedia.org/wiki/Fubini%27s_theorem）以及我们对 \\(f(x)\\) 和 \\(g(x)\\) 是勒贝格可积的假设。 交换积分顺序： \\[ \mathcal{F}\\{f * g\\} = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \left[ \int_{-\infty}^{\infty} g(x - t) e^{-i \omega x} dx \right] dt \\] 现在，在内层积分中，\\(f(t)\\) 不依赖于 \\(x\\)，所以我们可以将其提出来： \\[ \mathcal{F}\\{f * g\\} = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \left[ \int_{-\infty}^{\infty} g(x - t) e^{-i \omega x} dx \right] dt \\] 内层积分正是时移后的 \\(g\\) 的傅里叶变换，所以我们可以写成： \\[ \mathcal{F}\\{f * g\\} = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i \omega t} G(\omega) dt \\] 剩下的积分就是 \\(f(x)\\) 的傅里叶变换，所以： \\[ \mathcal{F}\\{f * g\\} = F(\omega) G(\omega) \\] 时域中的卷积转化为频域中的乘法！这个结果在信号处理中非常重要，被称为**卷积定理**。 ## 附录 A：黎曼和与定积分 假设我们有一个函数 \\(f(x)\\)，我们想要知道该函数图形与 \\(x\\) 轴在某个区间 \\([a, b]\\) 之间围成的面积。一种方法是对区间进行**划分**（https://en.wikipedia.org/wiki/Partition_of_an_interval）： \\[ a = x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_n = b \\] 并计算每个划分元素下 \\(f\\) 的面积。然后我们可以用矩形来近似这些子区域，如下所示： [此处插入黎曼和图示] 我们将每个矩形的面积记为 \\(A_i\\)： - \\(\Delta x_i = x_i - x_{i-1}\\) 是一个区间的宽度（假设均匀划分，但对于非均匀划分数学上同样成立）。 - \\(x_i^*\\) 是区间 \\([x_{i-1}, x_i]\\) 中的某个值。 有许多选择区间中哪一点作为 \\(x_i^*\\) 的方法：左端点（\\(x_{i-1}\\)）、右端点（\\(x_i\\)）、中点（如图中所示）或介于两者之间的任意一点。对于我们目的而言，这种区别并不重要，正如我们很快会看到的。 我们可以用**黎曼和**来近似区间 \\([a, b]\\) 上 \\(f\\) 曲线下的面积，使用均匀划分： \\[ S_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*) \Delta x, \quad \Delta x = \frac{b - a}{n} \\] 如果 \\(f\\) 在 \\([a, b]\\) 上连续，那么当 \\(n \to \infty\\) 时： \\[ \lim_{n \to \infty} S_n = \int_{a}^{b} f(x) dx \\] 这就是所谓的**黎曼积分**，或简称为定积分。极限过程就是为什么 \\(x_i^*\\) 的具体选择不重要：当 \\(n \to \infty\\) 时，\\(\Delta x \to 0\\)，区间内的所有点都一样好。 --- [\[1\]]（https://eli.thegreenplace.net/2026/notes-on-the-fourier-transform#footnote-reference-1）注意 \\(c_n\\) 不是 \\(x\\) 的函数；在其定义中，\\(x\\) 仅作为虚拟积分变量，可以任意命名。当我们将其代入 \\(f(x)\\) 的方程时，\\(f(x)\\) 是 \\(x\\) 的函数，我们必须小心。因此重命名。 [\[2\]]（https://eli.thegreenplace.net/2026/notes-on-the-fourier-transform#footnote-reference-2）注意我们应用了极限；因此，内层积分（方括号内的）的积分限现在也介于 \\(-\infty\\) 和 \\(\infty\\) 之间。 [\[3\]]（https://eli.thegreenplace.net/2026/notes-on-the-fourier-transform#footnote-reference-3）为了保持一致性，这里我们将虚拟积分变量改回 \\(x\\)。再次强调，由于 \\(x\\) 只是积分变量且积分是定积分，最终结果不依赖于 \\(x\\)。它是 \\(\omega\\) 的函数。 [\[4\]]（https://eli.thegreenplace.net/2026/notes-on-the-fourier-transform#footnote-reference-4）在无穷远处消失的部分是黎曼-勒贝格引理；你可以在维基百科上找到证明。 [\[5\]]（https://eli.thegreenplace.net/2026/notes-on-the-fourier-transform#footnote-reference-5）病态的绝对可积函数可以在无穷远处有尖峰但总面积仍然有限。