深度除法实现即时3D

# 通过深度除法即时实现3D效果 来源：https://gabrieloc.com/2026/09/15/perspective.html 最初接触游戏开发时，我使用的是高级框架，它们提供的`Camera`组件开箱即用。但随着学习的深入，我想要尝试更多创意技术时，却连搜索所需功能的术语都不清楚。直到编写底层图形代码后，我才明白摄像头原理基于相当简单的数学。 在精彩的《解密3D图形的唯一公式》(https://www.youtube.com/watch?v=qjWkNZ0SXfo)（via@tsoding (https://twitter.com/tsoding)）中，我们看到以下内容： ``` (x, y, z) x' = x/z y' = y/z ``` 本质上，若我们定义`y`为垂直轴、`z`为深度轴，则三维坐标`(x, y, z)`可通过将`x`和`y`除以`z`投影到二维坐标`(x', y')`。例如，当一系列三维点仅在深度方向变化时，随着深度增加，它们的投影位置会向消失点`(0,0)`靠拢： \[ \begin{array}{c|c} (x,y,z) & (x',y') \\ \hline (2,1,2) & (1,0.5) \\ (2,1,4) & (0.5,0.25) \\ (2,1,8) & (0.25,0.125) \end{array} \] 这可以通过一个球体来演示：它在绕摄像头垂直轴运动时，会根据深度变化移动和缩放，沿`z`轴偏移`forward`值： 运用相同原理，我们甚至能以同样方式绘制更复杂的“几何图形”！ 显然，这些是非常受限且朴素的示例，仅在最简单的场景中实用。当我们进行任何3D工作时，通常需要考虑摄像头指向方向、位置、视场角等因素。虽然理论上可以强行修改着色器来支持这些特性，但存在一种更省力且实用的方法——称为**透视投影矩阵**，这正是强大`Camera`组件背后的核心魔法。 ## 透视投影 构建透视投影矩阵有多种方式，取决于具体应用场景。例如计算机视觉和图形学在矩阵布局上略有不同，这也解释了为何很难通过单篇维基百科文章(https://en.wikipedia.org/wiki/3D_projection)获得通用形式。话虽如此，在基于三角形的图形系统中，常见的惯例通常包含*视场角*、*宽高比*以及*近远裁剪平面*的参数化。这些值至关重要，因为它们同时用于判断场景对象是否在视锥体内，从而支持高效渲染（例如剔除屏幕外几何体，仅渲染可见部分）。 尽管不同坐标系存在差异（关于哪个轴对应上、右、前方向存在不同惯例(https://x.com/FreyaHolmer/status/1325556229410861056)），但整体结构基本一致： \[ P = \begin{bmatrix} \frac{f}{a} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & f & 0 & 0 \\ 0 & 0 & A & B \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} \] 这描述了一个具有焦距缩放`f`（由垂直视场角`θ`推导）和宽高比`a`的摄像头： \[ f = \frac{1}{\tan(\theta/2)},\quad a = \frac{\text{width}}{\text{height}} \] 其中`A`和`B`代表深度映射，分别由近裁剪平面`n`和远裁剪平面`F`推导： \[ A = \frac{F+n}{F-n}, \quad B = -\frac{2Fn}{F-n} \] 那么这与之前的深度除法技巧有何关联？实际上，后者是透视投影矩阵的特殊形式。 给定三维空间中的某点，我们首先计算其相对摄像头的位置。这将坐标从**世界空间**（整个场景共享的坐标系）转换到**视图空间**（摄像头位于原点的坐标系）。然后乘以透视投影矩阵，生成**裁剪空间**坐标，为透视除法做好准备： \[ \begin{bmatrix} \frac{f}{a} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & f & 0 & 0 \\ 0 & 0 & A & B \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{f}{a}x + 0y + 0z + 0(1) \\ 0x + fy + 0z + 0(1) \\ 0x + 0y + Az + B(1) \\ 0x + 0y + z + 0(1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{f}{a}x \\ fy \\ Az + B \\ z \end{bmatrix} \] 将裁剪空间坐标的前三个分量除以`w`后，坐标不再描述场景中的距离，而是表示该点在摄像头可视范围内的位置。这就是**标准化设备坐标**（通常缩写为NDC），最终可将点映射到屏幕输出分辨率： \[ x_{ndc} = \frac{\frac{f}{a}x}{z}, \qquad y_{ndc} = \frac{fy}{z} \] 在之前的示例中，焦距缩放`f`和宽高比`a`均被省略。将两者都代入1，就得到了原始的深度除法技巧： \[ x_{ndc} = \frac{\frac{1}{1}x}{z} = \frac{x}{z}, \qquad y_{ndc} = \frac{1y}{z} = \frac{y}{z} \] 虽然深度除法技巧适用于简单场景中的摄像头相对坐标，但它实际上只是完整图形管线中的一步。现在所有术语都有了明确定义，整个流程如下所示： \[ \text{世界空间} \rightarrow \text{视图空间} \rightarrow \text{裁剪空间} \xrightarrow{\,/w\,} \text{NDC} \rightarrow \text{像素} \rightarrow \text{光栅化} \] ## 整合所有环节 如果这篇技术总结有一个核心要点，那就是：`Camera`组件只是执行几个简单的变换，如果你理解每个变换的作用，就可以根据自身需求和约束选择性地实现特定部分。有时需要完整管线，有时仅需深度除法这一步。