诅咒电路 #5：电容倍增器

# 被诅咒的电路：电容倍增器 来源：https://lcamtuf.substack.com/p/cursed-circuits-capacitance-multiplier 电子电路理论是[本博客](https://lcamtuf.substack.com/p/electronics-curriculum)的常见主题。作为这一*半*课程的一部分，我发表了许多关于运算放大器的文章。我反复回到这个主题有两个原因。首先，我认为这些元件的讲解方式通常很差，这成为人们学习这门手艺的主要障碍。其次，运算放大器已经变得非常出色、便宜且小巧，因此我认为应该更广泛地使用它们。 如果你对这个元件仍感陌生，这篇文章可能不是最佳的起点；我们会涵盖非常基础的内容，但我建议你抽出时间阅读2023年的另外两篇文章： - [信号放大的基础知识](https://lcamtuf.substack.com/p/the-basics-of-signal-amplification) - [运算放大器内部有什么？](https://lcamtuf.substack.com/p/whats-in-an-op-amp) 我还在*《电路的秘密生活》*一书中深入讲解了运算放大器理论（以及更多内容！），该书[现已提供抢先预览](https://lcamtuf.coredump.cx/electronics/)，并将在大约两个月后正式出版。 今天，我想讨论一个未能入选该书的电路。它不像[跨阻放大器](https://lcamtuf.substack.com/p/building-a-decent-microphone-amplifier)、[积分器](https://lcamtuf.substack.com/p/cursed-circuits-3-true-mathematics)或[Sallen-Key滤波器](https://lcamtuf.substack.com/p/analog-filters-part-2-let-it-ring)那样实用——这些电路都已从基本原理出发进行了深入讲解。但同时，这个电路太酷了，不能不分享。 我知道大多数读者不点击链接，所以在深入之前，让我们回顾一下运算放大器的作用。如果你认为它是一种“读取”外部电阻对的值来配置内部增益的可变增益放大器，最好忘掉这一切，重新开始。 一个理想的运算放大器只做一件事：它计算两个输入引脚（*Vin-*和*Vin+*）上的电压差，将其乘以一个巨大的常数因子*\(A_{OL}\)*（通常为1,000,000或更大），然后相对于电源中点（*Vmid*）输出结果电压。我们可以写成： \\\(V_{out} = V_{mid} + (V_{in+} - V_{in-}) \cdot A_{OL}\\\) 实际上，这意味着如果*Vin-*明显小于*Vin+*，输出电压会摆向芯片的正电源；反之，如果*Vin-*超过*Vin+*，输出电压会摆向负电源轨。中间输出电压只有在*Vin-*≈*Vin+*的微伏级线性区域内才有可能。 最简单的运放电路——也是我们今天唯一需要的——是电压跟随器： [](https://substackcdn.com/image/fetch/$s_!A-DN!,f_auto,q_auto:good,fl_progressive:steep/https%3A%2F%2Fsubstack-post-media.s3.amazonaws.com%2Fpublic%2Fimages%2Fb0b7688d-6566-4a86-bcbf-f375139c030b_1700x800.jpeg) *一个简单的电压跟随器。* 这个电路将输出电压反馈到其中一个差分输入引脚上。如果*Vin+*上的输入信号相对于*Vin-*升高，这会使放大的差分信号更正，迫使输出电压上升，直到*Vin-*≈*Vin+*的平衡恢复。同样，如果*Vin-*下降，差值变得更负，使放大后的信号趋向更低的平衡点。实际上，输出电压以亚毫伏精度跟随输入信号。 要理解下一部分，我们只需要另外两个电子理论的小知识。首先，欧姆定律：流过电阻的电流与施加在其两端的电动势（电压）成正比，除以元件值（电阻）：I = V/R。其次，我们需要知道，电容两端施加电压时，会允许（几乎任意的）充电电流流过，直到累积电荷产生的反推力等于外部电压。更高的元件值（更高的电容）意味着在相同的电动势下可以调动成比例更多的电子；换句话说，更高的*C*意味着随时间流过更大的电流。 *如果以上段落听起来令人困惑，你应该先阅读关于[电子电路核心概念](https://lcamtuf.substack.com/p/primer-core-concepts-in-electronic)的文章，然后再继续。* 这就引出了我们的主角：电容倍增器。这是一种乍看之下通常让人摸不着头脑的电路，因为我们无法将其与我们已知的任何事物进行模式匹配： [](https://substackcdn.com/image/fetch/$s_!qMWu!,f_auto,q_auto:good,fl_progressive:steep/https%3A%2F%2Fsubstack-post-media.s3.amazonaws.com%2Fpublic%2Fimages%2Fd86dcd7c-184a-497d-8b97-32936641ad40_2050x1300.jpeg) *一个基本的电容倍增器。* 要揭开谜底，只需将其分解为两个大部分独立的构建模块。A部分只是一个配置为电压跟随器的运放。无论电路中发生什么其他情况，它都会从B部分获取某个电压，然后在其输出端镜像该信号。 B部分是一个通过电阻充电的电容；虽然电容两端的电压（*Vcap*）会随时间变化，但让我们以冻结帧视图来建模。在这种设置下，运放正在镜像电容的当前充电状态；*R2*右端上的电压几乎与*Vcap*完全相同。 转到*R1*，根据欧姆定律，我们可以得出结论：流经该电阻的电流仅取决于元件值和其两端的瞬时电压。无论电路中发生什么，*R1*的上端与输入端（*Vsignal*）电压相同，下端始终为*Vcap*。因此，电阻电流为： \\\(I_{R1} = \frac{V_{signal} - V_{cap}}{R1}\\\) 为清晰起见，让我们将*Vsignal - Vcap*表达式简写为*v*。得到： \\\(I_{R1} = \frac{v}{R1}\\\) 接下来，看看另一个电阻*R2*。该元件的左端接*Vsignal*；右端由于电压跟随器的作用必须为*Vcap*。这意味着流过该电阻的电流为： \\\(I_{R2} = \frac{v}{R2}\\\) 本质上，我们在输入端和*Vcap*之间有两个并联电阻。 自然，流过两个电阻的电流方向相同。如果*Vsignal* > *Vcap*，电流从输入端流入。在相反情况下，电流反馈回信号源。在这两种情况下，总输入电流为： \\\(I_{total} = I_{R1} + I_{R2} = \frac{v}{R1} + \frac{v}{R2} = \frac{(R2 + R1) \cdot v}{R1 \cdot R2} \\\) 接下来，计算*Itotal*与实际通过*R1*分流到电容的电流之比。我们称这个比值为*n*： \\\(n = \frac{I_{total}}{I_{R1}} = \frac{(R2 + R1) \cdot \cancel{v}}{\cancel{R1} \cdot R2} \cdot \frac{\cancel{R1}}{\cancel{v}} = 1 + \frac{R1}{R2}\\\) 这表明，电容的充电速度比仅由B部分中无源R-C布局构成的电路慢*n*倍。另一种看待方式是，这种情况与通过一对并联电阻*R1*和R2给一个比例更大的电容——*n·*C——充电无法区分。如果R1 ≫ R2，可以近似为*n·*C通过*R2*充电的模型。 就是这样：你可以通过加入一个运放和两个精心选择阻值的电阻，将一个便宜的1 μF电容变成一个花哨的1 mF。该电路并不模拟增加的能量存储——你不能用它来做备用电源——但在信号滤波或定时等应用中，这无疑是一个巧妙的手法。你可以使用更小、更便宜且性能更好的元件。 在实践中，它不如以前那么有用。过去20-30年间电容技术有了显著进步。如果你真的需要一个超低频滤波器或长间隔定时器，同样的想法很可能会用数字芯片以更高的灵活性和保真度实现。 不过——它还是很酷，对吧？ 作为自愿作业，请考虑之前设计的以下变体： [](https://substackcdn.com/image/fetch/$s_!m7a3!,f_auto,q_auto:good,fl_progressive:steep/https%3A%2F%2Fsubstack-post-media.s3.amazonaws.com%2Fpublic%2Fimages%2F1f1c6141-cde1-405a-9933-389dec73d0d8_2050x1300.jpeg) *嗯……一个……反相电容倍增器？* 唯一的改变是*C*和*R1*交换了位置。你的任务，如果你接受的话，是弄清楚这个电路的功能。 如果你卡住了，请注意：要使电容充电，其*两个*端子上必须有匹配的电荷运动——即，必须有一些电流“流过”该元件。在电路中，如果电容初始放电且输入电压突然跳变到5 V，充电过程会受到*R1*的阻碍，因此电容两端电压保持在接近0 V；电动势仅通过介质间隙耦合，使*Vin+*处于5 V - 0 V。只有经过一段时间后，足够数量的电子才能穿过R1，将*Vcap*推向5 V，将*Vin+*推向0 V。 *本系列之前的文章：* - [被诅咒的电路：电荷泵电压减半器](https://lcamtuf.substack.com/p/cursed-circuits-charge-pump-voltage) - [被诅咒的电路#2：开关电容低通滤波器](https://lcamtuf.substack.com/p/cursed-circuits-2-switched-capacitor) - [被诅咒的电路#4：PLL频率倍增器](https://lcamtuf.substack.com/p/cursed-circuits-4-pll-frequency-multiplier) *我撰写关于电子学、[数学基础](https://lcamtuf.substack.com/p/monkeys-typewriters-and-busy-beavers)、[技术史](https://lcamtuf.substack.com/p/a-brief-history-of-counting-stuff)以及其他极客兴趣的文章。如果你喜欢，请订阅。* #### 关于此帖的讨论 ### 想要更多？