稀疏和噪声数据下控制方程的动力学感知识别

# 从稀疏含噪数据中进行动力学感知的控制方程识别
来源：https://arxiv.org/html/2607.29036
Yoshinobu Kawahara\* \\orgdiv大阪大学信息科学与技术研究生院，\\orgname大阪大学，\\orgaddress\\city大阪，\\country日本

（2026年DD月）

###### 摘要

稀疏非线性动力学识别（SINDy）和PDE功能识别（PDE-FIND）能从数据中恢复简约的常微分方程和偏微分方程（ODE和PDE）。然而，稀疏且含噪的时间测量可能导致导数估计不可靠。为解决该问题，我们评估了基于Koopman的上采样技术，这些技术通过动态模态分解（DMD）、扩展DMD（EDMD）和优化DMD实现。这些方法在选定的可观测函数上学习Koopman演化的有限维近似，并用于在导数估计和稀疏回归之前对观测时间窗内的快照进行插值和去噪。经验基准包括两个ODE系统（Lorenz–63和Van der Pol）和三个周期PDE系统（Burgers、Fisher–Kolmogorov–Petrovskii–Piskunov（Fisher–KPP）和线性对流扩散），覆盖稀疏和含噪采样机制。多项式EDMD在ODE结果中表现最强，尤其在系数精度方面。PDE结果依赖于系统：低秩DMD辅助重构改善了Burgers和对流扩散方程的发现，而原始基线（不上采样）在Fisher–KPP数据上仍具竞争力。与线性和平滑样条插值技术的比较表明，所选的基于Koopman的预处理器相比这些非动力学替代方案总体上带来了性能提升。我们还证明，DMD辅助上采样可以稳定基于Pareto的非oracle（不利用真实模型信息）支撑集大小选择。总体而言，基于Koopman的上采样最好被视为一种动力学感知的预处理步骤，当其可观测函数表示和低秩结构适合数据时，可以减少导数估计误差。

###### 关键词：

稀疏非线性动力学识别；动态模态分解；上采样

††articletype:研究论文††journal:Data-Centric Engineering\\jyear
2026\\jdoi10.1017/dce.2026.xxx\\copytext© 作者，2026年。这是一篇开放获取文章，依据知识共享署名许可（http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/）分发，该许可允许在任何媒介上不受限制地重用、分发和复制，前提是正确引用原始作品。

\{前置部分\}

\[1\]Pongpisit Thanasutives\\authormarkThanasutives

\[1\]\\orgdiv先进智能项目中心（AIP），\\orgnameRIKEN，\\orgaddress\\city大阪，\\country日本

\{政策\}

\[影响声明\] 数据驱动的控制方程发现可以将稀疏测量快照转化为可解释的微分方程，用于科学建模、数字孪生和反馈控制。在许多应用中，一个关键限制在于从含噪、时间稀疏的观测中进行导数估计。本研究评估了精选的上采样策略：在观测快照上拟合有限维DMD/EDMD模型，然后在应用SINDy或PDE-FIND之前，在中间时刻对这些模型进行求值。这些基准隔离了基于Koopman的预处理能够改善方程恢复的场景。对于所测试的多项式ODE，多项式EDMD提供了最明显的增益；在PDE测试中，低秩DMD辅助上采样提供了依赖系统的增益。比较研究表明，总体而言，DMD辅助上采样优于经典插值/平滑技术。

## 1 引言

数据驱动的方程发现试图将时间序列测量转化为简约的微分方程。对于常微分方程（ODE），这意味着从测量轨迹中学习一个向量场，例如 \(\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{f}(\mathbf{x})\)。非线性动力学的稀疏识别（SINDy）通过将估计的时间导数回归到由状态候选函数组成的库上实现这一点（[Brunton et al., 2016](https://arxiv.org/html/2607.29036#bib.bib4)）。对于偏微分方程（PDE），同样的思想变为PDE功能识别（PDE-FIND）：从场数据估计 \(u_t\)，并将其回归到候选项上，如 \(u\)、\(u^2\)、\(u_x\)、\(uu_x\) 和 \(u_{xx}\)（[Rudy et al., 2017](https://arxiv.org/html/2607.29036#bib.bib19)；[Schaeffer, 2017](https://arxiv.org/html/2607.29036#bib.bib22)）。这些方法之所以有吸引力，是因为输出是可解释的符号方程，而不仅仅是黑箱预测器。难点在于回归的可靠性取决于提供给它的导数估计。当快照含噪且在时间上稀疏采样时，有限差分导数可能成为主要误差来源，即使正确的候选项存在于（过完备）库中。这促进了稳健稀疏回归变体、隐式形式、集成方法、弱形式方法以及基于信息准则的PDE选择的发展，其中大多数已作为稀疏模型发现的开源软件实现（[de Silva et al., 2020](https://arxiv.org/html/2607.29036#bib.bib7)；[Champion et al., 2020](https://arxiv.org/html/2607.29036#bib.bib5)；[Kaheman et al., 2020](https://arxiv.org/html/2607.29036#bib.bib11)；[Messenger and Bortz, 2021](https://arxiv.org/html/2607.29036#bib.bib16)；[Fasel et al., 2022](https://arxiv.org/html/2607.29036#bib.bib9)；[Kaptanoglu et al., 2022](